第二章第九節(jié)習(xí)題解答 第二章第九節(jié)習(xí)題解答 1 證明 PQ 是冪等算子 所以 2 PQPQ 得出0PQQP 利用 P Q得冪等性 等式左乘P 得0PQPQP 等式右乘P 得 0PQPQP 所以PQQP 進(jìn)而 0PQQP xR PyR Q 由于 P Q是投影算子 xPx yQy 00 x yPx Qyx P Qyx PQyx 所以 R PR Q 同上推導(dǎo) 由 R PR Q 可得到0PQQP 由此 2 PQPQ 又 PQPQPQ 即PQ 是自伴的 所以PQ 是投影算子 R PQPQ x xH R PR QPxQy x yH 顯 然 R PQR PR Q 下 正 反 向 PxQyR PR Q 利 用 0PQQP 存在zPxQy 使得 PQ zPQPxQyPxQy 所以 PxQyR PQ 可直接驗(yàn)證 kerkerkerPQPQ 下正反向 kerxPQ 0PQ x 所 以 2 0P PQ xP xPx 同 理0Qx 所 以 kerkerxPQ 2 證明 PQ是投影算子 PQ是自伴算子 PQPQQ PQP 反 之 2 PQPQPQPPQQPQ 即PQ是 冪 等 算 子 另 外 PQQ PQPPQ PQ還是自伴的 所以PQ是投影算子 xR PR QxR PxR Q 由 于 P Q是 投 影 算 子 xPx xQx PQxPxx 所以 xR PQ R PR QR PQ 反 之 xR PQ 由 于PQ是 投 影 算 子 xPQx 所 以 PxPPQxPQxx 所 以 xR P 同 理 xR Q 于 是 得 出 結(jié) 論 R PR QR PQ 證得 R PR QR PQ kerker ker kerPQxy xPyQ kerkerzPQ 存 在 ker ker nn xPyQ 使得 nn xyz 由PQ得連續(xù)性 有界性 課后答案網(wǎng) limlim lim0 nnnn nn nn n PQzPQ xyPQxPQy QPxPQy 所以 kerzPQ 反之 kerzPQ 0PQz 即 kerQzP 利用 zQzIz z 由于 ker kerQzPIQ zQ 所以 kerkerkerkerzPQPQ 所以 kerkerkerPQPQ 3 證明U是線性算子 滿的 單的 然后計(jì)算比較 Ux Uyx y 4 證明 利用定理8 4 只需證明 2 AA A 22 A x A xAAx AAxAx A AAx Ax AA AxAx A A Ax A Ax A Ax 所以 2 A xA Ax 22 sup 1sup 1AA xxA AxxA A 5 證明 A是正規(guī)算子 A AAA 對(duì)任意xH Ax AxA Ax xAA x xA x A x 所以 AxA x 反之 利用極化等式 x yH 22 22 22 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 A x A yA xA yA xA y i A xA yi A xA y A xyA xy i A xyi A xy A xyA xy i A xyi A xy Ax Ay 所以 A x A yAx Ay 從而 x AA yx A Ay 由x的任意性 AA yA Ay 由y的任意性 AAA A 證得A正規(guī) 課后答案網(wǎng) 6 證明 酉算子定義 A不是滿射 即 R AH 易驗(yàn)證 R AAx xH 是線性空間 下證 R A是閉的 xR A 存在 n xH 使得lim n n Axx n Ax的收斂性保證 n Ax是Cauchy列 下證 n x也是Cauchy 列 利用算子的保范性 0 nmnm