2 4 壓軸大題1 函數 導數 方程 不等式 2 3 4 5 6 1 導數的幾何意義 1 函數f x 在x0處的導數是曲線f x 在點p x0 f x0 處的切線的斜率 即k f x0 2 函數切線問題的求解策略 用好切點 三重性 切點在函數圖象上 滿足函數解析式 切點在切線上 滿足切線方程 切點處的導數等于切線的斜率 2 函數的導數與單調性的關系函數y f x 在 a b 內可導 1 若f x 0在 a b 內恒成立 則f x 在 a b 內單調遞增 2 若f x 0在 a b 內恒成立 則f x 在 a b 內單調遞減 7 3 函數的導數與單調性的等價關系函數f x 在 a b 內可導 f x 在 a b 任意子區間內都不恒等于0 f x 0 f x 在 a b 上為增函數 f x 0 f x 在 a b 上為減函數 4 函數的極值 最值 1 若在x0附近左側f x 0 右側f x 0 則f x0 為函數f x 的極小值 2 設函數y f x 在 a b 上連續 在 a b 內可導 則f x 在 a b 上必有最大值和最小值且在極值點或端點處取得 3 若函數f x 在 a b 上單調遞增 則f a 為函數的最小值 f b 為函數的最大值 若函數f x 在 a b 上單調遞減 則f a 為函數的最大值 f b 為函數的最小值 5 常見恒成立不等式 1 lnx x 1 2 ex x 1 8 6 構造輔助函數的四種方法 1 移項法 證明不等式f x g x f x 0 f x g x 0 進而構造輔助函數h x f x g x 2 構造 形似 函數 對原不等式同解變形 如移項 通分 取對數 把不等式轉化為左右兩邊是相同結構的式子的結構 根據 相同結構 構造輔助函數 3 主元法 對于 或可化為 f x1 x2 a的不等式 可選x1 或x2 為主元 構造函數f x x2 或f x1 x 4 放縮法 若所構造函數最值不易求解 可將所證明不等式進行放縮 再重新構造函數 9 7 函數不等式的類型與解法 x d f x k f x max k x d f x k f x min k x d f x g x f x max g x min x d f x g x f x min g x max 8 含兩個未知數的不等式 函數 問題的常見題型及具體轉化策略 1 x1 a b x2 c d f x1 g x2 f x 在 a b 上的最小值 g x 在 c d 上的最大值 2 x1 a b x2 c d f x1 g x2 f x 在 a b 上的最大值 g x 在 c d 上的最小值 3 x1 a b x2 c d f x1 g x2 f x 在 a b 上的最小值 g x 在 c d 上的最小值 4 x1 a b x2 c d f x1 g x2 f x 在 a b 上的最大值 g x 在 c d 上的最大值 10 5 x1 a b 當x2 c d 時 f x1 g x2 f x 在 a b 上的值域與g x 在 c d 上的值域交集非空 6 x1 a b x2 c d f x1 g x2 f x 在 a b 上的值域 g x 在 c d 上的值域 7 x2 c d x1 a b f x1 g x2 f x 在 a b 上的值域 g x 在 c d 上的值域 2 4 1導數與函數的單調性 極值 最值 12 考向一 考向二 考向三 考向四 討論 判斷 證明單調性或求單調區間解題策略一分類討論法 例1 2017全國 文21 已知函數f x ex ex a a2x 1 討論f x 的單調性 2 若f x 0 求a的取值范圍 難點突破 1 討論f x 的單調性 求函數的定義域 求導函數判斷導函數的符號 確定單調區間 2 討論a的取值范圍 求f x 導函數 確定f x 的單調區間 求f x 取最小值 解不等式f x max 0得a的范圍 合并a的范圍 13 考向一 考向二 考向三 考向四 解 1 函數f x 的定義域為 f x 2e2x aex a2 2ex a ex a 若a 0 則f x e2x 在 單調遞增 若a 0 則由f x 0得x lna 當x lna 時 f x 0 故f x 在 lna 單調遞減 在 lna 單調遞增 14 考向一 考向二 考向三 考向四 解題心得利用導數研究函數的單調性的關鍵在于準確判定導數的符號 當f x 含參數時 需依據參數取值對不等式解集的影響進行分類討論 2 若a 0 則f x e2x 所以f x 0 若a 0 則由 1 得 當x lna時 f x 取得最小值 最小值為f lna a2lna 從而當且僅當 a2lna 0 即a 1時 f x 0 15 考向一 考向二 考向三 考向四 對點訓練1已知函數f x lnx mx m r 1 若m 1 求曲線y f x 在點p 1 1 處的切線方程 2 討論函數f x 在 1 e 上的單調性 所以切線的斜率為0 所以切線方程為y 1 令h x mx 1 h x 是過點 0 1 的一次函數 當m 0時 在 1 e 上h x 0 f x 0 所以函數f x 在 1 e 上單調遞增 當m 0時 h x 在 1 e 上是減函數 由h x 的圖象可知 16 考向一 考向二 考向三 考向四 所以函數f x 在 1 e 上單調遞增 當0 1 即m 1時 x 1 e h x 0 f x 0 函數f x 在 1 e 上單調遞減 17 考向一 考向二 考向三 考向四 解題策略二構造函數法例2已知函數f x k為常數 e是自然對數的底數 曲線y f x 在點 1 f 1 處的切線與x軸平行 1 求k的值 2 求f x 的單調區間 18 考向一 考向二 考向三 考向四 即h x 在 0 上是減函數 由h 1 0知 當00 從而f x 0 當x 1時 h x 0 從而f x 0 綜上可知 f x 的單調遞增區間是 0 1 單調遞減區間是 1 解題心得通過導數研究單調性首先要判斷構造函數的導函數的正負 因此 構造函數的關鍵在于其導函數的零點是否易求或易估 19 考向一 考向二 考向三 考向四 對點訓練2設函數f x xea x bx 曲線y f x 在點 2 f 2 處的切線方程為y e 1 x 4 1 求a b的值 2 求f x 的單調區間 解 1 因為f x xea x bx 所以f x 1 x ea x b 解得a 2 b e 20 考向一 考向二 考向三 考向四 2 由 1 知f x xe2 x ex 由f x e2 x 1 x ex 1 及e2 x 0知 f x 與1 x ex 1同號 令g x 1 x ex 1 則g x 1 ex 1 所以 當x 1 時 g x 0 g x 在區間 1 上單調遞增 故g 1 1是g x 在區間 上的最小值 從而g x 0 x 綜上可知 f x 0 x 故f x 的單調遞增區間為 21 考向一 考向二 考向三 考向四 求函數的極值 最值解題策略一利用單調性求 1 若a 2 f x f x g x 求f x 的單調區間 2 若函數g x ax b是函數f x lnx 圖象的切線 求a b的最小值 難點突破 1 求出f x 的導數 解關于導函數的不等式 即得函數的單調區間 22 考向一 考向二 考向三 考向四 令f x 0 解得01 故f x 在 0 1 遞增 在 1 遞減 23 考向一 考向二 考向三 考向四 當t 0 1 時 t 0 t 在 1 上單調遞增 即有t 1時 t 取得極小值 也為最小值 則a b t 1 1 故a b的最小值為 1 24 考向一 考向二 考向三 考向四 解題心得1 求最值的常用方法是由導數確定單調性 由單調性確定極值 比較極值與定義域的端點值確定最值 2 對kf x 恒成立 求參數k的最值問題 若求不出f x 的極值點 可先求極值點所在區間 再由極值點范圍求極值的范圍 由此得出參數的最值 25 考向一 考向二 考向三 考向四 對點訓練3 2017北京 文20 已知函數f x excosx x 1 求曲線y f x 在點 0 f 0 處的切線方程 解 1 因為f x excosx x 所以f x ex cosx sinx 1 f 0 0 又因為f 0 1 所以曲線y f x 在點 0 f 0 處的切線方程為y 1 26 考向一 考向二 考向三 考向四 2 設h x ex cosx sinx 1 則h x ex cosx sinx sinx cosx 2exsinx 27 考向一 考向二 考向三 考向四 解題策略二構造函數法例4已知函數f x 滿足f x f 1 ex 1 f 0 x x2 1 求f x 的解析式及單調區間 2 若f x x2 ax b 求 a 1 b的最大值 ex a 1 x b 0 h x ex a 1 h x min a 1 a 1 ln a 1 b 0 a 1 b a 1 2 a 1 2ln a 1 a 1 0 令f x x2 x2lnx x 0 28 考向一 考向二 考向三 考向四 解 1 由已知得f x f 1 ex 1 f 0 x 所以f 1 f 1 f 0 1 即f 0 1 又f 0 f 1 e 1 所以f 1 e 由于f x ex 1 x 故當x 0 時 f x 0 從而 f x 在 0 單調遞減 在 0 單調遞增 29 考向一 考向二 考向三 考向四 2 由已知條件得ex a 1 x b 可得ex a 1 x0 設g x ex a 1 x 則g x ex a 1 當x ln a 1 時 g x 0 從而g x 在 ln a 1 單調遞減 在 ln a 1 單調遞增 故g x 有最小值g ln a 1 a 1 a 1 ln a 1 b a 1 a 1 ln a 1 30 考向一 考向二 考向三 考向四 因此 a 1 b a 1 2 a 1 2ln a 1 設h a a 1 2 a 1 2ln a 1 則h a a 1 1 2ln a 1 31 考向一 考向二 考向三 考向四 解題心得本例在 2 中 通過作差將條件進行轉化 通過構造函數求函數的最小值得出關于a b的不等式 通過乘 a 1 得 a 1 b的關系式 再通過第二次構造函數求函數最大值得出結果 32 考向一 考向二 考向三 考向四 對點訓練4 2017河北邯鄲二模 理21 已知函數f x ax lnx f x ex ax 其中x 0 a 0 1 若f x 和f x 在區間 0 ln3 上具有相同的單調性 求實數a的取值范圍 33 考向一 考向二 考向三 考向四 a0 即f x 在 0 上單調遞增 不合題意 當a0 得x ln a 由f x 0 得0 x ln a f x 的單調減區間為 0 ln a 單調增區間為 ln a f x 和f x 在區間 0 ln3 上具有相同的單調性 ln a ln3 即a 3 綜上 a的取值范圍是 3 34 考向一 考向二 考向三 考向四 2 g x xeax 1 ax lnx 當x e2時 p x 0 當0 x e2 p x 0 從而p x 在 0 e2 上單調遞減 在 e2 上單調遞增 35 考向一 考向二 考向三 考向四 h t h e2 0 m的最小值為0 36 考向一 考向二 考向三 考向四 解題策略三分類討論法例5已知函數f x x3 2x2 2 a x 1 其中a r 1 若a 2 求曲線y f x 在點 1 f 1 處的切線方程 2 求f x 在區間 2 3 上的最大值和最小值 難點突破在 2 中求得f x 在某閉區間上的最值 因f x 是關于x的二次函數 判別式為 8a 所以求最值分兩個層次討論 第一層次是 8a 0和 8a 0 因 8a 0 f x 沒有極值點 函數單調 易求最值 當 8a 0 因f x 有兩個極值點 所以第二層次討論以這兩個極值點與所給閉區間的關系進行分類 37 考向一 考向二 考向三 考向四 解 1 f x 的定義域為r 且f x 2x2 4x 2 a 即6x 3y 5 0 2 方程f x 0的判別式為 8a 當a 0時 f x 0 所以f x 在區間 2 3 上單調遞增 當x變化時 f x 和f x 的變化情況如下 38 考向一 考向二 考向三 考向四 當0 a 2時 x2 2 此時f x 在區間 2 3 上單調遞增 所以f x 在區間 2 3 上的最小值是f 2 2a 最大值是f 3 7 3a 當2 a 8時 x1 2 x2 3 此時f x 在區間 2 x2 上單調遞減 在區間 x2 3 上單調遞增 所以f x 在區間 2 3 上的最小值是 39 考向一 考向二 考向三 考向四 解題心得依據題意 對參數分類 分類后相當于增加了一個已知條件 在增加條件的情況下 對參數的各個范圍逐個驗證是否適合題意 最后適合題意的范圍即為所求范圍 這個范圍的最大值也就求出 當a 8時 x1 2 3 x2 此時f x 在區間 2 3 上單調遞減 所以f x 在區間 2 3 上的最小值是f 3 7 3a 最大值是f 2 2a 40 考向一 考向二 考向三 考向四 對點訓練5 2017遼寧鞍山一模 文20 已知函數f x lnx ax2 x a r 1 當a 0時 求函數f x 在 1 f 1 處的切線方程 2 令g x f x ax 1 求函數g x 的極值 3 若a 2 正實數x1 x2滿足f x1 f x2 x1x2 0 證明x1 x2 1 解當a 0時 f x lnx x 則f 1 1 所以切點為 1 1 又f x 1 則切線斜率f 1 2 故切線方程為y 1 2 x 1 即2x y 1 0 41 考向一 考向二 考向三 考向四 42 考向一 考向二 考向三 考向四 3 證明當a 2時 f x lnx x2 x x 0 可知 t 在區間 0 1 上單調遞減 在區間 1 上單調遞增 t 1 1 x1 x2 2 x1 x2 1 43 考向一 考向二 考向三 考向四 證明函數有最值并求最值范圍解題策略零點分布法 例6 2017湖南邵陽一模 文21 已知函數f x xlnx x2 直線l y k 2 x k 1 且k z 1 若 x0 e e2 使得f x0 0成立 求實數a的取值范圍 2 設a 0 當x 1時 函數f x 的圖象恒在直線l的上方 求k的最大值 解 可用求導的方法判斷h x 的單調性 再根據零點存在性定理求h x 的極值點x0的范圍 進而求出最值h x0 的范圍 從而求出k的最大整數值即可 44 考向一 考向二 考向三 考向四 令g x 0 解得0e g x 在x 0 e 上遞增 在x e e2 上遞減 45 考向一 考向二 考向三 考向四 2 由題意可知xlnx x k 2 k 1在x 1 上恒成立 x 在x 1 上遞增 又 3 1 ln30 存在唯一實數x0 3 4 使得 x0 0 即x0 lnx0 2 0 lnx0 x0 2 h x 在x 1 x0 上遞減 在x x0 上遞增 46 考向一 考向二 考向三 考向四 k h x min 又k z k的最大值為4 解題心得在證明函數f x 有最值及求最值范圍時 若f x 0解不出 可運用零點存在性定理求出極值點t存在的范圍 從而用t表示出最值 此時最值是關于t的函數 通過函數關系式求出最值的范圍 47 考向一 考向二 考向三 考向四 對點訓練6已知函數f x x 2 ex a x 2 2 x 0 1 若f x 是 0 的單調遞增函數 求實數a的取值范圍 2 當a 時 求證 函數f x 有最小值 并求函數f x 最小值的取值范圍 48 考向一 考向二 考向三 考向四 解 1 由題意 得f x ex x 2 ex 2ax 4a 函數f x 在區間 0 上單調遞增 f x 0在 0 上恒成立 ex x 2 ex 2ax 4a 0 即g x 在 0 上遞減 49 考向一 考向二 考向三 考向四 2 f x ex x 2 ex 2ax 4a f x x ex 2a 0 y f x 在 0 上單調遞增 又f 0 4a 10 存在t 0 1 使f t 0 x 0 t 時 f x 0 當x t時 f x min f t t 2 et a t 2 2 由f t 0 即et t 1 2a t 2 0 50 考向一 考向二 考向三 考向四 f t 在 0 1 上遞減 f 1 f t f 0 e f t 1 f x 的最小值的取值范圍是