2.3.4平面向量共線的坐標表示學 習 目 標核 心 素 養1.理解用坐標表示兩向量共線的條件(難點)2.能根據平面向量的坐標判斷向量是否共線，并掌握三點共線的判斷方法(重點)3.兩直線平行與兩向量共線的判定(易混點)1.通過向量的坐標運算進行向量的線性運算，提升了學生的數學運算的核心素養；2.通過平面向量共線的坐標表示培養了學生邏輯推理的核心素養.平面向量共線的坐標表示(1)設a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，a，b共線，當且僅當存在實數，使ab(2)如果用坐標表示，可寫為(x1，y1)(x2，y2)，當且僅當x1y2x2y10時，向量a，b(b0)共線思考：兩向量a(x1，y1)，b(x2，y2)共線的坐標條件能表示成嗎？提示不一定，x2，y2有一者為零時，比例式沒有意義，只有x2y20時，才能使用1已知A(2，1)，B(3，1)，則與平行且方向相反的向量a是()A(2，1) B(6，3)C(1，2)D(4，8)D(1，2)，根據平行條件知選D.2下列各對向量中，共線的是()Aa(2，3)，b(3，2)Ba(2，3)，b(4，6)Ca(，1)，b(1，)Da(1，)，b(，2)DA，B，C中各對向量都不共線，D中ba，兩個向量共線3已知a(3，2)，b(6，y)，且ab，則y 4ab，解得y4.4若A(3，6)，B(5，2)，C(6，y)三點共線，則y 9(8，8)，(3，y6)，A，B，C三點共線，即，8(y6)830，解得y9.向量共線的判定與證明【例1】(1)下列各組向量中，共線的是()Aa(2，3)，b(4，6)Ba(2，3)，b(3，2)Ca(1，2)，b(7，14)Da(3，2)，b(6，4)(2)已知A(1，1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量與平行嗎？直線AB平行于直線CD嗎？思路點撥：(1)利用“縱橫交錯積相減”判斷(2)(1)DA中，26340，B中33220，C中114(2)70，D中(3)(4)260.故選D.(2)解(1(1)，3(1)(2，4)，(21，75)(1，2)又22410，.又(2，6)，(2，4)，24260，A，B，C不共線，AB與CD不重合，ABCD.向量共線的判定方法提醒：向量共線的坐標表達式極易寫錯，如寫成x1y1x2y20或x1x2y1y20都是不對的，因此要理解并記熟這一公式，可簡記為：縱橫交錯積相減1已知A(1，3)，B，C(9，1)，求證：A，B，C三點共線證明，(91，13)(8，4)，7480，且，有公共點A，A，B，C三點共線.已知平面向量共線求參數【例2】已知a(1，2)，b(3，2)，當k為何值時，kab與a3b平行？平行時它們是同向還是反向？思路點撥：法一：可利用b與非零向量a共線等價于ba(0，b與a同向；0，b與a反向)求解；法二：可先利用坐標形式的等價條件求k，再利用ba判定同向還是反向解法一：(共線向量定理法)kabk(1，2)(3，2)(k3，2k2)，a3b(1，2)3(3，2)(10，4)，當kab與a3b平行時，存在唯一實數，使kab(a3b)由(k3，2k2)(10，4)，所以解得k.當k時，kab與a3b平行，這時kabab(a3b)，因為0，所以kab與a3b反向法二：(坐標法)由題知kab(k3，2k2)，a3b(10，4)，因為kab與a3b平行，所以(k3)(4)10(2k2)0，解得k.這時kab(a3b)，所以當k時，kab與a3b平行，并且反向利用向量平行的條件處理求值問題的思路：(1)利用共線向量定理ab(b0)列方程組求解(2)利用向量平行的坐標表達式x1y2x2y10直接求解2已知向量a(1，2)，b(2，2)，c(1，)，若c(2ab)，則 由題可得2ab(4，2)，c(2ab)，c(1，)，420，即.故答案為.向量共線的綜合應用【例3】(1)已知向量a(cos ，2)，b(sin ，1)，且ab，則2sin cos 等于()A3B3CD(2)如圖所示，已知點A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC與OB的交點P的坐標思路點撥：(1)先由ab推出sin 與cos 的關系，求tan ，再用“1”的代換求2sin cos .(2)要求點P的坐標，只需求出向量的坐標，由與共線得到，利用與共線的坐標表示求出即可；也可設P(x，y)，由及，列出關于x，y的方程組求解(1)C因為ab，所以cos 1(2)sin 0，即cos 2sin ，tan ，所以2sin cos .(2)解法一：(定理法)由O，P，B三點共線，可設(4，4)，則(44，4)，(2，6)由與共線得(44)64(2)0，解得，所以(3，3)，所以P點的坐標為(3，3)法二：(坐標法)設P(x，y)，則(x，y)，因為(4，4)，且與共線，所以，即xy.又(x4，y)，(2，6)，且與共線，則得(x4)6y(2)0，解得xy3，所以P點的坐標為(3，3)應用向量共線的坐標表示求解幾何問題的步驟3.如圖所示，已知AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，AD與BC相交于點M，求點M的坐標解因為(0，5)，所以C.因為(4，3)，所以D.設M(x，y)，則(x，y5)，.因為，所以x2(y5)0，即7x4y20.又，因為，所以x40，即7x16y20.聯立解得x，y2，故點M的坐標為.共線向量與線段分點點坐標的計算探究問題1設P1，P2的坐標分別是(x1，y1)，(x2，y2)，如何求線段P1P2的中點P的坐標？提示：如圖所示，P為P1P2的中點，()，線段P1P2的中點坐標是.2設P1，P2的坐標分別是(x1，y1)，(x2，y2)，點P是線段P1P2的一個三等分點，則P點坐標是什么？提示：點P是線段P1P2的一個三等分點，分兩種情況：當時，()；當時，().3當時，點P的坐標是什么？提示：()，(x1，y1)(x2，y2)，P.【例4】已知點A(3，4)與點B(1，2)，點P在直線AB上，且|2|，求點P的坐標思路點撥：點P在直線AB上，包括點P在線段AB內和在線段AB的延長線上，因此應分類討論解設P點坐標為(x，y)，|2|.當P在線段AB上時，2，(x3，y4)2(1x，2y)，解得P點坐標為.當P在線段AB延長線上時，2，(x3，y4)2(1x，2y)，解得P點坐標為(5，8)綜上所述，點P的坐標為或(5，8)1若將本例條件“|2|”改為“3”其他條件不變，求點P的坐標解因為3，所以(x3，y4)3(1x，2y)，所以解得所以點P的坐標為.2若將本例條件改為“經過點P(2，3)的直線分別交x軸、y軸于點A，B，且|3|”，求點A，B的坐標解由題設知，A，B，P三點共線，且|3|，設A(x，0)，B(0，y)，點P在A，B之間，則有3，(x，y)3(2x，3)，解得x3，y9，點A，B的坐標分別為(3，0)，(0，9)點P不在A，B之間，則有3，同理，可求得點A，B的坐標分別為，(0，9)綜上，點A，B的坐標分別為(3，0)，(0，9)或，(0，9)求點的坐標時注意的問題(1)設P1(x1，y1)，P2(x2，y2)若點P是P1P2的中點時，則P(x，y)為.(2)求線段P1P2上或延長線上的點的坐標時，不必過分強調公式的記憶，可以轉化為向量問題后列出方程組求解，同時要注意分類討論(3)若，(0)01時，P在線段P1P2上；1時，P與P2重合；1時，點P在線段P1P2延長線上；0時，點P在線段P1P2反向延長線上1兩個向量共線條件的表示方法已知a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)當b0時，ab.(2)x1y2x2y10.(3)當x2y20時，即兩向量的相應坐標成比例2向量共線的坐標表示的應用兩向量共線的坐標表示的應用，可分為兩個方面(1)已知兩個向量的坐標判定兩向量共線聯系平面幾何平行、共線知識，可以證明三點共線、直線平行等幾何問題要注意區分向量的共線、平行與幾何中的共線、平行的不同(2)已知兩個向量共線，求點或向量的坐標，求參數的值，求軌跡方程，要注意方程思想的應用，向量共線的條件，向量相等的條件等都可作為列方程的依據1下列說法不正確的是()A若a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a與b共線，則.B若a(x1，y1)，b(x2，y2)，且x1y2x2y1，則a與b不共線C若A，B，C三點共線，則向量，都是共線向量D若A(3，6)，B(5，2)，C(6，y)三點共線，則y9.AA中，x2或y2為零時，比例式無意義，B、C很明顯都正確；D中，由(8，8)，(11，y2)，則8(y2)8110，解得y9.D正確2已知兩點A(2，1)，B(3，1)，則與平行且方向相反的向量a可以是()A(1，2)B(9，3)C(2，4)D(4，8)D由題意，得(1，2)，所以a(，2)(其中0)符合條件的只有D項，故選D.3已知平面向量a(1，2)，b(2，m)，