常用統計量數 授課教師 禤宇明 本章內容 描述統計統計量數 定義 性質 用法集中量數眾數 中數 算術平均數 加權平均數 幾何平均數差異量數全距 平均差 方差 標準差 差異系數地位量數百分位數 十分位數 四分位數 中 位 數 1 描述統計descriptivestatistics 描述統計對數據特征的描述數據的兩個主要特征中心位置離散性 2 集中量數 集中量數對數據的集中趨勢的度量確定一組數據的代表值 2 1常用集中量數 眾數mode中數median算術平均數mean加權平均數weightedmean幾何平均數geometricmean調和平均數harmonicmean 問題 某部門有5名一般職員和1名經理 一般職員的薪水是3000元 而經理的薪水是10000元 請問該部門收入的平均水平是多少 2 1 1眾數 Mode Mo 眾數 一組數據中出現次數最多的數如2 3 5 3 4 3 6的眾數為3卡爾 皮爾遜1894如果次數分布最多的有兩個數 而且兩個數是相鄰的 那么一般取兩者的平均值作為眾數 如果這兩個數不相鄰 那么一般需要報告兩個眾數 而且認為該組數據是bimodal雙峰分布的計算眾數的皮爾遜經驗法Mo 3Mdn 2M 眾數的用途 快速粗略尋求一組數據的代表值做不同質數據的代表值 如工資次數分布中有兩極端的數目 一般用中數 有時用眾數 用平均數和眾數之差作為次數分布是否偏態的指標 眾數與從眾 買東西 2 1 2中數 Median Md或Mdn 中數 一組數據中按從小到大排序后 處于中間位置上的變量值1883高爾頓將全部數據排序后 如果項數是奇數 則正中央的那一項即為中位數例 4 7 8 9 10 11 12 13 14Mdn 10如果項數是偶數 則正中央的那兩項的平均值即為中位數例 2 3 5 7 8 10 15 19Mdn 7 8 2 7 5 思考題 某病患者的潛伏期如下 求中數2 3 3 3 4 5 6 9 16若增加1例患者 其潛伏期為30天 求中數求15 35 25 5的中數 中數的應用 不易受極端值的影響當數據呈明顯偏態時 中數較均數或幾何均數合理 2 1 3平均數 Mean 2 1 3 1平均數的定義 又叫均數 算術平均數 縮寫M 設一組數據為x1 x2 xn 10名健康人的白細胞總數 109個 L 5 50 7 00 8 20 4 80 6 70 5 75 6 10 9 30 7 60 7 15 練習 2 1 3 2平均數的特點 一組數據的每一個數與平均數的差 離均差 的總和等于零一組數據的每一個數加上常數C 其平均數為原來的平均數加常數C一組數據的每一個數乘以常數C 其平均數為原來的平均數乘常數C一組數據的每一個數與常數C的差的平方和不小于該組數據的每一個數與平均數的差的平方和 2 1 3 3算術平均數的優點和缺點 優點反應靈敏確定嚴密簡明易解計算簡單符合代數方法進一步演算較少受抽樣變動的影響缺點易受極端值的影響若出現模糊不清的數據時無法計算 2 1 3 4算術平均數的適用條件 數據必須是同質的如 如果身高均數在性別上有差異 那么不分性別地求某一年齡組的身高均數時沒有實際意義的數據取值必須明確適用于呈正態分布的數據數據離散不能太大 2 1 3 5思考題 你們念統計的常以算術平均數來代表總體 population 那么你們一手泡在沸水中 另一手浸在冰水中 一定會感到很舒服 因為你們的平均感受是正常體溫 請舉例說明什么情況下我們會對估計總體的平均數感興趣 2 1 4加權平均數 Weightedmean 用于分組數據 2 1 5幾何平均數 Geometricmean 數據分布近似正態分布 但呈偏態傳染病的潛伏期心理物理學的等距與等比量表實驗 呈 近似 等比數列變化的數據 即變量值呈倍數關系或近似倍數關系的數據用于計算平均發展速度 平均增長率 學習記憶的平均進步率 學校經費平均增加率 平均人口出生率等等血清中抗體滴度 血清凝集效價 例 某學生背單詞周次12345記住單詞2023263034求該生記憶單詞的平均進步率 2 1 6調和平均數 harmonicmean 即倒數平均數的倒數 用于求平均速度 例被試號123456完成題數101010101010時間 小時 0 81 01 21 52 55 0 2 2平均數 中數和眾數的關系 在一個正態分布中 三者相等在正偏態分布中 M Md Mo在負偏態分布中 M Md Mo一般偏態情況下 Md離M較近 而離Mo較遠 皮爾遜經驗關系 平均數 支點兩端的力矩相等中數 兩側數據個數相同眾數 出現次數最多 2 3集中量數的適用數據 類別數據順序數據等距數據比例數據 眾數 中數 均數 均數四分位眾數調和平均數眾數中數幾何平均數四分位數中數四分位數眾數 表示該數據類型最適合用的量數 思考題 不做運算比較下面兩個數列的平均數10 7 8 3 5 910 7 8 3 5 9 11 3 差異量數 又叫離中量數 是表示數據分散程度的統計量 反映的是各變量值遠離其中心值的程度表示數據離中趨勢的量數有全距平均差方差標準差差異系數 3 1全距 range 也稱極差 是一組數據的最大值與最小值之差 R max Xi min Xi 3 2平均差 Averagedeviation Meanabsolutedeviation各變量值與均值之差的絕對值的平均數不利于代數運算 3 3方差和標準差3 3 1定義 3 3 2方差和標準差的變式 3 3 3樣本方差與總體方差的區別 在計算上 總體方差是用數據個數或總次數去除離差平方和 而樣本方差則用樣本數據個數或總次數減一去除離差平方和樣本方差是統計量 用S2表示 總體方差是總體參數 用 2表示當n很大時 S2與 2相差很小 前者是后者的無偏估計 3 3 4標準差的性質 一組數據的每一個數據都加常數C后標準差不變一組數據的每一個數據都乘常數C后標準差變為原來的C倍 3 3 5方差與標準差的優點 方差與標準差是表示一組數據離散程度的最好的指標 其值越大 說明離散程度大 其值小說明數據比較集中 具有以下優點 1 反應靈敏 2 由計算公式嚴格確定 3 容易計算 4 適合代數運算 5 受抽樣變動的影響小 既不同樣本的標準差或方差比較穩定 6 簡單明了 7 具有可加性 可以把總變異分解為不同來源的變異 8 各變量值對均值的方差小于對任意數的方差 標準差的應用 表示數據的離散程度標準差越大越離散結合均數描述正態分布特征根據正態分布原理求正常值范圍 3 3 6由各小組的標準差 方差求總標準差 方差 P45 3 4差異系數 Coefficientofvariation 變異系數指出了標準差對于平均值的大小 用于比較不同總體或樣本數據的離散程度 同一樣本不同測量的變異的比較 如相同班級不同科目的變異的比較 不同樣本同一測量的變異的比較 如不同年級同一科目變異大小的比較 例 已知某小學一年級學生的平均體重為25公斤 體重的標準差是3 7公斤 平均身高110厘米 標準差為6 2厘米 問體重與身高的離散程度哪個大 解 CV體重 3 7 25 100 14 8 CV身高 6 2 110 100 5 64 所以 體重的離散程度比身高的離散程度大 例 通過同一個測驗 一年級學生的平均分數為60分 標準差為4 02分 五年級學生的平均分數為80分 標準差為6 04分 問這兩個年級的測驗分數中哪一個離散程度大 解 CV一年級 4 02 60 100 6 7 CV五年級 6 04 80 100 7 55 所以 五年級的測驗分數的分散程度大 3 5數據類型和差異量數 四分位差QuartiledeviationQD QU QL 2 思考題 以下每組數的平均數均為50 哪組數在平均數附近的散布程度最大 哪組最小 A0 20 40 50 60 80 1000 48 49 50 51 52 1000 1 2 50 98 99 100B47 49 50 51 5346 48 50 52 5446 49 50 51 54 4 地位量數 百分位數 Percentile 第p百分位是這樣一個值 它使得至少有p 的數據小于或等于這個值 且至少有 100 p 的數據項大于或等于這個值四分位數 Quartile 將數據劃分為4部分 每部分各占25 的數據項 這種劃分的臨界點即為四分位數 三個四分位數分別為 QL 下四分位 Md 中數 QU 上四分位 十分位數 Decile 將數據劃分為10個部分 每部分占十分之一的數據項 其劃分的臨界點為十分位數 計算第p百分位步驟 第一步 從小到大排列原始數據第二步 計算指數ii p 100 n n為項數 p為所求的百分位的位置第三步 若i不是整數 將i向上取整 若i是整數 則第p百分位數是第i項與第i 1項數據的平均值例 有12個職員薪金的數據 求第85和第50百分位數 解 1 將12個數據從小到大排序如下 221022252350238023802390242024402450255026302825 2 i p 100 n 85 100 12 10 2 3 由于i 10 2不是整數 向上取整 所以第85百分位數對應的是第11項 其值為2630 同理 計算第50百分位 中位數 i 50 100 12 6 是整數 第50百分位數是第6項和第7項的平均值 即 2390 2420 2 2405 百分位數的