長安一中、高新一中、交大附中、師大附中、西安中學高2013屆第一次模擬考試數學（理）試題第卷（選擇題 共50分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1已知集合m=x|一3x3，xz），n=x|x1，則mn=a1 bc-3，-2，-1，0,1）d-2，一1，0【答案】d【解析】因為集合m=x|一3x3，xz=-2，-1,0,1,2，n=x|x1，所以mn=-2，一1，0。2已知直線a和平面，那么a/的一個充分條件是a存在一條直線b，a/b且b b存在一條直線b，ab且bc存在一個平面，a且/d存在一個平面，/且/【答案】c【解析】a存在一條直線b，a/b且b，錯誤，a可能在平面內；b存在一條直線b，ab且b，錯誤，a可能在平面內；c存在一個平面，a，且/，正確，此為面面垂直的性質定理；d存在一個平面，/且/，錯誤。3如果數列是首項為1，公比為的等比數列，則a5等于a32b64c32d64【答案】a【解析】因為數列是首項為1，公比為的等比數列，所以，以上幾式相乘得：。4過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，若，則拋物線方程是a b cd【答案】a【解析】由拋物線的定義知：，所以拋物線的方程是。因此選a。5展開式中，常數項為15，則n的值可以為a3b4c5d6【答案】d【解析】，經計算可知：n的值可以為6.6若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是a b cd 【答案】b【解析】由三視圖知：該幾何體為三棱柱，三棱柱的底面為直角三角形，兩直角邊分別為1和，斜邊長為，三棱柱的，所以該幾何體的表面積是，因此選b。7給出15個數：1，2，4，7，1 1，要計算這15個數的和，現給出解決該問題的程序框圖（如右圖所示），那么框圖中判斷框處和執行框處應分別填入a bcd【答案】d【解析】由程序框圖知：s為累加變量，i為計數變量，因此處應填。這15個數的規律為：從第二個數開始，后一個數和前一個數分別相差1,2,3,4,5，因此處應。8已知實數x，y滿足的圖象與坐標軸所圍成的封閉圖形的內部的概率為a bcd 【答案】c【解析】約束條件的可行域為長方形，其的面積為，函數的圖象與坐標軸所圍成的封閉圖形的面積為，所以其概率為：，因此選c。9臺風中心從a地以每小時20千米的速度向東北方向移動，離臺風中心30千米內的地區為危險區。城市b在a的正東40千米處，b城市處于危險區內的時間為a05小時 bi小時 c15小時d2小時【答案】b【解析】如圖，以a為坐標原點，建立平面直角坐標系，則b（40，0），臺風中心移動的軌跡為射線y=x（x0），而點b到射線y=x的距離，故，故b城市處于危險區內的時間為1小時，故選b10對于任意兩個正整數m，n，定義某種運算“”如下：當m，n都為正偶數或正奇數時，mn=m+n；當m，n中一個為正偶數，另一個為正奇數時，mn=mn。則在此定義下，集合中的元素個數是a10個b15個c16個d18個【答案】b【解析】當a，b都為正偶數時：，共有5種情況；當a，b都為正奇數時：，共6種情況；當a，b中一個為正偶數，另一個為正奇數時：，共4中種情況，所以在此定義下，集合中的元素個數是5+6+4=15種。因此選b。第卷 （共100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分把答案填在答題卡的相應位置11設f1、f2是雙曲線的兩焦點，點p在雙曲線上若點p到焦點f1的距離等于9，則點p到焦點f2的距離等于 。【答案】1或17【解析】由雙曲線的定義知：，即點p到焦點f2的距離等于1或17。12已知向量的最小值為 。【答案】6【解析】因為，。所以的最小值為6。13若函數在（0，1）內有極小值，則實數b的取值范圍是 。【答案】【解析】因為函數在（0，1）內有極小值，所以在（0，1）內有根，且是的兩根中較大的那個，所以，解得實數b的取值范圍是。14以下有四種說法：若p或q為真，p且q為假，則p與q必為一真一假；若數列；若實數t滿足的一個次不動點，設函數與函數為自然對數的底數）的所有次不動點之和為m，則m=0若定義在r上的函數則6是函數的周期。 以上四種說法，其中正確說法的序號為 。【答案】【解析】若p或q為真，p且q為假，則p與q必為一真一假，正確；若數列，錯誤。；若實數t滿足的一個次不動點，設函數與函數為自然對數的底數）的所有次不動點之和為m，則m=0，正確。由函數的性質知：方程和方程的兩個互為相反數，所以此命題正確；若定義在r上的函數則6是函數的周期，正確。因為，所以，所以周期為6.15（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做則按所做的第一題評分）a（不等式選講）已知函數若關于x的不等式的解集是r，則m的取值范圍是 【答案】【解析】由，得，因為的解集是r，所以只需，又因為，所以只需，解得。b（坐標系與參數方程）己知圓c的極坐標方程為則圓心c的一個極坐標為 。【答案】【解析】把極坐標方程為轉化為直角坐標方程為：，所以圓心為，所以圓心c的一個極坐標為。c（幾何證明選講）如圖，半徑為2的o中，aob=90，d為ob的中點，ad的延長線交o于點e，則線段de的長為 。【答案】【解析】連接oe，ab，因為半徑為2，aob=90，所以，所以，所以，在eod中，由余弦定理得：，所以de=.三、解答題：本大題共6小題，共75分解答寫在答題卡相位置，應寫出文字說明、證明過程或演算步驟16（本小題滿分12分）已知平面上三點a（2，0），b（0，2），c（cos，sin）（i）若（）2=7（o為坐標原點），求向量與夾角的大小；（）若，求sin2的值17（本大題滿分12分）如圖，在正方體abcda1b1c1d1中，e、為棱dd1上任意一點，下為對角線db的中點。（i）求證：平面cfb1平面efb1； （ii）若三棱錐befc的體積為1，且求此正方體的棱長；求異面直線ef與b1c所成角的余弦值。18（本小題滿分12分） 數列（nn*）是遞增的等比數列，且數列滿足（i）求數列的通項公式： （ii）設數列是否存在正整數n，使得數列前n項和為？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由。19（本小題滿分12分）西安市某省級示范高中為了了解學校食堂的服務質量情況，對在校就餐的1400名學生按5%比例進行問卷調查，把學生對食堂的“服務滿意度”與“價格滿意度”都分為五個等級：1級（很不滿意）；2級（不滿意）；3級（一般）；4級（滿意）；5級（很滿意），其統計結果如下表所示（服務滿意度為x，價格滿意度為y）。（i）作出“價格滿意度”的頻率分布直方圖；（ii）為改進食堂服務質量，現從滿足“”的人中隨機選取2人參加座談會，記其中滿足“”的人數為x，求x的分布列與數學期望。20（本小題滿分13分）設橢圓d：的左、右焦點分別為f1、f2，上頂點為a，在x軸負半軸上有一點b，滿足且abaf2 （i）若過a、b、f2三點的圓c恰好與直線l：相切，求圓c方程及橢圓d的方程； （ii）