湖北省大悟縣楚才高級中學高中物理 1.3電場中的導體與電介質競賽試題131、 靜電感應、靜電平衡和靜電屏蔽靜電感應與靜電平衡把金屬放入電場中時，自由電子除了無規則的熱運動外，還要沿場強反方向做定向移動，結果會使導體兩個端面上分別出現正、負凈電荷。這種現象叫做“靜電感應”。所產生的電荷叫“感應電荷”。由于感應電荷的聚集，在導體內部將建立起一個與外電場方向相反的內電場（稱附加電場），隨著自由電荷的定向移動，感應電荷的不斷增加，附加電場也不斷增強，最終使導體內部的合場強為零，自由電荷的移動停止，導體這時所處的狀態稱為靜電平衡狀態。處于靜電平衡狀態下的導體具有下列四個特點：（a）導體內部場強為零；圖1-3-1（b）凈電荷僅分布在導體表面上（孤立導體的凈電荷僅分布在導體的外表面上）；（c）導體為等勢體，導體表面為等勢面；（d）電場線與導體表面處處垂直，表面處合場強不為0。靜電屏蔽靜電平衡時內部場強為零這一現象，在技術上用來實現靜電屏蔽。金屬外殼或金屬網罩可以使其內部不受外電場的影響。如圖1-3-1所示，由于感應電荷的存在，金屬殼外的電場線依然存在，此時，金屬殼的電勢高于零，但如圖把外殼接地，金屬殼外的感應電荷流入大地（實際上自由電子沿相反方向移動），殼外電場線消失。可見，接地的金屬殼既能屏蔽外場，也能屏蔽內場。在無線電技術中，為了防止不同電子器件互相干擾，它們都裝有金屬外殼，在使用時，這些外殼都必須接地，如精密的電磁測量儀器都裝有金屬外殼，示波管的外部也套有一個金屬罩就是為了實現靜電屏蔽，高壓帶電作用時工作人員穿的等電勢服也是根據靜電屏蔽的原理制成。132、 電介質及其極化電介質電介質分為兩類：一類是外電場不存在時，分子的正負電荷中心是重合的，這種電介質稱為非極性分子電介質，圖1-3-2如、等及所有的單質氣體；另一類是外電場不存在時，分子的正負電荷中心也不相重合，這種電介質稱為極性分子電介質，如、等。對于有極分子，由于分子的無規則熱運動，不加外電場時，分子的取向是混亂的（如圖1-3-2），因此，不加外電場時，無論是極性分子電介質，還是非極性分子電介質，宏觀上都不顯電性。電介質的極化圖1-3-3當把介質放入電場后，非極性分子正負電荷的中心被拉開，分子成為一個偶極子；極性分子在外電場作用下發生轉動，趨向于有序排列。因此，無論是極性分子還是非極性分子，在外電場作用下偶極子沿外電場方向進行有序排列（如圖1-3-3），在介質表面上出現等量異種的極化電荷（不能自由移動，也不能離開介質而移到其他物體上），這個過程稱為極化。極化電荷在電介質內部產生一個與外電場相反的附加電場，因此與真空相比，電介質內部的電場要減弱，但又不能像導體一樣可使體內場強削弱到處處為零。減弱的程度隨電介質而不同，故物理上引入相對介電常數來表示電介質的這一特性，對電介質均大于1，對真空等于1，對空氣可近似認為等于1。真空中場強為的區域內充滿電介質后，設場強減小到e，那么比值就叫做這種電介質的介常數，用表示，則引入介電常數后，極化電荷的附加電場和總電場原則上解決了。但實際上附加電場和總電場的分布是很復雜的，只有在電介質表現為各向同性，且對稱性極強的情況下，才有較為簡單的解。如：點電荷在電介質中產生的電場的表達式為：電勢的表達式為： 庫侖定律的表達式為： 例5、有一空氣平行板電容器，極板面積為s，與電池連接，極板上充有電荷和，斷開電源后，保持兩板間距離不變，在極板中部占極板間的一半體積的空間填滿（相對）介電常圖1-3-4數為的電介質，如圖1-3-4所示。求：（1）圖中極板間a點的電場強度？（2）圖中極板間b點的電場強度？（3）圖中與電介質接觸的那部分正極板上的電荷？（4）圖中與空氣接觸的那部分正極板上的電荷？ （5）圖中與正極板相接觸的那部分介質界面上的極化電荷？解： 設未插入電介質時平行板電容器的電容為，則（1） （2）（3）（4） （5）因故 解得 負號表示上極板處的極化電荷為負。133 電像法電像法的實質在于將一給定的靜電場變換為另一易于計算的等效靜電場，多用于求解在邊界面（例如接地或保持電勢不變的導體）前面有一個或一個以上點電荷的問題，在某些情況下，從邊界面和電荷的幾何位置能圖1-3-5夠推斷：在所考察的區域外，適當放幾個量值合適的電荷，就能夠模擬所需要的邊界條件。這些電荷稱為像電荷，而這種用一個帶有像電荷的、無界的擴大區域，來代替有界區域的實際問題的方法，就稱為電像法。例如：一無限大接地導體板a前面有一點電荷q，如圖1-3-5所示，則導體板a有（圖中左半平面）的空間電場，可看作是在沒有導體板a存在情況下，由點電荷q與其像電荷-q所共同激發產生。像電荷q的位置就是把導體板a當作平面鏡時，由電荷q在此鏡中的像點位置。于是左半空間任一點的p的電勢為式中和分別是點電荷q和像電荷-q到點p的距離，并且，此處d是點電荷q到導體板a的距離。電像法的正確性可用靜電場的唯一性定理來論證，定性分析可從電場線等效的角度去說明。圖1-3-6o一半徑為r的接地導體球置于電荷q的電場中，點電荷到球心的距離為h，球上感應電荷同點電荷q之間的相互作用也可以用一像電荷替代，顯然由對稱性易知像電荷在導體球的球心o與點電荷q的連線上，設其電量為，離球心o的距離為，如圖1-3-6所示，則對球面上任一點p，其電勢整理化簡得要使此式對任意成立，則必須滿足解得 對（2）中情況，如將q移到無限遠處，同時增大q，使在球心處的電場保持有限（相當于勻強電場的場強），這時，像電荷對應的無限趨近球心，但保持有限，因而像電荷和在球心形成一個電偶極子，其電偶極矩。圖1-3-7無限遠的一個帶無限多電量的點電荷在導體附近產生的電場可看作是均勻的，因此一個絕緣的金屬球在勻強電場中受感應后，它的感應電荷在球外空間的作用相當于一個處在球心，電偶極矩為的電偶極子。例6、在距離一個接地的很大的導體板為d的a處放一個帶電量為的點電荷（圖1-3-7）。 （1）求板上感應電荷在導體內p點（）產生的電場強度。（2）求板上感應電荷在導體外點產生的電場強度，已知點與p點以導體板右表面對稱。（3）求證導體板表面化的電場強度矢量總與導體板表面垂直。（4）求導體板上感應電荷對電荷的作用力，（5）若切斷導體板跟地的連接線，再把電荷置于導體板上，試說明這部分電荷在導體板上應如何分布才可以達到靜電平衡（略去邊緣效應）。分析： 由于導體板很大且接地，因此只有右邊表面才分布有正的感應電荷，而左邊接地那一表面是沒有感電荷的。靜電平衡的條件是導體內場強為零，故p點處的場強為零，而p點處的零場強是導體外及表面電荷產生場強疊加的結果。解： （1）因為靜電平衡后導體內部合場強為零，所以感應電荷在p點的場強和在p點的場強大小相等，方向相反，即圖1-3-8乙圖1-3-8丙圖1-3-8丁 圖1-3-8 戍 方向如圖1-3-8乙，是到p點的距離。（2）由于導體板接地，因此感應電荷分布在導體的右邊。根據對稱原理，可知感應電荷在導體外任意一點處場生的場強一定和感應電荷在對稱點處產生的場強鏡像對稱（如圖1-3-8丙），即，而，式中為到的距離，因此，方向如圖1-3-8丙所示。（3）根據（2）的討論將取在導體的外表面，此處的場強由和疊加而成（如圖1-3-8丁所示），不難看出，這兩個場強的合場強是垂直于導體表面的。（4）在導體板內取一點和所在點a對稱的點，的場強由和疊加而為零。由對稱可知，a處的和應是大小相等，方向相反的（如圖1-3-