湖北省武漢市為明實驗學校九年級數學相似三角形的判定導學案 新人教版 學習時間： 學習目標：掌握三邊對應成比例的兩個三角形相似的判定定理.學習重點：能用三邊對應成比例的兩個三角形相似的判定定理進行簡單證明. 學習過程一自主學習（一）三角形相似的預備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構成的三角形和原三角形 .（二）你能說出證兩個三角形全等中的“sss”的含意嗎？（三）在下面的網格中，請把abc的邊長擴大2倍，得到abc,，并度量這兩個三角形的三組對應角是否相等，三組對應邊的比是否相等？abc（四）在下面的網格中，先畫一個三角形，再畫一個三角形使它的邊長是原來三角形各邊長的k倍，并度量這兩個三角形的三組對應角是否相等，三組對應邊的比是否相等？二探索新知（）判定定理 ：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形 .可簡單地說成：三邊對應成比例，兩三角形相似.（2）在abc與abc中，如果 我們就說abc與abc ，記作abc abc，k就是它們的 反之如果abcabc，則有a=a, b= , c=c, 且三、應用新知例 如圖，在正方形的網格上有兩個三角形,和，求證：四發現總結(1) 相似三角形的對應的角 ；對應邊的比 .(2) 如果相似三角形相似比為1，則這兩個三角形 .(3) 兩個三角形全等可以看作是兩個三角形 一種特殊情況. (4) 用判定定理時，要注意邊的 性. 五應用鞏固1依據下列各組條件，判定abc與a bc 是不是相似，并說明為什么：（1）ab2 cm ，bc4cm ，ac5 cm ，ab4m ，bc8cm ，a c 10cm；（2）ab4 cm ，bc6cm ，ac8 cm ，a b 12 cm ，bc18cm ，a c 24cm2下面的兩個三角形是相似嗎,如果相似，請說明理由?3要制作兩個形狀相同的三角形框架,其中一個三角形框架的三邊長分別為4,5,6,另一個三角形框架的一邊長為2,它的另外兩條邊長應當是多少?你有幾各答案?六課堂檢測1已知abc與def的相似比是9:4，則def與abc的相似比是（ ） 2射擊瞄準時，要求槍的標尺缺口上沿中央a、準星尖b和瞄準點c在一條直線上（下圖），這樣才能命中目標。已知某種沖鋒槍基線ab長40cm（下圖），如果射擊距離ac=100m，當準星尖在缺口內偏差bb為1mm時，彈著偏差cc （bb cc）是（ ）15 20 25 303依據下列各組條件，判定abc與a bc是不是相似，并說明為什么?ab3cm ，bc4cm ，ac5 cm ，ab8m ，bc6cm ，a c 10cm.4如圖,已知,bad=20,求cae的大小.5如圖,abcacd,且ad=5,bd=4,求acd與acb的相似比.七學習感悟學習內容 27.2.1 三角形判定（4） 學習時間： 學習目標：掌握兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似的判定定理.學習重點：能用兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似的判定定理進行簡單證明.學習過程一自主學習（一）三角形全等判定定理：如果兩個三角形中，有兩組對邊相等且夾角也相等，則這兩個三角形 .（二）在下面的網格中，請把abc中的cb、ca的邊長擴大2倍，得到abc,，并度量這兩個三角形的三組對應角是否相等，三組對應邊的比是否相等？abc（三）在下面的網格中，先任畫一個三角形，再畫一個三角形使其中一角相等且夾角的兩邊的邊長是原來三角形兩邊長的k倍，再度量這兩個三角形的三組對應角是否相等，三組對應邊的比是否相等？二探索新知（）判定定理 ：如果一個三角形的兩邊與另一個三角形的兩邊對應成比例且夾角相等，那么這兩個三角形 .可簡單地說成：兩邊對應成比例，且夾角相等的兩 相似.（2）在abc與abc中，如果，且a=a 我們就說abc與abc ，記作abc abc，k就是它們的 反之如果abcabc，則有a= , b= , c= , 且三、應用新知例 底角相等的兩個等腰三角形是否相似？頂角相等的兩個等腰三角形是否相似？請證明你的結論；若兩個等腰三角形中有一個角相等，這兩個等腰三角形是否相似？四發現總結(1)把兩個的三角形一組對應角保持不變，夾邊擴大（縮小）相同的倍數，則擴大（縮小）后的三角形和原三角形 .(2) 在abc與abc中，如果，且b=b,問abc與abc一定相似嗎？(3) 要說明一命題不成立，常常只需要舉一個 .五應用鞏固1依據下列各組條件，判定abc與a bc 是不是相似，并說明理由：（1）ab2 cm ，bc4cm ，b=60，ab4m ，bc8cm ，b=60；（2）c36，bc6cm ，ac8 cm ，c36 ，b c 18cm ，a c 24cm2下面三角形是相似,如果相似請說明理由?3要制作兩個形狀相同的三角形框架,其中一個等腰三角形框架的兩邊長分別為4,5,另一個等腰三角形框架的一邊長為2,它的另外兩條邊長應當是多少?你有幾各答案?六課堂檢測1已知abcdef的相似比是3:2，ac4,則df是（ ） 2假設學生座位到黑板的距離是5米，老師在黑板上寫字，究竟要寫多大，才能使學生望去時，同他書桌相距30厘米的課本字感覺相同（即視角相同）, 課本上文字的大小為0.cm0.35cm(高寬)，老師在黑板上寫字約為（ ） 67 78 56 893依據下列各組條件，判定abc與a bc是不是相似，并說明為什么?：c60，bc4cm ，ac5 cm ，ab8m ，a60 ，a c 10cm；4如圖,已知,adbc,ceab,ad與ce相交于點f,求證：cd:adfd:bd.5如圖,正方形abcd中，m是cd的中點，n在bc上,且bn3nc,求證:七學習感悟學習內容 27.2.1 三角形判定（5） 學習時間： 學習目標：掌握如果兩角對應相等，則兩個三角形相似的判定定理.學習重點：能用如果兩角對應相等，則兩個三角形相似的判定定理進行簡單證明.學習過程一自主學習（一）你能說出證兩個三角形全等中的“asa”的含意嗎？（二）在下面的網格中，以abc為基礎，abc（三）在下面的網格中，先任畫一個abc，再畫一個三角形abc，使得abc中有兩個角和abc中的兩個角相等,這兩個三角形中剩下的一對角是否相等，三組對應邊的比是否相等？二探索新知（）判定定理 ：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形 .可簡單地說成：兩角對應相，兩個三角形 .（2）在abc與abc中，如果，a=a且b=b 我們就說abc與abc ，記作abc abc，反之如果abcabc，則有a= , b= , c= , 且三應用新知例 如圖，弦ab和cd相交于o內的一點p,求證：.四發現總結(1)把一個三角形兩個角保持不變，邊擴大（縮小）相同的倍數，則擴大（縮小）后的三角形和原三角形 .(2) 在abc與abc中，如果ac，且b=b,問abc與abc一定相似嗎？(3) 證兩個三角形相似我們學過的方法有 種.五應用鞏固1依據下列各組條件，判定abc與a bc 是不是相似，并說明理由：（1）a=40，b=60，a40，b=60；（2）a36，b54，c36 ，b90. 2(1)如圖1， 當1=_時, abcacd； 當acb= 時, abcacd,于是可以得到等積式ac2 = adab. 如圖2， 若acb=cdb=900則：rt_ rt_ rt_. 可以寫出三個平方等積式：ac2 = _ , bc2 = _ , cd2 =_.如圖3，abc中若bd、ce分別是高，rtboert_rt_rt_ 這四個直角三角形彼此相似，共計_對.另有：ade_，還有：boc_.所以在左圖中共有_對相似三角形.圖1圖2圖3圖4如圖4，若1=2，3=b，則圖中有相似三角形有 三對.六、課堂檢測：六、課堂檢測：1依據下列各組條件，判定abc與a bc是不是相似，并說明為什么?：a50,c60，a50，b60. 2如圖1: cd是rtabc的斜邊ab上的高線，（1）ad=9，db=4，則cd = _;（2）cd=3，bc=5，則db=_ ; ab=_ ; （3）bc=6,ab=10,則bd=_，cd=_.（4）bd=3，ac=2，則ad=_.3如圖2，rtebc中,afbc于f交ec于d，egbc于g則圖中與aed相似的三角形有（ ） a.3個 b.4個 c.5個 d.6個4如圖3，在等邊abc中，d為bc邊上一點，e為ac邊上一點，且ade=60，bd=3，ce=2，則abc的邊長為（ ）a9 b12 c15 d185如圖,在abc中，ad為a的平分線，ad的垂直平分線交ad于點e，交bc的延長線于點f，求證：.6如圖, abc是等邊三角形，ce是外角平分線，點d在ac上，連接bd并延長ce交于點e.求證：abdced;若ab6,ad2cd,求be的長.七學習感悟學習內容 27.2.2 相似三角形應用（6） 學習時間： 學習目標：會利用相似三角形解決簡單的實際問題.學習重點：能把簡單的實際問題抽象成相似三角形問題，由對應邊的比相等求對應線段的長.學習過程一自主學習（一）證兩個三角形相似我們學過的常方法有 種.（二）如果兩個三角形相似我們可以得到什么結論？二探索新知（） 我們就說abc與abc相似，記作abc abc，反之如果abcabc，則有a= , b= , c= , 且.（2）解應用題的一般步驟是什么？（3）如圖，在abc中，debc,bd=3,bc=6,de=4,求ad的長？（4）如圖，abac,cdac,bd與ac相交于點e,ae=2,ec=6,ab=4,求cd的長？三、應用新知四發現總結(1)求實際問題的解，先轉化成數學問題來解決，再把答案還原到實際問題中.(2)由相似三角形對應邊的比相等，求線段時，應注意 位置 .五應用鞏固1在某一時刻，測得一根高為1.8m竹竿的影長為3m,同時測得一棟高樓的影長為90m，這棟高樓的高度是多少？2如圖，鐵道口的欄桿臂長1米，長臂長16米，當短臂端點下降0.5米時，長臂端點升高_米六課堂檢測1已知abca bc 且ab2 cm ，ac5 cm ，bc8cm ，a c 10cm；求線段bc、ab的長是多少？2如圖，要測量河兩岸相對的兩點間的距離，先從b處出發與ab成90角方向，向前走50米到c處，立一根標桿，然后方向不變繼續朝前走10米到d處，在d處轉90，沿de方向再走17米，到達e處，使目標a標桿c與e在同一直線上，求可測得的距離3如圖，是一塊銳角三角形余料，邊mm，高mm，要把它加工成正方形零件，使正方形一邊在bc上，其余兩個頂點分別在ab、ac上，這個正方形零件的邊長是多少？4小明在測一竹竿的影長時，有一部分影子落到了墻上。已知竹竿長四米，落在地上影子的影長是二米，落在墻上影子的影長是一米，求小明至少將竹竿向后移動多少米，才能使竹竿的影子正好全部落在地面上.七學習感悟學習內容 27.2.3 相似三角形性質（7） 學習時間： 學習目標：掌握相似三角形（相似多邊形）周長的比、面積的比的性質定理.學習重點：能用相似三角形（相似多邊形）性質定理進行簡單證明及計算.學習過程一自主學習（一）在abc與abc中，如果abcabc，則有a= , b= , c= , 且.（二）由abcabc可得，,你能否計算出的值來？abdc（三）如圖，abcabc，且相似比為k,你能發現它們的面積的比嗎？（四）四邊形abcd與四邊形相似，且相似比為k,你能發現它們的面積的比嗎？二探索新知（）性質定理 ：相似三角形周長的比等于相似三角形 比.（2）性質定理 ：相似三角形面積的比等于相似比的 .（3）相似多邊形和相似三角形類似，也有相似多邊形周長的比等于相似 ；似多邊形面積的比等于相似比的 .三應用新知例 如圖，在abc和def中,ab=2de,ac=2df,a=d,abc的周長是24,面積是48,求def的周長和面積.四發現總結相似三角形(相似多邊形)的性質有：(1) 相似三角形(相似多邊形)的對應角 ,對應邊成比例.(2)相似三角形(相似多邊形)的周長比等于相似比.(3)相似三角形(相似多邊形) 的比等于相似比的平方；相似比等于 比開方.五應用鞏固1若兩個相似三角形的對應邊的比是12 ，則對應周長之比是 ，對應面積之比是 ；若兩個相似三角形的面積之比是12，則這兩個三角形的周長之比是 相似比是 ； 若兩個相似多邊形的相似比是13 ，則對應周長之比是 ，對應面積之比是 ；若兩個相似多邊形的面積之比是13，則這兩個多邊形的周長之比是 相似比是 .2一個三角形的各邊長擴大為原來的3倍，則這個三角形的周長為原來的 倍.一個多邊形的各邊長擴大為原來的4倍（角不變），則這個多邊形的面積為原來的 倍.3如圖，點d、e分別是abc邊ab、ac上的點，且debc，bd2ad，那么ade的周長abc的周長。 右圖中,若d,e分別是ab,ac邊上的中點,且de=4則bc= .右圖中, debc，sade:s四邊形dbce = 1:8,則ae:ac= .4兩種圓形的蛋糕，一種半徑是10，一種半徑是20，如果半徑是10的蛋糕夠2人吃，則半徑是20蛋糕夠 人吃.（假設蛋糕的高度相同）六課堂檢測1兩個三角形周長之比為9：5，則面積比為（ ）a.95 b.8125 c.3 d.不能確定2如圖，在直角梯形abcd中，bcab，bdad，cdab，且bd=3，cd=2，則下底ab的長是 .3在abc,ac=4,ab=5.d、e分別是ac、ab上動點,且ade=b,設ad=x,ae=y,寫出y與x之間的函數關系式.試確定x的取值范圍.4如圖:寫出其中的幾個等積式ac2= ; bc2= ; oc2= .若ac=3,ao=1.寫出a.b.c三點的坐標.5已知,如圖,在abc中, bac=90, adbc,垂足為d,e是ac的中點,ed的延長線交ab的延長線于點f. 試說明:ab：ac=df：af6已知,如圖,ce是直角abc的斜邊ab上的高,在ec的延長線上任取一點p,連接ap,作bgap,垂足為g,交ce于d, 試說明:ce2=edep.七學習感悟學習內容 27.3 位似（8） 學習時間： 學習目標1了解位似圖形及其有關概念，了解位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比2利用圖形的位似解決一些簡單的實際問題，并在有關的學習和運用過程中發展學生的數學應用意識和動手操作能力學習重點與難點重點：利用位似圖形的定義能判斷兩個圖形是否是位似圖形及位似圖形的性質的運用.難點：判斷位似圖形,運用定義和性質進行簡單的位似圖形的證明和計算.學習過程一、自主學習（一）相似三角形的判定和性質（二）每個圖中的兩個四邊形abcd和四邊形abcd都是相似圖形。觀察下面的五個圖，abcdb1a1c1d1b1c1d1abcda1b1c1d1abcdabcda1b1c1d1abcdc1a1d1b1(1)(2)(3)(4)(5)你發現每個圖中的兩個四邊形各對應點的連線有什么特征？（三）（1）在各圖中，位似圖形的位似中心與這兩個圖形有什么位置關系？ （2）在各圖中，任取一對對應點，度量這兩個點到位似中心的距離。它們的比與位似比有什么關系？abx（四）如圖，在平面直角坐標系中，有a(6,4),b(6,0)兩點,以原點o為位似中心，相似比為,把線段ab縮小，觀察對應點之間的坐標，你發現了什么？y二探索新知（1）兩個圖形相似，而且的所有對應點的連線交于一點，對應邊互相平行，的兩個圖形叫做 ，這個交點叫做 .（2）位似中心可在兩圖形的外部、 部、邊上或頂點處.通過測量、計算發現位似圖形的對應點到位似中心的距離之比等于3：1，則兩個位似圖形的位似比是 .位似圖形中的兩個圖形的方向相同或者 .（3）在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖對應點的坐標的比等于 或 .三應用新知四發現總結(1)兩個位似圖形對應點的連線可能在兩個圖形之間，可能在兩個圖形 .(2) 位似圖形是相似形，位似圖形的對應點和位似中心在 上，它們到位似中心的距離之比等于相似比。(3)畫一個圖形關于某點位似圖形時，應注意有 種.五應用鞏固1如圖，d，e分別是ab，ac上的點.如果debc，那么ade和abc是位似圖形嗎？為什么？如果ade和abc是位似圖形，那么debc嗎？為什么？2如圖，ab，cd相交于點e，acdb.ace與bde是位似圖形嗎？為什么？3圖中的兩個直角三角形是位似圖形嗎？如果是，作出位似中心.六課堂堂檢1.如圖（1）火焰的光線穿過小孔o，在豎直的屏幕上形成倒立的實像，像的長度bd=2 cm，oa=60 cm,ob=15 cm，則火焰的長度為_. 2. 如圖（2），五邊形abcde與五邊形abcde是位似圖形，且位似比為. 若五邊形abcde的面積為17 cm2， 周長為20 cm，那么五邊形abcde的面積為_，周長為_.3已知，如圖2，abab，bcbc，且oaaa=43，則abc與_是位似圖形，位似比為_；oab與_是位似圖形，位似比為_.4下列說法中正確的是( )a.位似圖形可以通過平移而相互得到b.位似圖形的對應邊平行且相等c.位似圖形的位似中心不只有一個d.位似中心到對應點的距離之比都相等5. 一個三角形三頂點的坐標分別是a（0，0），b（2，2）， c（3，1），試將abc放大，使放大后的def與 abc對應邊的比為21.并求出放大后的三角形各頂點坐標.6. 小明在一塊玻璃上畫上了一幅畫，然后用手電筒照著這塊玻璃，將畫映到雪白的墻上，這時我們認為玻璃上的畫和墻上的畫是位似圖形.請你再舉出一些生活中的位似圖形來？并說明一對對應線段的位置關系.七學習感悟學習內容 281銳角三角函數（1） 學習時間： 學習目標1學習當直角三角形的銳角固定時，它的對邊與斜邊的比值都固定（即正弦值不變）這一現象.2學會將正弦概念正確進行計算并運用于實際生活中.學習重點學習正弦（sina）概念，能正確運用已知數據計算正弦值.學習難點理解當直角三角形的銳角固定時，學會運用所學知識解釋它的對邊與斜邊的比值都固定.學習過程一自主學習1如圖在rtabc中，c=90，a=30，bc=60m，求ab.2如圖在rtabc中，c=90，a=30，ab=20m，求bc.3在rtabc中，c=90，a=30，bc=a，求ab.二探索新知探究一 為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機井房沿著山坡鋪設水管，在山坡上修建一座揚水站，對坡面的綠地進行噴灌現測得斜坡與水平面所成角的度數是30，為使出水口的高度為35m，那么需要準備多長的水管？思考1：如果使出水口的高度為50m，那么需要準備多長的水管？ ； 如果使出水口的高度為a m，那么需要準備多長的水管？ ；結論：直角三角形中，30角的對邊與斜邊的比值 1如圖在rtabc中，c=90，a=45，bc=60m，求ab.2如圖在rtabc中，c=90，a=45，ab=20m，求bc.3在rtabc中，c=90，a=45，bc=a，求ab.思考2：在rtabc中，c=90，a=45，計算a的對邊與斜邊的比，你能得出什么結論？結論：直角三角形中，45角的對邊與斜邊的比值 . 思考3：當a取其他一定度數的銳角時，它的對邊與斜邊的比是否也是一個固定值？、請同學試猜測你的結果： 探究二 任意畫rtabc和rtabc，使得c=c=90，a=a=a，那么有什么關系你能解釋一下嗎？ 結論：這就是說，在直角三角形中，當銳角a的度數一定時，不管三角形的大小如何，a的對邊與斜邊的比 正弦函數概念：規定：在rtabc中，c=90，a的對邊記作a，b的對邊記作b，c的對邊記作c在rtabc中，c=90，我們把銳角a的對邊與斜邊的比叫做a的正弦，記作sina，即sina= sina例如，當a=30時，我們有sina=sin30= ；當a=45時，我們有sina=sin45= 三應用新知例1 如圖，在rtabc中，c=90，求sina和sinb的值 四發現總結1在直角三角形中，當銳角a的度數一定時，不管三角形的大小如何，a的對邊與斜邊的比都是 2、在rtabc中，c=90，我們把銳角a的對邊與斜邊的比叫做a的 ，記作 .五鞏固提高如下圖，在abc中，bac=90，ad bc，ad=2cd,求sinb的值.六課堂檢測1在rtabc中，各邊的長度都擴大2倍，則sina的值是 a擴大2倍 b縮小2倍 c不變 d不能確定2如圖，在直角abc中，c90o，若ab5，ac4，則sina（ ）a b c d3 在abc中，c=90，bc=2，sina=，則邊ac的長是( )a b3 c d 4如圖，已知點p的坐標是（a，b），則sin等于（ ）a b c5. 在rtabc中，c=90，sinb=,abcm，則abc的面積為 .七學習感悟學習內容 281銳角三角函數（2） 學習時間： 學習目標1學習當直角三角形的銳角固定時，它的鄰邊與斜邊的比值都固定（即余弦值不變）這一事實.2學習將余弦概念正確進行計算并運用于實際生活中，并注意與正弦值的異同點.學習重點正確理解余弦的概念.學習難點注意與正弦值的區別，并熟練運用銳角三角函數的概念進行有關計算.eoabcd學習過程：一自主學習1我們是怎樣定義直角三角形中一個銳角的正弦的？2如圖，在rtabc中，acb90，cdab于點d。已知ac=，bc=2