全等三角形綜合指導一、復習目標1理解三角形的有關概念,以及三角形三邊之間的關系、內角和等基本性質2掌握一般三角形全等和直角三角形全等的條件，能熟練利用判別方法說明兩個三角形全等3掌握用尺規作三角形的基本方法，會利用尺規根據三角形全等的識別方法作三角形4能借助三角形有關知識解決實際生活中的問題二、重要知識點回顧（請你仔細閱讀并填空）1三角形有關概念（1）定義： 叫三角形（2）邊角關系：三角形兩邊之和 ，三角形兩邊之差 ；三角形三個內角的和是 （3）分類：三角形按角分類為 三角形、 三角形、 三角形；直角三角形兩銳角 （4）重要線段： 叫做三角形的角平分線， 叫做三角形的中線， 叫做三角形的高，三角形的三條角平分線交于 、三條中線 、三條高所在的直線 2圖形全等（1）定義： 稱為全等圖形（2）特征：全等圖形的 都相同3全等三角形（1）定義： 叫全等三角形；如果abc與def全等，把它們記作 ，記兩個三角形全等時，一般把 寫在對應的位置上（2）性質：全等三角形的對應邊 、 相等（3）全等三角形的判定判定三角形全等的條件有：（1） ，（2） （3） （4） 4尺規作圖（1）定義：在幾何里，把只用 和 畫圖的方法稱為尺規作圖； 和 的尺規作圖稱為 ，一些復雜的尺規作圖，都是由 組成的（2）基本尺規作圖基本作圖有五種，分別是 、 、 、 、 （3）尺規作圖時，用 畫直線、射線和線段，用 畫弧和圓5直角三角形全等 的兩個直角三角形全等簡寫成“斜邊、直角邊”或“hl”，判定兩個直角三角形全等除了“hl”外，還有 、 、 、 6利用全等三角形測距離測量距離的常用方法有： 、 三、易混、易錯問題辨析1三角形的角平分線、高和中線都是線段2書寫全等三角形時一般把對應頂點的字母放在對應的位置3三角形全等的判別方法中不存在“ass”、“aaa”的形式，判別三角形全等的條件中至少有一條邊4尋找三角形全等的條件時，要結合圖形，挖掘圖中的隱含條件：如公共邊、公共角、對頂角、中點、角平分線、高線等所帶來的相等關系5求作三角形時應注意分析條件特征，對于較復雜些的求作三角形問題可先畫草圖.6運用三角形全等測距離時，應注意分析已知條件，探索三角形全等的條件，理清要測定的距離，畫出符合的圖形，根據三角形全等說明測量理由7注意只有說明兩個直角三角形全等時，才使用“hl”，說明一般的三角形全等不能使用“hl” 四、典型思想與方法例析1.方程思想如通過設未知數，根據三角形內角和之間的關系構造方程解決角度問題例1. 如圖1，已知a=27，cbe=90，c=30，求ade的度數。分析：要求一個角的度數，可以先看一下它所出的位置：如果是某個三角形的一個內角，可以考慮三角形內角和定理計算，如果是某個三角形的外角，可以考慮三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和計算，本題中的ade只能是bfd或者aed的內角，不可能是某個三角形的外角解：設ade=x，cbe=90，c=30（已知）dec=180-(cbe+c)=180-(90+30)=60（三角形內角和定理）又dec=a+ade（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）60=27+x，x=60-27=33，即ade=33評注：本題可以通過設未知數，找相等關系，列方程來解，體現了幾何問題中的方程思想2分類思想例2已知等腰三角形的周長是24cm，已知其中一邊長為6cm，求其他兩邊長.分析：要注意分兩種情況考慮，因為題目中沒有說明這條邊究竟是腰還是底邊，所以通過其中一邊長為6cm，求其他兩邊的長應該分成兩種情況考慮：一種是6cm長的邊為腰，另一種是6cm長的邊為底.解：因為長為6cm的邊可能是腰，也可能是底，所以要分兩種情況計算：當長為6cm的邊為腰時，則底邊為 24-62=12 ，6+6=12 兩邊之和等于第三邊，所以6cm長為腰不能組成三角形，舍去.當長為6 cm的邊為底邊時，則腰長為（24-6）2=9，6cm、9cm、9cm可以組成三角形，三角形其他兩邊長為9 cm.評注：本題體現了數學中的分類討論思想，并且計算結果還要注意檢查是否符合兩邊之和都大于第三邊.3.轉化思想 圖2例3如圖2是用兩根拉線固定電線桿的示意圖，其中，兩根拉線的長ab=ac，bd和dc的長相等嗎？為什么？分析：因為電線桿和地面垂直，它和兩根拉線分別構成兩個直角三角形，所以通過全等三角形的知識解決解：bd和dc相等因為adbc,所以adb=adc=90,又ab=ac,ad=ad,所以rtabdrtacd(hl)，所以bd=dc 評注：本題就是轉化的策略，它將實際問題轉化為全等三角形的問題，從而解決問題五、復習對策根據本章的特點，我建議同學們在學習或復習中要注意以下幾點：（1）善于觀察，勤于思考，勇于探索空間觀念的發展需要在學習中親自經歷觀察、操作、想象、推理與交流等數學活動，本章主要是學習和研究與三角形相關的一些形式，一定要認真觀察，勤于思考，發現圖形中某些特點和性質，充分利用教科書中所提供的素材進行探索性的研究，從而主動獲取知識（2）重視數學知識和應用的結合三角形在日常生活中隨處可見，應用也很廣泛，科書中許多地方設置了三角形的應用，具有很強的現實性、趣味性、挑戰性，一定要很好地去體驗和感悟，除詞之外，我們要結合本地區的實際尋找更多的與三角形有關的素材進行學習研究，例如：可從有關書籍、網絡上選取，也可從各種建筑設施、自然環境中去發現，達到學用結合（3）強化直觀操作與說理結合，逐步培養有條理的思考和表達本章涉及到很多動手操作題，學習過程千萬不要忽視，要積極參與，勤于動手，在實踐中獲得知識，同時，在各種數學活動中要自覺地進行思考，自覺地用語言說明操作的過程，并嘗試解釋其中的理由，養成說理有據的意識（4）學會在合作中學習我們每一個人都是有差異的，要勇于正視自己的不足和弱項，在學習過程中要經常與他人合作，與他人交流，相互借鑒，取長補短，從而更好地豐富自己的數學活動經驗，提高思維水平和解決問題的能力六、重要考點例析考點1：考查三角形的概念例4（2008年湖南省株洲市）現有2cm、4cm、8cm長的四根木棒，任意選取三根組成一個三角形，那么可以組成三角形的個數為（ ）a. 1個 b. 2個 c. 3個 d. 4個分析：要判斷所給的哪三根小木棒可首尾相接后擺成三角形，則需要看較短的兩個木棒的長度的和是否大于第三個木棒的長，如果大于，則可以構成三角形，否則，不能構成三角形解：根據兩較短木棒的長度和大于第三個木棒的長度，共有4，4，2；8，8，4；8，8，2三種情況，故選c【評注】和三角形三邊關系的試題,主要涉及根據三角形的三邊關系確定所給的線段能夠構成三角形,解決問題應注意三角形三邊關系的靈活運用考點2：考查三角形三邊關系例5（2008年福建福州）已知三角形的兩邊長分別為4cm和9cm，則下列長度的四條線段中能作為第三邊的是（ ） a13cmb6cmc5cmd4cm分析：本題考察了三角形的三邊關系及不等式的相關知識三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊解：第三邊的長度滿足949+4，即513，故選b評注：在實際判斷時，不需要去將三角形的任意兩邊都相加，然后判斷其和是否大于第三邊只需選取較小的兩邊相加，判斷其和是否大于最大邊即可考點3：三角形內角和例6(2008年寧夏回族自治區)如圖3，abcd， acbc，bac =65，圖3則bcd= 度.分析：由三角形內角和可以知道abc=25，再根據平行線性質，我們可以知道bcd=abc.解：根據以上分析該填：25.點評 本題考查了平行線性質和三角形內角和性質的掌握.考點4：全等三角形計算題例7（2008年遵義市）如圖4，則等于（ ）abcdoeabdc圖4解：根據，可證，所以，又因為，所以，故選a點評：本題主要考查全等三角形的判定和性質全等三角形具有對應邊、對應角相等的性質考點5：全等三角形說理題例8（2008年南寧市）如圖5，在abc中，d是bc的中點，deab，dfac，垂足分別是e、f，be=cf.（1）圖中有幾對全等的三角形？請一一列出；圖5（2）選擇一對你認為全等的三角形進行證明解：（1）3對分別是：abdacd；adeadf；bdecdf（2）bdecdf證明：因為deab，dfac，所以bed=cfd=90，又因為d是bc的中點，所以bd=cd，在rtbde和rtcdf中，所以bdecdf點評：本題考察三角形的全等知識。第（1）小題是根據對圖形的直觀判斷和一定的推理可得結果，要求考慮問題要全面第（2）個問題具有一定的開放性，選擇證明不同的結論，判定方法會有不同，這里根據hl可判斷兩個直角三角形全等考點6：全等三角形實際問題例9(2008年西寧市) 如圖6，一塊三角形模具的陰影部分已破損（1）只要從殘留的模具片中度量出哪些邊、角，就可以不帶殘留的模具片到店鋪加工一塊與原來的模具的形狀和大小完全相同的模具？請簡要說明理由圖6bca分析：只要根據三角形全等的條件來判定即可（1）只要度量殘留的三角形模具片的的度數和邊的長，因為兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等（2）按尺規作圖的要求，正確作出的圖形點評：本題是同學們生活中經常遇到的問題，重點考查同學們運用三角形全等的知識解決生活中遇到的問題的能力考點7：作圖題例10（2008年無錫市）已知一個三角形的兩條邊長分別是1cm和2cm，一個內角為圖7（1）請你借助圖7畫出一個滿足題設條件的三角形；（2）你是否還能畫出既滿足題設條件，又與（1）中所畫的三角形不全等的三角形？若能，請你在圖3的右邊用“尺規作圖”作出所有這樣的三角形；若不能，請說明理由（3）如果將題設條件改為“三角形的兩條邊長分別是3cm和4cm，一個內角為”，那么滿足這一條件，且彼此不全等的三角形共有個友情提醒：請在你畫的圖中標出已知角的度數和已知邊的長度，“尺規作圖”不要求寫作法，但要保留作圖痕跡2cm1cm402cm1cm40圖8圖9分析：已知條件是兩邊與一角，應該有兩種情況，一種是兩邊和其中一邊的對角，另一種情況是兩邊及其夾角，然后用尺規作圖即可.解：（1）作圖如圖8；（2）如圖9；（3）這一條件，且彼此不全等的三角形共有滿足4個點評：本題考查全等三角形和尺規作圖，通過作圖，進一步探究為什么“ssa”不能證三角形全等.考點8：全等三角形綜合應用例11（2008年泰安市）兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖10（1）所示放置，圖10（2）是由它抽象出的幾何圖形，在同一條直線上，連結圖10（2）圖10（1）dceab（1）請找出圖10