專業 權威 輕松 快樂 華慧考研：/第四章 線性方程組一、齊次線性方程組1（98，十二題，5分）已知線性方程組 （）的一個基礎解系為，試寫出線性方程組（）的通解，并說明理由【分析】一般地，若AB0，就應想到B的每一列均為Ax0的解，本題也可用向量形式證明A的行向量的轉置為（）的解，但相對較復雜一些【詳解】（）的通解為 ，其中為任意常數理由：方程組（），（）的系數矩陣分別記為A，B，則由題設可知，于是，可見A的n個行向量的轉置向量為（）的n個解向量由于B的秩為n，故（）的解空間維數為2n-r(B)=2n-n=n.又A的秩為2n與（）的解空間維數之差，即為n，故A的n個行向量線性無關，從而它們的轉置向量構成（）的一個基礎解系，于是得到（）的上述通解2（01，九題，6分）設為線性方程組Ax0的一個基礎解系，其中為實常數。試問滿足什么關系時，也為Ax0的一個基礎解系【分析】首先應理解基礎解系的概念，是Ax0的一個基礎解系，必須證明均為Ax0的解，而且是線性無關的，而基礎解系應滿足兩個條件：解向量；線性無關且向量個數為Snr(A)【詳解】由于均為的線性組合，所以均為Ax0的解，下面證明線性無關，設 即 由于線性無關，因此其系數全為零，即 其系數行列式 可見，當，即當s為偶數，；s為奇數，時，上述方程組只有零解，因此向量組線性無關，從而也為Ax0的一個基礎解系3（03，選5題，4分）設有齊次線性方程組Ax0和Bx0，其中A，B均為mn矩陣，現有4個命題： 若Ax0的解均是Bx0的解，則秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(B)，則Ax0的解均是Bx0的解； 若Ax0與Bx0同解，則秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(B)，則Ax0與Bx0同解以上命題中正確的是 （A） （B） （C） （D） 【 】【答】應選（B）【分析】本題可找反例用排除法進行分析，但、兩個命題的反例比較復雜一些，關鍵是抓住與，迅速排除不正確的選項【詳解】若Ax0與Bx0同解，則n秩(A)=n-秩(B),即秩(A)秩(B),命題成立可排除（A），（C）；若秩(A)秩(B)，則不能推出Ax0與Bx0同解如，則秩(A)=秩(B)=1,但Ax0與Bx0不同解，由此，命題不成立，排除（D），所以答案選（B）4（04，20題，9分）設有齊次線性方程組試問取何值時，該方程組有非零解，并求出其通解【分析】本題是方程的個數與未知量的個數相同的齊次線性方程組，可考慮對系數矩陣直接用初等行變換化為階梯形，再討論其秩是否小于n，進而判斷是否有非零解；或直接計算系數矩陣的行列式，根據題設行列式的值必為零，由此對參數的可能取值進行討論即可【詳解1】對方程組的參數矩陣A作初等行變換，有 當時，r(A)=1n,故方程組有非零解，其同解方程組為 由此得基礎解系為，于是方程組得通解為，其中為任意常數當時，對矩陣B作初等行變換，有可知時，r(A)=n-1n故方程組也有非零解，其同解方程組為 由此得基礎解系為于是方程組的通解為 ，其中k為任意常數【詳解2】方程組的系數行列式為 當，即或時，方程組有非零解當時，對系數矩陣A作初等行變換，有 故方程組的同解方程組為 由此得基礎解系為 ，于是方程組的通解為，其中為任意常數當時，對系數矩陣A作初等行變換，有 故方程組的通解方程組為 由此得基礎解系為于是方程組的通解為 ，其中k為任意常數二、非齊次線性方程組1（00，填4題，3分）已知方程組無解，則【分析】首先明確方程組無解的充分必要條件是【詳解】化增廣矩陣為階梯形，有可見，當時，系數矩陣的秩為2，而增廣矩陣的秩為3，因此方程組無解。注意，當時，系數矩陣和增廣矩陣的秩均為2，方程組有無窮多解2（02，選4題，3分）設有三張不同平面的方程，它們所組成的線性方程組的系數矩陣與增廣矩陣都為2，則這三張平面可能的位置關系為：則（A） （B） （C） （D）【答】應選（B）【分析】由于系數矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等且為2，故得知方程組有解，而且解空間的維數321，即共同構成一條直線，所以選（B）項。但錯誤地選（C）或（D），其原因是誤認為這兩種情形均有公共解，事實上，（C）僅是兩兩方程有公共解，（D）是某方程分別與另兩方程有公共解，都不是三個方程有公共解。【詳解】由題設，線性方程組 系數矩陣和增廣矩陣的秩相等且為2，由非齊次線性方程組解的判定定理知，此方程組有無窮多組解，即三平面有無窮多個交點，對照四個選項，（A）只有一個交點，（C），（D）無交點，因此只有（B）符合要求。3（02，九題，6分）已知4階方陣均為4維列向量，其中線性無關,如果,求方程組的通解【分析】對于詳解2，關鍵在于求線性方程組的通解，再由的秩，并對照以及，便可求得結果【詳解1】令，則由得，將代入上式，整理后得，由線性無關，知解此方程組得，其中k為任意常數【詳解2】由線性無關和知A的秩為3，因此的基礎解系中只包含一個向量。由，知為齊次線性方程組的一個解，所以其通解為，k為任意常數再由，知為非齊次線性方程組的一個特解于是的通解為，其中k為任意常數4（03，十題，8分）已知平面上三條不同直線的方程分別為 試證這三條直線交于一點的充分必要條件為【分析】三條直線相交于一點，相當于對應線性方程組有惟一解，進而轉化為系數矩陣于增廣矩陣的秩均為2，本題看似復雜，其實不難，計算量比較大，該題綜合考查了矩陣的秩的計算，行列式的計算，以及對解的判斷問題【詳解1】必要性：設三條直線交于一點，則線性方程組有惟一解，故系數矩陣與增廣矩陣的秩均為2，于是由于但根據題設，故必要性：由，則從必要性的證明可知，故秩()3由于 故秩(A)=2，于是，秩(A)= 秩()=2因此方程組（*）有惟一解，即三直線交于一點【詳解2】必要性：設三直線交于一點，則為的非零解，其中于是但根據題設，故充分性：考慮線性方程組 將方程組(*)的三個方程相加，并由可知，方程組(*)等價于方程組 因為故方程組(*)有惟一解所以方程組(*)有惟一解，即三直線交于一點5（05，21題，9分）已知3階矩陣A的第一行是不全為零，矩陣B（k為常數），且AB0，求線性方程組Ax0的通解【分析】AB0，相當于告之B的每一列均為Ax0的解，關鍵問題是Ax0的基礎解系所含解向量的個數為多少，而這又轉化為確定系數矩陣A的秩【詳解1】由AB0知r(A)+r(B)3,又 (1) 若r(A)=2,必有r(B)=1,此時k=9方程組Ax0的通解是，其中t為任意實數(2)若r(A)=1,則Ax0的通解方程是且滿足，如果 ，方程組的通解是，其中為任意實數；如果，方程組的通解是，其中為任意實數【詳解2】（1）如果，則秩r(B)=2,由AB0知，因此，所以Ax0的通解是，其中為任意實數（2）如果k=9，則秩r(B)=1,那么，r(A)=1或2若r(A)=2,則Ax0的通解是，其中t為任意實數若r(A)=1,對，設，則方程組的通解是 6（06，（20）題，9分）已知非齊次線性方程組 有3個線性無關的解（）證明方程組系數矩陣A的秩r(A)=2（）求的值及方程組的通解【分析】本題討論帶參數的取值與解的關系，根據已知條件，必須利用非齊次線性方程組與其導出組的關系以及基礎解系與系數矩陣秩的關系來求解【詳解】（）設是非齊次方程組三個線性無關的解，令 則是導出的齊次方程組的兩個解由可得 因為線性無關，所以必有 即由此得線性無關因為導出組至少有兩個線性無關的解，所以其基礎解系至少包含兩個解，故，由此得，另一方面，導出組的系數矩陣 存在2階不等于零的子式 所以，綜上所述，即得r(A)=2（）因為非齊次方程組有解，故其增廣矩陣與系數矩陣A的秩相等，由（）得r(A)=2,故增廣矩陣 的秩也為2，用初等行變換把上述矩陣化為階梯形 由此得即利用上述階梯形矩陣，可得同解方程組 確定自由未知數 由此得通解為 其中為自由未知數2011年考研英語遠程輔導全程班考研考什么？考的就是英語！每年考研英語超過60分的考生占總報考人數的比例不足15%，國家最高控制分數線從沒超過58分。專業課再優秀，如果英語不過關，也與碩士無緣。可是，英語基礎本來就不怎么樣，學起來又枯燥；備考時間不多，又苦于沒有有效的復習方法；自學的效果非常差，怎樣才能在短時間內突破考研英語瓶頸呢？詞匯記不住：是我們的記憶有問題，還是學習方法不對？閱讀看不懂：是依靠大辭典，還是有更好的辦法？寫作、翻譯無從下手：自認為構思還可以，可就是表達不出來，有什么玄機呢？針對廣大考生存在的問題，華慧考研英語專業輔導團隊集多年考研輔導經驗，精確把握歷年考研英語的命題思路，針對學員的英語基礎開設不同層次的輔導班。 免費試聽網址：/free/index.asp?zt=kaoyan復試指導班（報班300元即贈送此課程）個性化指導 100元基礎學習班( 詞匯+語法)40課時 原價400元，優惠價350元模塊突破班(完型+翻譯+閱讀+寫作)90課時 原價700元，優惠價550元專項突破班(基礎學習班+模塊突破班)130課時 原價1100元，優惠價780元系統全程班(專項突破班+串講沖刺班)160課時 原價1600元，優惠價980元 專項突破班結合考試規律，全面提煉課程知識精華，側重講解重點、難點和考點。在較短時間內，強化學員對課程內容的掌握，提高學員駕馭和應用所學知識的能力，使學員真正做到舉一反三、觸類旁通。同時，通過對大量極具代表性的綜合習題解題思路及過程的深入剖析，指明未來考題中可能出現的“誤區”、“陷阱”所在，幫助學員提高答題技巧，減少答題錯誤，熟悉考試題型、掌握命題規律、提高解題能力，以達到事半功倍的復習效果。 串講沖刺班全面串講、模考等手段，強化應試能力和技巧，結合歷年考試特點，預測考試方向，逐一講解重要考點，分析考點出題形式，講解答題思路，傳授應試技巧，對考試題型進行歸納講評，使學員適應考試氛圍，以最佳狀態面對考試。 咨詢時間早上10：00晚上24：00（周六、周日及節假日期間不休息）24小時服務電話電話607在線咨詢QQ: 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