關于評價特征去除所導致的工程分析錯誤的規范理論 SankaraHariGopalakrishnan， KrishnanSuresh 機械工程系，威斯康辛大學，麥迪遜分校， 2006年 9月 30 日 摘要 ： 幾何分析 是著名的計算機輔助設計 /計算機輔助工藝簡化 “ 小或無關特征 ” 在 CAD模型 中 的程序 ， 如有限元分析 。 然而 ，幾何分析 不可避免地 會產生 分析錯誤 ， 在目前的理論框架實在不容易量化 。 本文 中，我們 對快速 計算 處理這些幾何分析錯誤 提供了嚴謹的理論。尤其 ， 我們集中力量解決地方的特點，被 簡化 的任意形狀和大小的 區域 。提出的理論 采 用 伴隨 矩陣 制定邊值問題抵達嚴格界限幾何分析性分析錯誤。該理論通過數值例子說明。 關鍵詞 :幾何分析 ；工程分析 ；誤差估計 ；計算機輔助設計 /計算機輔助 教學 1. 介紹 機械 零件 通常包含了許多幾何特征。不過，在工程分析 中 并不是所有的特 征 都是至關重要的 。以前的分析 中 無關特征往往被 忽略 ，從而提高自動化及運算速度。 舉例來說，考慮一個剎車轉子 ， 如圖 1(a)。轉子包含 50多個不同 的特 征 ，但所有這些 特征 并不是都 是 相關的 。就拿一 個 幾何化的 剎車轉子 的 熱 量 分析 來說，如 圖 1(b)。有限元分析的全功能的模型 如 圖 1(a)， 需要超過 150,000 度的自由 度 ， 幾何 模型圖 1(b)項要求小于 25， 000個自由度，從而導致 非常緩慢的 運算速度。 圖 1(a)剎車轉子 圖 1(b)其 幾何分析 版本 除了提高速度，通常 還能 增加自動化水平，這比較容易實現自動化的有限元網格 幾何分析 組成。內存要求也 跟著 降低，而 且 條件數離散系統 將得以 改善 ；后者起著重要作用迭代線性系統。 但是，幾何分析還不是很普及 。 不穩定性到底 是 “ 小而 局部 化 ” 還是 “ 大 而擴展化 ” ，這取決于各種因素。例如， 對于 一個熱問題，想刪除其中的一個特 征，不穩定性 是 一個局部問題 :(1)凈熱通量邊界的特點是零。 (2)特征簡化時 沒有新的熱源 產生 ； 4對上述規則 則 例外。展示這些物理特征被稱為自我平衡。結果，同樣存在結構上的問題。 從幾何分析角度 看 ，如果特征遠離該 區域 ， 則 這種自我平衡的特 征可以忽略 。但是，如果功能接近該 區域我 們必須謹慎，。 從 另一 個角度看 ，非自我平衡的特 征應值得重視 。 這些特征的簡化 理論上 可以在系統任意位置被施用 ,但是會 在系統分析 上 構成重大的挑戰。 目前，尚無任何系統性的程序 去 估算幾何分析 對 上述兩個案例 的 潛在影響。 這就必須依靠工程判斷和經驗。 在這篇文章中，我們制定了理 論估計幾何分析影響工程分析自動化的 方式 。任意形狀和大小的 形 體 如何 被 簡化是本文重點要 解決 的 地方。伴隨 矩陣 和單調分析 這 兩個數學概念被合并成一個統一的理論來解決雙方的自我平衡和非 自我平衡的 特點。數值例子涉及二階scalar偏微分方程，以證實他的理論。 本文還包含以 下 內容 。第 二節中 ，我們就幾何分析總結以往的工作。在第三節中，我們解決幾何分析引起的錯誤分析，并討論了擬議的方法。 第四部分 從數值試驗提供結果。 第五部分討論如何加快設 計開發 進度 。 2. 前期工作 幾何分析過程可分為三個階段 : 識別 :哪些特 征 應該 被 簡化 ； 簡化 ： 如何 在一個自動化和幾何一致的方式 中簡化 特征 ； 分析 :簡化 的結果。 第一 個階段 的相關文獻已 經很多 。 例如 ，企業的規模和相對位置 這 個特點，經常被用來作為度量鑒定。此外，也有人提議以有意義的力學判據確定這種特征。 自動化幾何分析過程，事實上，已成熟到一個商業 化 幾何分析 的 地步。但我們注意到，這些商業軟件包 僅 提供一個純粹的幾何解決。因為沒有保證隨后進行的分析錯誤 ，所以 必須十分 小心使用 。另外， 固有 的幾何問題依然存在，并且 還在研究當中 。 本文的重點是放在第三階段，即 快速 幾何分析 。 建立一個有系統的方法，通過幾何分析引起的誤差 是 可 以計算出來的。 再分析的 目的是迅速 估計 改良系統 的 反應。其中 最著名的再分析理論 是著名的謝爾曼 -Morrison和 woodbury公式 。對于 兩種有著相似的網狀結構 和剛度矩陣設計， 再分析 這種技術特別有效 。 然而 ，過程幾何分析在網狀結構的剛度矩陣 會 導致一個戲劇性的變化， 這與再分析 技術不太相關。 3. 擬議的方法 3.1問題闡述 我們把注意力 放 在這個文件中的工程問題， 標量 二階偏微分方程式 (pde): .).( fauuc 許多 工程技術問題，如熱，流體靜磁 等 問題，可能 簡化為 上述 公 式 。 作為一個 說明性 例子 ，考慮散熱問題的二維 模 塊 如圖 2所示 。 圖 2二維熱座裝配 熱量 q從一個線圈置于下方 位置 列為 coil 。半導體裝置 位于 device 。這兩個地方 都屬于 ，有相同的材料屬性，其余 將 在 后面 討 論 。 特別令人感興趣的是數量，加權溫度 Tdevice內 device( 見 圖 2)。一個時段，認定為 slot 縮進 如圖 2，會受到抑制，其對 Tdevice將予以研究。邊界的時段 稱為 slot 其余的界線將 稱為 。邊界溫度 假定為零。兩種可能的邊界條件 slot 被認為是 :(a)固定熱源，即 (-k t)n=q， (b)有 一定溫度，即 T=Tslot。兩種情況會導致兩種不同幾何分析引起的誤差的結果。 設 T(x， y)是未知的溫度場和 K導熱。然后，散熱問題可以通過泊松方程式表示 : )1()().)(00).(s lc ts lc ts lc tc oi lc oi lTTboronqhkaonTinininQTkBCP D E )2(),(),( d e v i c edycTyxHTCo m p u t e d e v ic e 其中 H(x， y)是一些加權內核。現在考慮的問題 是幾何分析簡化 的插槽是 簡化 之前分析 ，如 圖 3所示 。 圖 3defeatured二維熱傳導 裝配模塊 現在有一個不同的邊值問題，不同領域 t(x， y): )3(on 0t 0in Q). ( - kBCP D E c oi ls l otc oi l int )4(),(),( de v idede v ic edyxtyxHtC o m p u te 觀察到的插槽的邊界條件為 t(x， y)已經消失了，因為槽已經不存在了 （ 關鍵性變化 ） ! 解決的問題是 : 設定 tdevice和 t(x， y)的值 ，估計 Tdevice。 這是一個 較難 的問題 ，是 我們尚未解決 的 。在這篇文章中，我們將從上限和下限 分析Tdevice。這些方向是明確被俘引理 3、 4和 3、 6。至于其余的這一節，我們將發展基本概念和理論，建立這兩個 引理 。值得注意的是，只要它不重疊 ， 定位槽與 相關 的裝置或熱源沒有任何限制。上下界 的 Tdevice將取決于它們的相 對位置。 3.2伴隨 矩陣 方法 我們需要的第一個概念是，伴隨 矩陣公式表達法 。應用伴隨 矩陣 論點的微分積分方程，包括其應用的控制理論，形狀優化，拓撲優化等。 我們 對這一概念歸納如下。 相關的問題都可以定義 為 一個伴隨 矩陣 的問題， 控制 伴隨 矩陣 t_(x， y)，必須符合下列公式計算 23 : ontininHtkd e v ic es lo td e v ic e0)5(0).(* 伴隨場 t_(x， y)基本上是一個預定量，即加權裝置溫度控制的應用熱源。 可以 觀察到，伴隨問題的解決是復雜的原始問題 ；控制 方程是相同的 ；這些問題就是所謂的自 身伴隨矩陣 。大部分工程技術問題的實 際利益，是自 身伴隨矩陣 ，就很容易計算伴隨 矩陣 。 另一方面， 在幾何分析 問題 中 ，伴隨 矩陣 發揮著關鍵作用 。 表現為以下引理綜述 : 引理 3.1 已知和未知裝置溫度 的 區別，即 (Tdevice-tdevice)可以歸納為以下的邊界積分比 幾何分析 插槽 : s l o ts l o tdntktTdntTkttT de v ic ede v ic e).)().(* 在上述引理 中 有兩點值得注意 : 1、 積分只牽涉到邊界 slot； 這是令人鼓舞的。或許，處理剛剛過去的被 簡化 信息特點可以計算誤差。 2、 右 側 牽涉到的未知 區 域 T(x， y)的全功能的問題。特別是第一 周期 涉及的差異，在正常的梯度，即涉及 -k(T-t) n；這是一個已知數量邊界條件 -k tn所指定的時段 ，未知狄里克萊條件作出規定 -k tn可以評估。在另一方面，在第二個 周 期內涉及的差異，在這兩個領域， 即 T管 ； 因為 t可以評價， 這是一個已知數量 邊界條件 T指定的時段。因此。 引理 3.2、 差額 (tdevice-tdevice)不等式 dntTkdtdtTntktTanddtTdntkdntTkttTs lo ts lo ts lo td e v ic ed e v ic es lo ts lo ts lo td e v ic ed e v ic e22*22*).()()().()()().() ) .()( 然而 ，伴隨 矩陣 技術不能完全消除未 知 區 域 T(x， y)。為了消除 T(x， y)我們把 重點轉向單調分析。 3.3單調性分析 單調性 分析是由數學家在 19世紀和 20 世紀前建立的各種邊值問題。例如，一個單調定理 : 添加幾何約束到一個結構性問題，是指在位移 (某些 )邊 界不減少 。 觀察發現，上述理論提供了一個定性的措施 以 解決邊值問題。 后來， 工程師利用 之前的 “ 計算機時代 ” 上限或下限同樣的定理， 解決了 具有挑戰性的問題。當然， 隨著計算機時代的到來 ， 這些 相當復雜的直接求解 方法已經不為人所用 。 但是 ，在當前的幾何分析，我們證明這些定理采取更為有力的作用，尤其 應 當配 合使用伴隨理論。 我們現在利用一些單調定理，以消除上述引理 T(x， y)。遵守先前 規定 ，右邊是區別已知和未知的領域，即 T(x， y)-t(x， y)。因此，讓我們在界定一個領域 E(x， y)在區域為 : e(x， y)=t(x， y)-t(x， y)。 據 悉， T(x， y)和 T(x， y)都是明確的界定，所以是 e(x， y)。事實上，從 公式 (1)和(3)，我們可以推斷， e(x， y)的正式滿足邊值問題 : slo tslo tontTeboronqnekaoneinekS o lv e)().)(00).( 解決上述問題 就能 解決 所有 問題 。 但是，如果我們能計算 區 域 e(x， y)與正常的坡度超 過插槽，以有效的方式，然后 (Tdevice-tdevice)， 就 評價表示 e(X， Y)的效率，我們現在考慮在上述方程兩種可能的情況 如 (a)及 (b)。 例 (a)邊界條件較第一插槽，審議本案時槽原本指 定 一 個 邊界條件。為了估算 e(x， y)，考慮以下問題 : )6(,0),(.0).(22yxasyxeonqntknekinekS o lv e s lo ts lo t 因為只取決于縫隙，不 討 論域，以上問題計算 較簡單 。經典邊界積分 /邊界元方法可以 引用 。關鍵是計算機領域 e1(x， y)和未知領域的 e(x， y)透過 引理 3.3。這兩個領域 e1(x，y)和 e(x， y)滿足以下單調關系 : 222 )(m a x)() s lo ts lo t m e a s u r eedede s l o ts l o t 把 它 們綜合 在一起，我們有以下結論引理。 引理 3.4 未知 的裝置溫度 Tdevice，當插槽具有邊界條件，東至以下限額的計算，只要求 :(1)原始及伴隨場 T和隔熱與 幾何分析 域 (2)解決 e1的一項問題涉及插槽 : dntkgdntkqtTT s l o ts l o td e v ic elo w e rd e v ic ed e v ic e 2* ).().( )(m a x)(,).().(22*s lo ts lo ts lo ts lo td e v ic eu p p e rd e v ic ed e v ic em e a s u r eedegw h e r edntkgdntkqttTTs l o t 觀察到兩個方向的右 側 ，雙方都是獨立的未知 區 域 T(x， y)。 例 (b) 插槽 Dirichlet 邊界條件 我們 假定 插槽都維持在定溫 Tslot。考慮任何領域，即包含域 和 插槽。界定 一個 區域e(x， y)在滿足 : )7(00).(s lots lot ontTeoneinekS l o v e 現在建立一個結果與 e-(x， y)及 e(x， y)。 引理 3.5 s lots lotdnekdnek 22 ).().( 注意到，公式 (7)的 計算較 為簡單 。這 是 我們最終 要的 結果。 引理 3.6 未知 的裝置溫度 Tdevice，當插槽有 Dirichlet邊界條件，東至以下限額的計算，只要求 :(1)原始及伴隨場 T和隔熱與 幾何分析。 (2) 圍繞插槽解決 失敗 了 的 邊界問題， : s lo ts lo ts lo ts lo tde v ic eup pe rde v ic ede v ic es lo ts lo ts lo ts lo tde v ic elow e rde v ic ede v ic ednekdtdtTntktTTdnekdtdtTntktTT22*22*.)()().(.)()(.( 再次觀察這兩個方向都是獨立的未知 領域 T(x， y)。 4. 數值例子說明 我們的理論發展，在上一節中，通過數值例子。設 k = 5W/mC, Q = 105 W/m3 and H = device)Area(1。 表 1:結果表 表 1給出了不同時段的邊界條件。第一裝置溫度欄的共同溫度為所有 幾何分析 模式 (這不取決于插槽邊界條件 及插 槽 幾何分析 )。 接下來 兩欄的上下界 說明引理 3.4和 3.6。最后一欄是實際的裝置溫度所得的全功能模式 (前幾何分析 )，是列在這里比較 前列的 。 在 全部 例子 中， 我們可以看到最后一欄則是介于第二和第三 列。 Tlowerdevuce Tdevice Tupperdevuce 對于絕緣插槽 來說， Dirichlet邊界條件指出 ， 觀察到的各種預測為零。不同之處在于這個事實 :在第一個例子，一個零 Neumann邊界條件的時段，導致一個自我平衡的特點，因此，其對裝置 基本沒什么影響 。另一方面，有 Dirichlet 邊界條件的插槽結果在