氣體分子動理論 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 本章內容 Contents chapter 14 氣體壓強與溫度的統計意義氣體壓強與溫度的統計意義 平衡態 概率 統計平均值平衡態 概率 統計平均值 equilibrium state probabiility statical mean quantity staticalmeanningof gas pressure and temperature 玻耳茲曼分布律玻耳茲曼分布律 Boltzmann distribution 麥克斯韋速率分布律麥克斯韋速率分布律 maxwellspeed distribution 氣體分子的平均自由程氣體分子的平均自由程 mean free path of gas molecular PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 平衡態 一氣體系統若不受外界影響 無物質 和能量交換 或只受恒定的外力場作用 的條件下 氣體系統的宏觀特性 如溫 度 壓強等 長時間不隨時間改變的狀 態稱為平衡態 處于平衡態中的氣體 其分子仍不停 作熱運動 但其總體平均效果不隨時間 改變 是一種動態平衡 平衡態概率平衡態概率統計平均統計平均 值值 平衡態概率平衡態概率統計平均統計平均 值值 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 物態參量 不受 或忽略 恒定外力場作用時 平衡態氣體各部分的宏觀性質是均勻 的 只受恒定外力場作用時 平衡態氣 體的密度并不均勻 但這兩種情況下氣 體的宏觀性質都不隨時間變化 本章除玻耳茲曼分布一節考慮恒定重力場作用 外 均忽略恒定外力場的作用 描述平衡態的參量稱為物態參量或態 參量 如體積 壓強 溫度等 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 微觀與宏觀量 描述單個分子特征的量 大小 質量和速度等 描述單個分子特征的量 大小 質量和速度等 氣體的微觀量 單個氣體分子的運動具有偶然性和隨機性 單個氣體分子的運動具有偶然性和隨機性 氣體的宏觀量 表征大量分子宏觀特征的量 體積 壓強和溫度等 表征大量分子宏觀特征的量 體積 壓強和溫度等 大量分子運動的集體表現具有統計規律性 大量分子運動的集體表現具有統計規律性 氣體的宏觀量是大量分子行為的統計平均表現 熱現象與物質的分子運動密切相關 大量 分子的無規則運動稱為分子的熱運動 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 物態方程 物態參量之間所滿足的關系式稱為物態方程 理想氣體的物態方程 1標準大氣壓 1atm 1 103 10 Pa 熱力學溫度 攝氏溫度t 273 15 注 8 31 氣體的壓強單位 帕 氣體的體積單位 立方米 氣體的熱力學溫度單位 開 氣體的質量單位 千克 氣體的摩爾質量單位 J mol K氣體常數 摩爾mol千克 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 續上 理想氣體的物態方程 對一定量 mol 的氣體 三者只要給定 兩個就確定了一個平衡態 圖中的一點 代表一個平衡態 若氣體受外界影響 某平衡態被 破壞 變為非平衡態 物態隨時間 而變化稱為過程 圖不能表示非平衡態 也不能表示這種非 平衡情況下的動態變化過程 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 準靜態過程 準 靜 態 過 程準 靜 態 過 程 若經歷非平衡過程后可以 過渡到一個新的平衡態 此 過程稱為弛豫 所需時間稱 為弛豫時間 若過程進行得充分緩慢 使過程中的某一狀態到相鄰 狀態的時間比弛豫時間大得 多 則每一中間態都可近似 地看作平衡態 這樣的過程 稱為準靜態過程 準靜態過程 平衡態 平衡態 圖中的過程曲 線 都是準靜態過程曲線 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 概率 概率統計平均值 概率統計平均值 概率在所有可能發生的事件中 某種事件發生可能性 或相對機會 的大小 某事件X 出現的概率 事件X出現的次數 試驗總次數 在很多次的試驗中 概率定義式概率定義式 若可能事件有種 則種可能事件發生的總次數試驗總次數 各種可能事件的概率之和等于1 稱為概率的歸一化條件 歸一化條件歸一化條件 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 概率密度函數 等概率假設等概率假設 在氣體動理論中經常用到一些等概率假設 如假設處于 平衡態的氣體 每個分子出現在容器內任何一點處的概率 相等 每個分子朝各個方向運動的概率相等 如在直角坐 標中 分子速度的三個分量的各種統計平均值相等 等 事件出現在事件出現在內的概率內的概率 與的位置和與的位置和的大小有關的大小有關 稱稱概率密度概率密度或或概率密度函數概率密度函數 在附近單位間在附近單位間 隔內出現的概率隔內出現的概率 若表示事X的量可連續變化 例如在某些隨機因素 影響下 多次測量某電機的轉速可能在某一范圍內變 化 概率密度函數概率密度函數 若函數若函數的形式已知的形式已知 則則 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 統計平均值 對某量進行次測量 測量值出現次數 測量值乘以出現次數 的統計平均值 若值可連續變化 則 連續變量的平均值等于該量與概率密度函數乘積的積分 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 氣體微觀模型 氣體的壓強與溫度的統計意義氣體的壓強與溫度的統計意義 氣體的壓強與溫度的統計意義氣體的壓強與溫度的統計意義 一 理想氣體的微觀模型 氣體分子的大小與分子間的平均距離相 比可以忽略 分子除碰撞瞬間外 無其它相互作用 碰撞視為完全彈性碰撞 這是由氣體的共性抽象出來的一個理想 模型 在壓力不太大 溫度不太低時 與 實際情況附合得很好 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 理想氣體壓強 二 理想氣體的壓強公式 宏觀 器壁單位面積所受的壓力 微觀 大量氣體分子頻繁碰撞器壁對器壁單位面積的平均沖力 標準狀態下 氣體的分子數密度 的數量級為 個 亦即個 其數量之多已 能很好滿足微 觀統計的要求 要考慮分子速度 大小及方向 不同的因素 對各種不同速 度間隔的分子 碰壁沖量求和 考慮單位時間作 用在單位面積上 的沖量就是壓強 運用統計平均 值及平衡態概 念得到壓強與 微觀量的關系 推導思路 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 壓強公式推導容器盛同種氣體 分子質量 居平衡 態 射向器壁面元的某分子束碰壁后反射 不與法向平行的速度分量 其相應的動量無變化 速度速度為為的的某某分子分子彈碰中彈碰中的動量的動量變變化化 為為 反X向 在在時時間內間內 入射 入射分子分子束斜園柱束斜園柱體體 的體積的體積中中速度速度基本為基本為 的分子的分子 都能碰撞器壁 都能碰撞器壁一一次次 其 光光 滑滑 器器 壁壁 若氣體中速度基本為的分子數密度為 則該組分子與碰撞而發生的動量變化為 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 續上容器盛同種氣體 分子質量 居平衡 態 射向器壁面元的某分子束碰壁后反射 不與法向平行的速度分量 其相應的動量無變化 速度速度為為的的某某分子分子彈碰中彈碰中的動量的動量變變化化 為為 反X向 在在時時間內間內 入射 入射分子分子束斜園柱束斜園柱體體 的體積的體積中中速度速度基本為基本為 的分子的分子 都能碰撞器壁 都能碰撞器壁一一次次 其 光光 滑滑 器器 壁壁 若氣體中速度基本為的分子數密度為 則該組分子與碰撞而發生的動量變化為 氣體中速度基本為的分子數密度為 該組分子與碰撞而發生的動量變化為 將上將上式式對對平衡態氣體平衡態氣體中從各中從各個個不同方不同方 向向 以不同以不同速度速度射向射向的的各組各組分分 子子求求和和 其總 其總動量動量變變化化為為 負射向分量 此式包含 和 因平衡態中兩者各占一半 故 的分子才能與相 碰 的分子 只有 能能與與碰撞碰撞的的所所有分子的有分子的總總動量動量變變化化為為 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 續上 光光 滑滑 器器 壁壁 氣體中速度基本為的分子數密度為 該組分子與碰撞而發生的動量變化為 將上將上式式對對平衡態氣體平衡態氣體中從各中從各個個不同方不同方 向向 以不同以不同速度速度射向射向的的各組各組分分 子子求求和和 其總 其總動量動量變變化化為為 負射向分量 此式包含 和 因平衡態中兩者各占一半 故 的分子才能與相 碰 的分子 只有 能能與與碰撞碰撞的的所所有分子的有分子的總總動量動量變變化化為為 能能與與碰撞碰撞的的所所有分子的有分子的總總動量動量變變化化為為 容器中容器中氣氣 體體總總體的分體的分 子數密度子數密度 的的統計平均值統計平均值 得得 應用動量定 理 分子受器壁 作用的平均沖力為 壁對氣 器壁 受器壁 受氣體分子氣體分子作用作用的平均的平均沖力沖力 壁對氣氣對壁 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 續上 光光 滑滑 器器 壁壁 能能與與碰撞碰撞的的所所有分子的有分子的總總動量動量變變化化為為 容器中容器中氣氣 體體總總體的分體的分 子數密度子數密度 的的統計平均值統計平均值 得得 應用動量定 理 分子受器壁 作用的平均沖力為 壁對氣 器壁 受器壁 受氣體分子氣體分子作用作用的平均的平均沖力沖力 壁對氣氣對壁 器壁 受器壁 受氣體分子氣體分子作用作用的平均的平均沖力沖力 壁對氣氣對壁 由于分子向 X Y Z方向運動概率相等 又因 則 可推知 得 氣對壁 定義氣體分子的平均平動動氣體分子的平均平動動能能為大量 氣對壁 理想理想氣體的壓強氣體的壓強公公式式 由此推得 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 壓強統計意義 三 理想氣體壓強的統計意義 定義氣體分子的平均平動動氣體分子的平均平動動能能為大量 氣對壁 理想理想氣體的壓強氣體的壓強公公式式 氣體的宏觀量壓強 是大量氣體分子作用于器壁的平均沖 力 由微觀量的統計平均值和決定 理想氣體壓強公式是反應大量分子行為的一種統計規律 并非力學定律 只對個別分子而言 氣體壓強沒有意義 注 推導過程中的 和在宏觀上很小 但在微觀上相對于分子的大小 和作用時間應當足夠大 保證在時間內有大量分子與發生 碰撞 平衡態中同種氣體的分子全同 其出現位置和各向運動概率相等 這已 包含了分子之間相互碰撞因素的一種動平衡 推導中不必考慮此類碰撞 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 氣體溫度公式 氣體溫度的統計意義氣體溫度的統計意義 氣體溫度的統計意義氣體溫度的統計意義 氣體分子的平均平動動氣體分子的平均平動動能能 物物態態方方程程理想理想氣體氣體可用另可用另一形式表一形式表達達 其中其中 分子質量分子質量 總總分子數分子數 阿伏伽德羅常阿伏伽德羅常數數 分子數密度分子數密度 玻耳茲曼玻耳茲曼常常數數 即 壓強壓強公公式式理想理想氣體氣體 理想氣體的 溫度溫度公公式式 1 玻耳茲曼玻耳茲曼常常數數 阿伏伽德羅常阿伏伽德羅常數數 注 注 6 02 1 38 10 23 10 23 mol J K 1 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 溫度的統計意義 氣體分子的平均平動動氣體分子的平均平動動能能 理想氣體的 溫度溫度公公式式 氣 體 溫 度 的氣 體 溫 度 的 統 計 意 義統 計 意 義 氣體的氣體的熱力學熱力學溫度溫度 與與氣體分子的平均平動動氣體分子的平均平動動能能成正成正 比比 氣體的熱力學溫度可看作是對分子熱運動劇 烈程度的量度 氣體的溫度是大量分子熱運動的集體表現 具有統計意義 離開大量分子 溫度失去意義 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 凡例 1標準標準大氣壓大氣壓 1atm 1 103 10 Pa 某氧器瓶內 氧氣的壓強1 00 atm 溫度27 C視為理想氣體 平衡態 氧分子的平均平動動能 分子數密度 由 3 2 1 38 10 23 27 273 3 2 J6 21 10 21 由 3 2 3 2 3 2 1 103 105 6 21 10 21 25 2 6610個 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 虛設聯想 由 K C 難以實現 太陽表面溫度 5490 C 標準狀態下 0 C 1atm 理想氣體的 分子平均平動動能 分子數密度 3 5310 2 ev 2 921025m 3 個 一個電子經過1伏特電勢差加速后所獲的 動能為1電子伏特 1ev 1 602 10 19 J 如果某理想氣體系統的分子平均平動動能要達到1ev 其溫度將會有多高 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 玻耳茲曼分布 玻耳茲曼分布律玻耳茲曼分布律玻耳茲曼分布律玻耳茲曼分布律 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 數學表達 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 麥氏速率分布 處于平衡態的氣體 其分子沿各向運動的機會均 等 這并非意味著每個分子的運動速率完全相同 而是大量不同運動速度 大小和方向 的分子 在 一定條件下所形成的一種熱動平衡狀態 首先引用一種簡明的實驗方法 說明氣體的分子 數按速率分布的客觀規律性 麥克斯韋速率分布律 是表示氣體處于熱平衡 時 氣體的分子數按速度大小 速率 分布的規律 麥克斯韋速率分布律麥克斯韋速率分布律麥克斯韋速率分布律麥克斯韋速率分布律 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 麥氏速率分布實驗 實驗動態示意 麥氏分布實驗 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 速率分布含義 分布曲線 總分 子數 速率間隔內的分子數 處于到 速率分布函數 速率附近單位間隔內 的分子數與總分子數之比 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 速率分布函數 快減快增 兩者相乘 曲線 若m T 給 定 玻耳茲曼常 數 函數的形式可概括為 曲線 曲線 有單峰 不對稱 速率分布曲線 速率恒取正 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 歸一化條件 速率在到區間內的分子數與總 分子數 之比 若將速率區間擴展至到 即具有一切可能速率的分 子數與總分子數之比應為 對分子質量為m 熱力學溫度為T 處于平衡態的氣體 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 最概然速率 與與此此函數的函數的極極大值大值對應對應的速率的速率稱稱為最為最概然速概然速 率率 或 令即易得 因 則 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 不同條件比較 或 相同 相同 用進行比較 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 平均速率麥克斯韋速率分布律麥克斯韋速率分布律應用舉例應用舉例 麥克斯韋速率分布律麥克斯韋速率分布律應用舉例應用舉例 平均速率平均速率 算術算術平均速率 平均速率 根據某連續變量x 的平均值等于該 量與概率密度函數乘積的積分的定義 在討論氣體分子平均自由程問題時涉及到分子的算術平均 速率概念 在討論平均平動動能時涉及到方均根速率概念 麥克斯韋速率分布函數就是計算此類速率的概率密度函數 或 也有類似 注意到 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 方均根速率 方均根速率方均根速率 的統計平均值的開平方 即作為參與統計平均的連續變量 或 也有類似 則 得 回憶 聯系 注意到 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 速率小結 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 特征速率例題 氧氣摩爾質量3 20 10mol 溫度27 C處于平衡態 氣體分子的和 27 273 300 k 483 m s 394 m s 447 m s PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 歸一化例題 假設有大量的某種粒子 總數目為N 其速率分布函數為 均為正常數 且為已知 畫出該速率分布函數曲線 根據概率分布函數應滿足的基本條件 確定系數 求速率在區間的粒子數 拋物線方程 得 Max PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 續上概率分布函數應滿足 歸一化條件 本題 要求 得 均為正常數 且為已知 假設有大量的某種粒子 總數目為N 其速率分布函數為 畫出該速率分布函數曲線 根據概率分布函數應滿足的基本條件 確定系數 求速率在區間的粒子數 拋物線方程 得 Max 速率在 區間的粒子數 得 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 隨堂小議 請請在在放映狀放映狀態態下點擊你認為是對下點擊你認為是對的的答案答案 則代則代表表氧氧的分布函數的分布函數曲線為曲線為 1 曲線曲線 2 曲線曲線 f v v o 結結束束選擇選擇 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 小議鏈接1 請請在在放映狀放映狀態態下點擊你認為是對下點擊你認為是對的的答案答案 則代則代表表氧氧的分布函數的分布函數曲線為曲線為 1 曲線曲線 2 曲線曲線 f v v o 結結束束選擇選擇 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 小議鏈接2 請請在在放映狀放映狀態態下點擊你認為是對下點擊你認為是對的的答案答案 則代則代表表氧氧的分布函數的分布函數曲線為曲線為 1 曲線曲線 2 曲線曲線 f v v o 結結束束選擇選擇 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 分子平均動能 公式 理想氣體 公式 壓強 溫度 氣體分子的平均氣體分子的平均 平動平動動動能能 只是氣體分子運動能量的一部分在某方面產生的統計平均效果 如果將原子看成質點 將分子看成是原子的 剛性連接體 剛性分子 則分子的動能除平 動動能外 對于雙原子分子和多原子分子還有 轉動動能 分子平均動能的計算 涉及自由度概念 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 自由度 確定某物體空間位置所需的 獨立坐標的數目 稱為該物體的自由度數 單原子分子 平動自由度 雙原子分子 平動自由度 轉動自由度 三及多原子分子 平動自由度 轉動自由度 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 能量均分定理 理想氣體 平衡態 分子平均平動動能 因 故 每個平動自由度的平均平動動能均為 將等概率假設推廣到轉動動能 每個轉動自由度的 轉動能量相等 而且亦均等于 在溫度為的平衡態下 氣體分子的 每一個自由度 都平均地具有的動能 能量按自由度均分定理 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 分子平均動能 理想氣體 平衡態 分子平均平動動能 因 故 每個平動自由度的平均平動動能均為 將等概率假設推廣到轉動動能 每個轉動自由度的 轉動能量相等 而且亦均等于 在溫度為的平衡態下 氣體分子的 每一個自由度 都平均地具有的動能 能量按自由度均分定理 在溫度為的平衡態下 氣體分子的 每一個自由度 都平均地具有的動能 能量按自由度均分定理 處于平衡態溫度為的理想氣體 若將氣體分子看作剛 性分子 如果分子有個平動自由度 個轉動自由度 則 若將分子看作非剛性分子 還要考慮分子的振 動動能 按一定的原則確定振動自由度 略 分 子 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 簡例 理想氣體處于平衡態時 證明氣 體分子的平均動能是平均平動 動能的倍 氣體溫度的統計意義 氣體分子平均動能的含義 本題是為了幫助理解與成正比的原因 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 理想氣體內能 某一定量理想氣體的內能組成氣體的全部 分子的平均動能之和 mol 氣體有 阿伏伽德羅常數 個分子 mol 理想氣體的內能 分子的平均動能 mol 理想氣體 mol 理想氣體的內能 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 內能算例 理想氣體 mol 理想氣體的內能 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 平均自由程 熱運動分子之間 分子的運動路徑 頻繁碰撞 曲折復雜 碰撞時兩 分子質心距 離的平均值 稱為分子的 有效直徑 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創建 碰撞頻率 熱運動分子之間 分子的運動路徑 頻繁碰撞 曲折復雜