直線和平面復習（一） 教學目標1配合系統復習，進一步培養空間想象力；2借助平面幾何中，三角形的重心、垂心、內心、外心等知識，解決立體幾何問題教學重點和難點1空間想象力的培養；2分析問題能力與綜合運用知識能力的培養教學設計過程師：同學們已經很好地完成了知識總結的作業，有些同學還將知識的內在聯系用圖表展示出來也有的同學將各種位置關系用圖形語言和符號語言進行歸納和整理在此一并提出表揚我們將把這些總結用展板展示，請同學們互相學習師：本節課我們將通過一組問題來進行復習復習的目的之一是進一步培養同學們的空間想象力關于空間想象力的問題，在高一年級剛開始時，單純的想象占主導地位，隨著一個學期的學習，關于線面的各種位置關系及性質研究的深入，單純的想象力就轉化為：在線面各種位置關系的定義、性質定理指導下的想象請先看下面一組題目：填空題：1空間三個平面可能將空間分成_部分2正方體各個面所在的平面將空間分成_部分3與空間四個點距離相等的平面有_個*4a，b，c，d是空間不共面的四點它們到平面的距離比（依次）為：2111，滿足條件的平面有個生：第1題空間三個平面可能將空間分成4或6或7或8部分師：請你畫圖說明你的觀點生：（作圖）師：很好，圖1、圖2、圖3、圖4依次表示三個平面將空間分成4，6，7，8部分生：第2題答案是27師：你給同學們解釋一下，答案為什么是27生：（手拿一個粉筆盒）這個粉筆盒近似看成一個正方體，它的上底面與下底之間被分成9部分同樣，上底面上邊與下底面下面也各被分成9部分總計正方體各個面所在的平面將空間分成27部分師：對于第3小題，需要先證明下面的命題：線段ab與平面相交，若ab中點c在平面上，則點a、點b到平面的距離相等生a：本題的答案為4，因為經過有公共頂點的三條棱的中點作截面，根據老師剛介紹的引理，可以證明這樣的截面符合條件（如圖5） 生b：還有一種情況剛才生a所作平面使已知四個點中有三個在平面的同一側，另外一個點在另一側我想所作平面兩側各有2個點如圖6這類平面共有3個，即v，a兩點在平面同側；v，b兩點在平面同側；v，c兩點在平面同側師：剛才兩名同學講的都很好，相互補充，符合條件的平面共有7個同學們有不同意見嗎？師：剛才兩名同學都認為已知四個點不共面，事實上，當這四個點共面時，符合題目要求的平面有無數個只要與四點所在平面平行的平面都符合要求生：老師，如果這四個點共線呢？師：當四個點共線時，只要與這條直線平行的平面均符合條件，這個題目的正確答案應該是7個或無數個分類討論的方法不僅在代數課上使用，幾何學中也經常使用，此題就是按照圖形的不同位置關系進行分類討論我們繼續討論第4題生：我認為仿照第3小題的解答，可提出下面引理：若點a、點b師：他的猜測是正確的這個命題的正確性請同學們課下論證下面我們討論第4小題的解法生a：分別延長ab，ac，ad至b1，c1，d1，使bb1=ab，cc1=ac，dd1=ad，如圖7，則平面就是平面b1c1d1生b：分別在ab，ac，ad上取點b，c，d，使得：師：分別取bc，cd，da的中點e，f，g那么經過eg的任何一個平面都滿足：它與b，c，d三點的距離相等，在這些平面中，經過點b或經過cd（因為cdcdge）的平面符合題目要求（圖8）經過eg有兩個平面符合題意同樣，經過ef，fg各有兩個平面符合題意，綜合以上分析共有8個平面符合題目要求師：問題5是否存在一個四面體，它的每個面都是直角三角形？請同學們思考生a：我找到一個幾何體，它的三個面都是直角三角形如圖 9avb=bvc=cva=90生b：我曾經證過生a所給的圖中，abc是銳角三角形師：根據兩名同學的發言，給我們以下啟示：三個面是直角三角形的幾個體已經找到；三個直角頂點不能是同一個點！構造vab=vac=90，且bac90再構造acb=90，同學們不難證明vcb=90生：是根據三垂線定理師：空間想象力在不同時期有不同要求上面這個問題如果是高一第一學期開始讓同學們作，那就只有想象或動手制做模型現在解決它，可以借助我們所學的線面位置關系去尋找解決問題的方法，并且在想象結束時，論證想象的合理性師；如圖11，正方體abcd-a1b1c1d1，p，q，r分別在c1d1，cc1，ab上畫出截面pqr與正方體各面的交線由公理知：pq 面dc1因為面ab1面dc1，截面與它們相交，交線必平行（根據面面平行的性質定理）過點r在面ab1中作pq平行線交aa1于spq交dc于t，tr交bc于e，連結eq，過s作sfeq交a1d1于f，連fp，則多邊形pqersf的邊就是截面pqr與正方體各面的交線師：同學們請看下面一組題：6從平面外一點向平面引垂線和斜線，若斜線與平面所成的角都相等，垂足是斜足多邊形的_心7直角三角形abc中，c是直角，ac=6，bc=8，abc所在平面外一點p，pa=pb=pc=13，點p到abc所在平面的距離為_生：垂足是斜足多邊形的外心，因為從平面外一點向平面引斜線它們與平面所成角相等，可以得到它們的長相等，它們在平面內的射影長也相等師：同學們還可以進一步思考，滿足什么條件時，垂足是斜足多邊形的內心？垂足有沒有可能成為斜足多邊形的重心？垂心？做完一道題目之后，不要滿足于題目的本身，能夠將條件、結論變換后的有關命題進行研究，可達到事半功倍，提高能力的效果師：根據已知條件，第7小題中，點p在abc所在平面上的射影恰為abc的外心由于abc是直角三角形，所以由點p引平面abc的垂線，垂足恰為abc斜邊ab的中點，你們知道了解題思路嗎？生：作pd面abc于d，由pa=pb=pc，得da=db=dc，d是abc外心又因為acb=90，由平面幾何知識，得出d為ab的中點pa=13，ad=5，pd=12即點p到平面abc的距離為12師：三角形的垂心、內心、外心、重心的知識在立體幾何中經常使用有一些題目本身沒有明確給出，如第7小題，恰到好處地運用四心有關的知識，可簡化解題過程下面一道題目也是與三角形的“心”有關的問題8如圖13，正abc邊長為a，o為外心，po面abc，pa=pb=pc=b，d，e分別為ac，ab的中點，且pa面defg求：四邊形defg的面積由題設我們能得到哪些有用的結論？生a：因為pa面efgd，由線面平行的性質可得：efpa，gdpa，所以efdg由d，e分別是ab，ac的中點，debc，所以bc面defg進一步得出bcfg綜上defg是平行四邊形能求出平行四邊形defg的面積師：到目前為止，已知條件中還有兩條沒有發揮作用等邊abc；o為abc的外心，生c：當o為等邊三角形外心時，它也是等邊abc的垂心即bcao，又po面abc，由三垂線定理知：bcpa已經證明了efpa，bcde，得出efde，efgd為一矩