2.4.2 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角備課資料一、|ab|a|b|的應(yīng)用 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)|ab|a|b|的坐標(biāo)表示為x1x2+y1y2(x12+y12)(x22+y22). 不等式(x1x2+y1y2)2(x12+y12)(x22+y22)有著非常廣泛的應(yīng)用,由此還可以推廣到一般(柯西不等式):(a1b1+a2b2+anbn)2(a1+a2+an)(b1+b2+bn).例1 已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足x+y-4=0,則x2+y2的最小值是_;(2)已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足(x+2)2+y2=1,則2x-y的最大值是_.解析:(1)令m=(x,y),n=(1,1).|mn|m|n|,|x+y|,即2(x2+y2)(x+y)2=16.x2+y28,故x2+y2的最小值是8.(2)令m=(x+2,y),n=(2,-1),2x-y=t.由|mn|m|n|,得|2(x+2)-y|解得.故所求的最大值是-4.答案:(1)8 (2)-4例2 已知a,br,(0,),試比較與(a+b)2的大小.解:構(gòu)造向量m=(),n=(cos,sin),由|mn|m|n|得()2()(cos2+sin2),(a+b)2.同類(lèi)變式:已知a,br,m,nr,且mn0,m2n2a2m2+b2n2,令m=,比較m、n的大小.解:構(gòu)造向量p=(),q=(n,m),由|pq|p|q|得()2()(m2+n2)=(m2+n2)n.例3 設(shè)a,br,a=(x,y)|x=n,y=na+b,nz,b=(x,y)|x=m,y=3m2+15,mz,c=(x,y)|x2+y2144是直角坐標(biāo)平面xoy內(nèi)的點(diǎn)集,討論是否存在a和b,使得ab=與(a,b)c能同時(shí)成立.解:此問(wèn)題等價(jià)于探求a、b是否存在的問(wèn)題,它滿(mǎn)足設(shè)存在a和b滿(mǎn)足兩式,構(gòu)造向量m=(a,b),n=(n,1).由|mn|2|m|2|n|2得(na+b)2(n2+1)(a2+b2),(3n2+15)2144(n2+1)n4-6n2+90.解得n=,這與nz矛盾,故不存在a和b滿(mǎn)足條件.二、備用習(xí)題1.若a=(2,-3),b=(x,2x),且ab=,則x等于（ ）a.3 b. c. d.-32.設(shè)a=(1,2),b=(1,m),若a與b的夾角為鈍角,則m的取值范圍是（ ）a.m b.m d.m3.若a=(cos,sin),b=(cos,sin),則（ ）a.ab b.ab c.(a+b)(a-b) d.(a+b)(a-b)4.與a=(u,v)垂直的單位向量是（ ）a.()b.()c.()d.()或()5.已知向量a=(cos23,cos67),b=(cos68,cos22),u=a+tb(tr),求u的模的最小值.6.已知a,b都是非零向量,且a+3b與7a-5b垂直,a-4b與7a-2b垂直,求a與b的夾角.7.已知abc的三個(gè)頂點(diǎn)為a(1,1),b(3,1),c(4,5),求abc的面積.參考答案:1.c 2.d 3.c 4.d5.|a|=1,同理有|b|=1.又ab=cos23cos68+cos67cos22=cos23cos68+sin23sin68=cos45=|u|2=(a+tb)2=a2+2tab+t2b2=t2+t+1=(t+)2+.當(dāng)t=時(shí),|u|min=.6.由已知(a+3b)(7a-5b)(a+3b）(7a-5b)=07a2+16ab-15b2=0. 又(a-4b)(7a-2b)(a-4b)(7a-2b)=07a2-30ab+8b2=0. -得46ab=23b2,即ab= 將代入,可得7|a|2+8|b|2-15|b|2=0,即|a|2=|b|2,有|a|=|b|,若記a與b的夾角為,則cos=.又0,180,=60,即a與b的夾角為60.7.分析:sabc=|sinbac,而|,|易求,要求sinbac可先求出cosbac.解:=(2,1),=(3,4),|=2,|=5,cosbac=.sinbac=.sabc=|sinbac=25=4.三、新教材新教法的二十四個(gè)“化”字訣新課導(dǎo)入新穎化,揭示概念美麗化;縱橫相聯(lián)過(guò)程化,探索討論熱烈化;探究例題多變化,引導(dǎo)思路發(fā)散化;學(xué)生活動(dòng)主體化,一石激浪點(diǎn)撥化;大膽猜想多樣化,論證應(yīng)用規(guī)律化;變式訓(xùn)練探究化,課堂教學(xué)藝術(shù)化;學(xué)法指