節選張順燕主編的心靈之花面試中的數學歸納法論一道微軟面試題的數學思考 在微軟的一次面試中，面試官出了一道非常讓人意外、非常經典的題目，就是“一個屋子里面有五十個人，每個人領著一條狗，而這些狗中有一部分病狗(不少于一條)。假定有如下條件：一、狗的病不會傳染，也不會不治而愈。也就是說病狗的數量一直不會改變；二、狗的主人不能看見自己的狗是否有病，但是狗的主人只有通過別人的狗是否有病才可以看出自己的狗生病了沒有；三、一旦主人發現自己的狗肯定是一只病狗，就會在當天開槍打死這 條狗；四、狗必須由他的主人親自動手開槍殺死。如果他們在一起第一天沒有槍聲、第二天沒有槍聲、第三天發出了一片槍聲，問有幾條狗被打死。” 所有的人面面相覷，都啞然。這是一道什么樣的題目呢？幾乎都在思考，都在想這是一個什么樣的腦筋急轉彎?還是一個什么樣的智力游戲?很多人面對這個問題就是束手就擒，甚至就直接由此退出了面試。這時開始有人抱怨微軟竟然拿這道非常無聊的題目來刁難大家。也許是因為當時太緊張，也許是因為大家的思路沒有被打開，不自覺地大家開始了討論，但是于事無益。幾乎沒有幾個人答出了這道題。很多人都因為這道題目的怪異而思路主要在于想為什么會有這道題?為什么微軟的面試官會出這種題?為什么會在微軟的面試中出現這種幾乎是與微軟的世界不相關的把戲?大家惟獨沒有想清楚的是這道題與微軟到底有何干 系?為什么微軟出了這道讓大家頗為郁悶的題。這其實是一道數學題，一道非常標準的數學推斷題。有數學的頭腦，有明確的思路，解這道題其實是一件非常簡單的事情。 這道題本來是一個很簡單的數學歸納法的應用。我們先來審題，將其題設變成我們的語言和思維，這是解題必須的步驟。題設條件解讀結果如下：一、肯定有狗生病，也就是說病狗的數量大于零；二、病狗的數量不會發生變化；三、狗的主人只有通過看別人的狗來確定自己的狗生病了沒有；四、如果主人發現自己的狗病了，絕對不會當天不殺死它。 下面講解一下如何得出結果。第一天，大家都沒有開槍殺狗，說明一個問題，就是絕對不只一條狗有病。試假設只有一條狗有病，那么就會有一個人看不見病狗，他根據題設中說一定有病狗就可以推斷自己的狗是病的，于是第一天就該響起槍聲。第一天的結果已經證明了不只一條狗有病，而且不難看出假設只有一條狗有病就一定可以在第一天響起槍聲，擊斃那一條生病的狗。此時我們不妨大膽猜測一下：第幾天開槍就有幾條狗是病的。 到了第二天，我們就可以開始驗證我們的結論了。試想，如果只有兩條病狗，狗的主人必然看不見其他狗生病，于是發現自己的狗是生病的，那么第一天看到一條病狗的人就會在第二天根據如果有一條病狗，那么第一天就會響起槍聲，而第一天沒有人開槍，則有不少于一條狗有病。再看看發現自己只看見一條狗生病了，那么想來，自己的狗就是一條病狗。于是就會根據上面的方法推斷得到自己的狗病了。于是開槍，響起的槍聲應該是兩聲。 但是到了第二天仍然沒有槍聲，于是到了第三天。第三天的時候響起槍聲了。前面已經說了，絕對不是有三條以下的狗有病，否則槍聲早就響了。但是，如果是四條狗有病，他們可以判斷自己的狗是病的嗎？根據前面所講，每個病狗的主人都看見三條病狗，而每個人都想自己可以看見三條狗有病，由前面的推導誰也不能肯定自己的狗是病的，就不能判斷自己是否該開槍打死自己的狗，于是應該不會響起槍聲。于是我們判斷出了應該是三條狗有病。有人問了，如果第四十九天響起槍聲，你是不是也就這樣推導 四十九步？當然不必要啊。其實根據數學歸納法的思想，我們只要開動腦筋，根據前面的三步推導的結果的特殊性很容易可以得到一個更加一般的推論只要是符合上述題目條件一到四假設的，無論總共是多少條狗或者無論是哪一天響起了槍聲，我們都可以得到是多少條狗倒下。前面已經大膽猜測第幾天開槍對應的打死的狗的數目就是幾。現在這個答案似乎得到了更加充分的肯 定。但是有的朋友仍然要求我們的答案的絕對正確性，那么我們可以根據歸納總結的方法證明如下：證明： 1第一天的槍響了， 說明有一個人看不見病狗， 但是最少有一條狗有病， 于是得到病狗是自己的， 于是開槍殺死自己的狗。 根據這個結論，我們從數字上得到了規律，于是我們猜測規律，用來尋找方便的解決問題的辦法。不妨設第N天開槍，必然就是有N條狗倒下。 2假設，第N天槍響了， 有N條狗是有病的， 而如果第N天沒有槍聲， 根據小于或等于N的數字n變成n=N，直到n=l的論證，于是得到了答案是第N天沒有開槍不可能是少于或等于N條狗生病了， 就說明有多于N條狗有病。 3證明的重點在于第N+1天的情況： 假設第N+1天想起了槍聲， 根據第N天沒有槍聲， 得到了多于N條狗有病； 再假設有多于N+1條狗有病， 根據多于N條狗有病的時候，第N天所有人的人均不能判斷自己的狗一定生病， 現在多于N+1條狗生病，那么大家就無法在N+l天確認自己的狗是否生病，無法決定自己是否應該開槍。 我們得到了結論在N+1天也是無法響起槍聲的。 于是與題設以及我們的假設中N+1天響起了槍聲發生沖突， 沖突的原因在于我們假設了多于N+1條狗有病， 就說明不可能多于N+I條狗生病了， 于是得到證明有N+1條狗有病。 綜上，在第幾天開槍就會有幾條狗有病被殺得以證明。 在數學的世界里，我們有很多不同的思想方法，比如說，我們常常遇到的統籌的思想方法；我們也常常需要根據一些已知的東西推斷一些未知的東西，這就用到我們所講的總結法；而為了證明判斷的正確，我們又用到了歸納法來證明。數學的思想方法無處不在，很多的事物與規律都與數學的思想方法直接或者間接地相關。在未來，科技更加發達，我們的頭腦中必定需要有更多的數學的思維出現；為了在社會中生存，為了在競爭中取勝，綜合地培養自己的能力時也需要不斷地培養數學的思維。 我們的生活中，也常常會用到數學的思想方法，也常常會思考一些數學問題。我們在思考這些方法的同時，也得到了進步。在我們的學習工作中，不僅要把數學學好，還要把數學的精髓學到手，這就是了解和掌握數學的思想方法。并且還要加強自己應用的能力，因為熟練的應用，可以直接為我們的生活和學習工作帶來意想不到的好處和方便。甚至在一次重要的權威面試中，直接關系到自己一輩子的發展的，也就是這么一個簡單的數學歸納法。 本文寫于匆忙之中，試想在一周之內要上交七篇論文，且又多為資料眾多需要考查的類型，其質量可想而知。但是接到張順燕教授的任務后的那個苦惱不已的晚上卻聽到了一個很不錯的題材，就是微軟的面試官給出的這道題目。忙乎差不多一個夜晚，整理了各種信息，與同學們分析了好一陣，終于執筆將此文的雛形寫出，但是又因為時間關系，沒有修改，甚至錯別字到處都是，也沒有按照數學模型的論文格式，甚至都沒有涉及到使用數學的語言，所以終究也不是一篇好論文。 但是，張教授卻選擇本文要出書，我確實興奮不已。也許確實此文寫得簡單易懂還頗有新味吧。修改前我想到要用嚴格的數學方法和證明來將本文章論證等趨于完美，經過提煉推導過程以標準的數學語言給予表達。但是又一想，反而不妥，此書系為所有愛好數學的朋友所編，讀書者不一定是我們數學界內的人士，寫得滿是數學符號恐怕不如就這樣敘述性的討論。我榮幸可以有朋友讀到這篇文章，我也希望此文可以激起大家的思考，激發大家的數學靈感，培養數學思維，但是我的推斷也有不明朗或不嚴密的地方甚至可能出現推導中的錯誤和敘述上的紕漏，望各位友人批評指正。淺論數學、文學與音樂中復調形式美的一致性 數學、文學、音樂常常以某種形式的默契向人們昭示世界的對稱，宇宙的神秘與魅力。讓我們來看下面一串看似無法解釋，而實際上卻深刻暗示了我們要討論的數學、文學與音樂三者之間神秘關系的問題： 我寫完一篇小說，而恰恰其中的字詞、句法或者標點的排列組合剛好適合于證明一道數學題，我是在計算還是在創作? 用所有表示聲音的字詞按照某種規律排列，并且配備合適的節奏，然后將它演奏，它是不是可以稱之為音樂?還僅僅是一篇文章？ 如果我們引用適當的一個排列組合公式，而其中每個數字代表著一個不同的音符，然后我們加入另幾個數學公式的節奏進行排列，然后進行演奏，如果悅耳的話，這是不是音樂?或者我們卻恰恰是在做一個方程，我們是不是在編曲? 我們將標點、文字、詞匯、句子通過某種數學方法進行排列，而恰好講述了一個故事或者是一首詩。我們是不是在創作？ 文學的梁祝與音樂的梁祝中間的區別與共通性是什么?如果我有足夠優秀的電腦能將音樂的某個最細微的顫動翻譯成文字或者將文字翻譯成音樂，我是在作文還是在譜曲？文字以同樣的可能在音符上體現，是數學還是音樂？或者就按著數學的規則對音符進行排列，這更接近現在的譜曲嗎？ 種種的問題，使得人們對宇宙的一致性產生了濃厚的興趣。眾多的研究在深入地開展，不同學科之間的神秘共性是研究所關心的問題。我們還不敢斷言，宇宙是否存在惟一的一條普遍真理，能夠用來解釋人們關于世界的所有疑問，使得任何學科的劃分都是多余的。那么，我們只能從現實的現象出發，去探詢這樣的問題。在這些現實存在的現象之中，最為明顯并且極具代表性的要屬數學、文學與音樂領域存在的一致性，特別是它們各自具有的復調形式美的一致性。 復調形式本是音樂領域中的一個基本概念，指的是兩個或幾個旋律的同時結合。運用復調形式，可以豐富音樂形象，加強音樂發展的氣勢和聲部的獨立性，造成前呼后應、此起彼落的效果。同樣，在數學與文學領域，也存在這種要素的多重組和，與音樂的復調有著異曲同工之妙。在這里，我們更為廣義地定義復調形式，即兩個或多個組成要素按照一定的邏輯與結構構成有規律的、彼此照應的和諧的整體結構。這種形式因其具有的呼應性與和諧性而 成為一種美學形式。無論在音樂、文學、數學領域，我們都能感受到這種美的存在。數學家研究數的時候，同文學家創作詩歌、散文、小說，作曲家創作曲子時一樣，需要有自己的語言，一套表情達意的體系。如同文學需要文學語言，音樂需要音樂語言一樣，數學也需要數學語言。而無論在音樂語言、文學語言抑或數學語言中我們都可以找到這種具有復調形式的美的存在。 音樂中復調的例子不勝枚舉。古典意義上的音樂，只是典型的單一主旋律，音樂的美感來自和諧。但是，在現代的音樂美學中，和諧不再是美學的最高追求。現代哲學打破了古典哲學的決定論的宏大結構，而認為，在工業時代和后工業時代，人的靈魂被撕裂開來，存在著人與人、人與自我、人與社會、人與自然的普遍分裂。人在自我意識和潛意識里，有著多重的構造。所以古典美學中的單一的旋律就無法表現現代人的心靈深度。于是10世紀初出現了無調性音樂。用迷亂的音響組合表現人的復雜的靈魂世界。著名的作曲家巴赫的協奏曲比較接近于現代協奏曲，堪稱復調音樂的大師。如a小調小提琴協奏曲，共分三個樂章：第一樂章，a小調，24拍子，雖然沒有速度指示，但一般都以快板演奏；第二樂章，行板，C大調，44拍子，是本曲中最著名的樂章，體現出巴赫藝術特征中嚴肅的一面；第三樂章，甚快板，a小調，98拍子。我們從中可以感受到巴赫復調音樂的精致巧妙的手法。 同樣，文學藝術中也存在這種復調的美，而且形式多樣。例如，現代小說創作中流行一時的復調小說。一個作家，作為一個敘述者，也就是一個講故事的人，就不再是一個全知全能的上帝，可以把一個故事講述得非常完整，因為他自己的靈魂深處也可能是割裂的，在他的人物設計和情節講述中，無意識地把自己的內心的矛盾在故事中流露出來，因此也就把自己表露得更加深刻。復調小說，其實，就是作者自己多個人格的對話。泡沫之戀可以被看作復調小說的代表。小說中愛不愛，自愛愛別人，漂泊安定，現實理想的旋律回環交錯構成了一種復調。而主人公的性格：超越年齡的滄桑感和冷靜與實際的歲數應該具有的天真、純潔、浪漫、幻想，又構成了一個多重的調性。 數學語言中的復調是我想重點討論的內容。數學之所以可以成為一門足以指導人類行為以及其他一切學科的重要科學，與它貫通人類認知的性質是分不開的。數學是美的科學，對稱的科學。作為這樣一門學科，不容置疑地，復調美也廣泛存在著。代數與幾何的并存與互補，其實就是復調在數學中存在的一個有力證明。16世紀，著名的法國數學家韋達引進了符號體系，代數與幾何開始結合起來，構成了經典的數學復調。雖然按照我們今天的標準， 這個體系是非常笨拙的，收效甚微，可是這個體系，恰恰被法國人費馬和笛卡兒利用，作子把代數與幾何合為一體，即我們今天稱之為解析幾何的嘗試。笛卡兒改造了韋達的符號體系。韋達的體系有許多不必要的復雜規定和條件，笛卡兒把它們都刪除了：以求直接和簡便。自此，解析幾何學產生了。解析幾何又分作平面解析幾何和空間解析幾何。在平面解析幾何中，除了研究直線的有關性質外，主要是研究圓錐曲線(圓、橢圓、拋物線、雙曲線)的有關性質。在空間解析幾何中，除了研究平面、直線有關性質外，主要研究柱面、錐面、旋轉曲面。解析幾何的創立，引入了一系列新的數學概念，特別是將變量引入數學，使數學進入了一個新的發展時期，這就是變量數學的時期。解析幾何在數學發展中起了推動作用。恩格斯對此曾經作過評價“數學中的轉折點是笛卡兒的變數，有了變數，運動進入了數學；有了變數，辯證法進入了數學；有了變數，微分和積分也就立刻成為必要的了，”解析幾何融合了代數與幾何的特點，代數與幾何以各自的優勢，既獨立存在又相互補充，使得解析幾何以一種復調的形式發揮著完美的作用。 那么，音樂、文學、數學中的復調是否講的是性質相同的一種美學形式呢？下面，我們以音樂中的對位，文學中的轉喻與數學中的高階的例子來看復調形式在三個領域中的一致性。在文學技巧里，轉喻這種將比喻再次比喻的方法是一種復調。比如：在“團扇那好像月亮魚如甸玉般光澤的表皮似的紙面”中，一層喻是“團扇那好像月亮魚表皮似的紙面”，二層喻嵌在里面：“如甸玉般光澤的”。可見，比喻是可以有階層累積的。同樣，在數學里，我們也可以發現，泛函也具備這種階層結構，它通過對函數的函數進行邏輯運算，達到一階算術里許多無法達到的成果。回到文學中，假設當n階層轉喻構建出來后，為了語言閱讀上的流暢與節奏，我會很自然地把一些可有可無的喻詞及喻體等給抽取掉，因為當意象元素多了以后，有些意象之間是可以通過并置等空間關系給確定下來的，它們不一定非要通過嚴格的 謂詞結構語法來表明彼此的先后順序，這也會導致閱讀時產生的審美快感不是單線的而是復調的。在數學中，計算n階層的泛函時，同一層的函數可以暫作一個整體，具體的函數也可以被暫時忽略。這就在數學中，形成了多層級的復調結構。在音樂里，這叫對位。這就是文學、數學、音樂領域中復調形式的一致性。I生物學與數學 前 言 生物學與數學顯然是有聯系的，現在已沒人否認這種觀點了。 物學的美在于復雜，它是用自然界中最簡單的原理形成的最復雜的表象。數學的美在于簡單，它是人類從復雜的自然現象中抽象出的最簡單的思維。這二者之間必然存在聯系。找到這種聯系對兩門學科來講意義重大。作者試圖從生物學的角度探討數學與生物學之間乃至各門學科之間的相互聯系。文章從數學在生物學中所做的工作寫起(一些生物學對數學的影響也附在這個部分)，對這些工作做出評價，并最終上升到哲學的高度去尋找聯系。 這篇文章有一定的開創性，如在此文之前還沒有人對生物數學各分支的產生、發展與研究方向做出過綜合闡述，至少作者沒有查到此類書籍。但鑒于作者僅是大學一年級的學生，對數學與生物學都存在認識不足，某些觀點可能會有不周和矛盾之處。作者幾乎沒有進行生物學研究的經驗，因此提出的設想和建議(如普遍建立模型的設想)很可能并不具有現實意義。但文中提出的觀點至少都是作者獨立思考的結果。 作者在準備此文時進行了大量的閱讀，遠遠超過文后開列的參考書目，鑒于部分參考書的觀點在文中并無體現，在此就不全部列出了。 以下便是作者對此題目的一點淺薄的認識，望師長批評指正。 一、數學在生物學中做了哪些工作理論上講，我們應該先討論世界觀的問題，因為方法論是受世界觀來指導的。但在科學發展的過程中，并不是先形成一個清晰的觀念而后才開始工作的。事實上，我們總是先做了什么，并在總結經驗的過程中形成認識，再用這種認識指導以后的工作，這才是科學發展的真實過程。因此我們不妨先看一看數學在生物學中做了哪些工作，有了一定的了解之后，再尋找它們之間的聯系。1數學在生物學中的直接應用非常有趣的是，雖然數學與生物學是自然科學中兩個最古老的分支，使它們結合在一起的卻是一門20世紀40年代才剛剛產生的新興學科。由于生命現象的復雜性和隨機性，把數學這種定量的邏輯的科學應用其中，需要大量的隨機數字與工作量驚人的計算，眾多的數學家與生物學家做了種種嘗試，都沒能找到很好的解決辦法。直到60年前計算機的誕生，才在鴻溝上真正架起了一座交流與溝通的橋梁。隨著近幾十年計算機技術的廣泛應用與蓬 勃發展，數學在生物學中的應用也進入了一個前所未有的爆發式的增長階段。 20世紀后20年中，數學在生物學中的直接應用從最早的、單一的生物統計學擴展成為生物數學這樣一門較為成熟與完備的學科。它主要通過建立數學模型來描述與檢驗生物學中的一些問題。從方法論的角度來看，它又包括了三個重要的分支學科：生物統計、生物動力系統和生物控制論。生物統計學是數理統計在生物學研究中的應用。它是用數理由統計的原理和方法來分析和解釋生物界各種現象和試驗調查資料的科學。比起生物數學的另外兩個分支來，生物統計的產生要早得多。1870年英國遺傳學家Calton(18221911)在進行人種特性研究，分析父母與子女變異，探索其遺傳規律時提出了相關與回歸的概念，生物統計學才真正誕生。從那時到現在已經經過了130多個年頭。這期間有許多科學家在這方面做出了突出的貢獻，如 PCMabeilinrobis對作物抽樣調查，AWatcl對序貫抽樣，Finney對毒理統計，KMather對生統遺傳學，FYates對田間實驗設計等，都做出了不凡的成績。生物統計學在發展的過程中又產生更多的分支學科，包括生統遺傳學(群體遺傳學)、生態統計學、生物分類統計學和毒理統計學。 20世紀20年代初，Lotla和Voterrla幾乎同時分別把動力學的方法用在分子化學反應系統和海洋漁業生態系統上。而生物動力系統成為一門獨立的學科是在20世紀70年代中后期。它對生物學中數學模型的建立起了重大的作用。生物動力系統同樣產生了許多分支學科。細胞動力學研究細胞的相互作用和細胞的生長規律。化學反應動力學研究分子間的化學反應。種群動力學研究生態學中種群與環境的相互作用，種群與種群相互作用的動力學規律。另外，微生物培養技術，種群遺傳基因頻率的變化，生物進化論規律，人類神經網絡等均可用動力學方法來描述。 生物控制論是應用控制論和信息論的原理，研究生物體活動的自動調整過程以及信息的傳遞、加工和儲存的學科。控制論產生的標志一般被認為是1948年維納(NWiener)的著作控制論(Cybernetics)的發表。其應用于生物學領域應稍晚于這個時間。至今為止，控制論的概念與方法已廣泛滲透到生物學的許多方面，人們應用電子計算機及各種自動化儀器設備研究生理生化過程，如血壓、體溫、呼吸調節系統；模擬神經細胞，神經網絡，神經系統以及內分泌系統；分析視覺、聽覺信息處理過程；探討人腦的學習、記憶、聯想的功能；處理各種感受器官的信息傳遞與肌肉運動系統的控制問題。生物控制論作用最突出的表現是在神經控制系統，特別是生物反饋系統上。2數學在生物學中的間接應用 我們不難發現，生物數學在生物學中的應用已相當廣泛，但仍有一定的局限性。無論是生物統計學，還是生物動力系統和生物控制論，生物數學所關注的問題總是集中在生物學中蘊涵數量變化規律的方面，基本上沒有脫離開生態學、生理學和遺傳學的范疇。而這些問題本身某種程度上說就是數的問題。數學家們所做的只是從生物學家們積累的大量實驗數據中找出規律，并把具有生物意義的現象抽象為數學模型。然而，并不是所有的生物學問題都具有明確的數量關系，對于那些不具有明確的數量關系或者并不是直接針對數量變化的問題，數學是否就束手無策了呢？我們知道生物學家非常關注的另一些問題，比如“酶的催化作用是怎樣達成的?”“高爾基體到底有怎樣的功能?”像這樣的問題聽起來與數學一點關系也沒有，是否數學陪伴我們前行的路程也就到此為止了呢?值得注意的是，數學不僅通過生物數學直接地來解決生物學中的問題，它還作為物理學與化學研究必不可少的工具間接地參與了生物學方面的工作。量子物理與量子化學的誕生給近代生物學的發展帶來了無法估量的巨大影響，可以說沒有量子理論的支持，分子生物學與近代細胞學根本就無從產生和發展。我的這種說法并非有意夸大其他學科在生物學中的作用，作為分子生物學誕生標志的DNA分子雙螺旋結構的建立就是很好的例證。有5位科學家在這個著名的模型的建立過程中做出了決定性的貢獻，他們是結構化學家鮑林，物理學家威爾金斯，物理化學家弗蘭克林，物理學家克里克和生物學家沃森。我們注意到他們之中只有一位是真正的生物學家，而事實上沃森之所以會轉向研究DNA的結構，還是受啟發于另一位物理學家薛定諤的著作生命是什么。我們必須承認在分子生物學和近代細胞學發展的早期乃至現在，物理學家與化學家們做出了非常巨大的貢獻，他們構建了許多物質或機制的物理或化學模型，這些模型在生物學研究中意義重大，而他們在構建這些模型的過程中無一沒有使用強大的數學工具。 3生物學對數學的影響 生物學在受惠于數學的同時，對數學也不是毫無回報的。 我們習慣于從力學的角度理解數學中的抽象概念，當我們換一個角度，從生物學的角度來思考數學概念的具體意義時，也許會收到意想不到的效果。當我們從生態學中著名的自然生長方程的角度重新來理解自然對數的底e的時候，就會發現自然是何等的奇妙與偉大。也許我們還不能像物理學那樣為數學的公式與概念找到普遍的相應解釋，但生物學至少提供了一種新的認識的方法。 近半個世紀以來，生物學家開始更加關注生命現象中精確的量的問題，生物學也不再是只依靠實驗的科學，它的作用被越來越多的其他科學家所認識。生物學的飛速發展為數學帶來新的時代。數學家開始通過生物學家的眼睛看世界，從而其興趣由機械的靜止的現象轉向自然界中動態的微妙的過程。生物學中積累的大量實驗數據為他們提供了豐富的研究材料，而未解決的難題更對他們提出了富有價值的挑戰。同數學家在生物領域取得成績一樣，也有生物學家在數學領域做出了重大的貢獻。如澳大利亞生物學家RobertMMay于1976年在自然雜志上發表文章“具有極復雜的動力學的簡單數學模型”，文中得到“簡單確定論數學模型也可以產生看似隨機的行為”的結論，從而推動了混沌學的發展。生物學還在更深層的意義上影響過數學的發展，關于這種影響我將在文章的第三部分進行討論。 二、應該如何評價數學在生物學中的作用 從文章的第一部分我們已經看到，無論是直接的還是間接的，數學通過建立模型已在生物學領域做了大量的工作，現在是我們對這些工作做出評價的時候了。 1模型的重要意義 數學在生物學中最主要的任務就是建立模型，這些數學、物理和化學模型的建立能夠解決生物學中的許多問題。生物學的很多理論是建立在假說的基礎上的，我們需要模型來描述我們的理論，當一個模糊的概念被準確的模型表達出來的時候，它才具有一個科學的假說必不可少的三條性質。 首先，也是最重要的，是可預測性。我們研究生命現象并不是只要提出假說，解釋一些已知的事實就可以了，我們要從有限的經驗中總結出自然的規律來，從而去預測未知的世界。只有當假說被表述為模型時，我們的預測才具有了確定的標準，才可能是科學的和準確的。 其次是可檢驗性。當理論被表述為準確的模型時，我們就可以做更多的實驗，得到更多的數據，并把數據代回到模型中去，檢驗理論的正確性。根據對代入結果的分析，我們可以推翻錯誤的假說，修正不完善的假說，堅定正確的假說。這對生物學理論體系的構建有著深刻的意義。 最后是可統一性。生物學中的很多假說只是使用了不同的表述方法，它們事實上是可以統一的或至少在部分上是可以統一的。許多生物學家花很多的時間為看似相左的理論爭論，甚至爭吵，而事實上這些理論的本質也許是一致的。如果我們能把理論表述為準確的模型，那么，我們就可以從數學和邏輯上推證各種理論的內在聯系，從而能省去許多浪費在文字游戲與無謂的爭吵上的時間，這是大有益處的。 2模型建立過程中的三個問題 誠然，數學在生物學中的作用是巨大的，但并不是無可懷疑的。我在為做這篇論文而進行思考時便有過一些懷疑，相信別的人也會有類似的疑問。我沒有對各類疑問進行調查，在此謹討論我本人提出的三個主要的問題以及我所做出的嘗試性的回答。 問題一：我們從模型中得到的結論是否是可靠的? 這是一個可怕的問題，如果答案是否定的，我們前面的一切討論將變得毫無意義。好在答案是肯定的。 我們的模型與自然界的真實之間確實存在差別，但如果我們的理論與推證過程本身是正確的話，由模型得到的結果也應當是正確的。這里“正確”的含義并不是點點吻合，實際上這是一個極限的過程，我們取n個值與模型進行比較，n越大綜合結論與模型越接近，當時，我們的結論應恰與模型相符。應該承認，生物學本身研究的就是偶然中的必然規律，想得到一個涵蓋一切可能的規律，我們能得到的結論將只有無序。 事實上，真正應該提出的問題不是可靠性而是依賴性。我們剛才討論的大前提是假設已知理論是正確的，現實意義上講，這個大前提并不存在。我們無法肯定任何一個理論是絕對正確的，這就帶來一些麻煩，我們必須分析不符合模型的點到底是不規則點還是理論存在缺陷。通常人們更愿意把這些點當作不規則點來處理，因為這樣更簡單，對較成熟的理論來講，這確實也是大多數的情況。但不能忘記的是我們得出理論與模型的過程，即我們是從少量的事實概括普遍的規律，我們的概括是不完全的。因此模型并不可以依賴，只有使模型逼近事實的道理，而沒有強使事實逼近模型的道理。 問題二：生命現象是復雜的，生物學問題更強調體系與環境的關系，模型的簡單化、理想化是否有悖生物學的基本屬性? 這仍是一個能推翻我們前面一切結論的問題。 確實，生命現象是復雜的，種群與環境，種群與種群，種群與個體，個體與個體，個體內的各級系統、器官、組織、細胞乃至細胞內的各級結構之間都存在著相當微妙的聯系。一個生命科學工作者如果割裂地看問題，他就犯了致命的錯誤。而且，生命現象中存在著太多的偶然，這就像混沌學中的“蝴蝶效應”，忽略了最微小的影響因素也會帶來結果的根本不同。但是我們別無選擇，我們必須把體系從環境中分離出來，假設一些條件是靜止不變的，否則，面對錯綜復雜的現象我們將無從下手，而且我們所期待得到的結論本身就是簡單化和理想化的，像自然中的真實現象一樣復雜的理論對我們毫無用處。 這種傳統的和經典的研究方法有它的消極作用，我們要做的是抵抗它的消極作用而不是放棄它。因此每一個結論都必須在環境中還原。這就像是我們在登一座高塔，我們逐級攀登并站在不同的層面上俯瞰，當爬至最高層時，我們已經把能影響一個基本問題的所有因素都包含進去了，并從不同的高度認識了這個問題在整體聯系中的地位和意義。這樣一來，每一個基本問題的研究都會產生一個理論體系，這需要大量的工作，卻能夠使我們更準確和全面的認識自然，因而決不是沒有意義的。 問題三：我們在構建模型時更多考慮的是大多數，而忽略了少數的例外，對生命來說，任何個體的意義可以忽略嗎? 這與其說是一個科學問題還不如說是一個哲學問題，因為這個問題很難在科學上找到令人滿意的答案。假設一種治療肺炎的方法，有效率高達80(實在是很高了)，它通常對人是無害的，只有百萬分之一的可能性(實在是很低了)會害人，而危害的后果又十分嚴重。公平地說這簡直是一種絕妙的療法，妙到現實中并不存在，每個醫生都會毫不猶豫的選擇這種療法，而那可能受害的病者與家庭所要承受的痛苦會毫不猶豫的被忽略，不管這痛苦對個體來說是百萬分之一還是100。我們在把概率統計應用于生命科學時總是遇到這樣的問題，問題的答案其實非常確定，也相當科學，卻很令人難過。應該說生命科學工作者不是上帝，既是不幸又是幸運，他不能像上帝一樣找到完美的答案，卻也比高高云層中的上帝更貼近眾生的苦與樂，上帝只有創造完美的能力，而他有的是創造完美的欲望。 3總體評價總體來說模型的建立還不成熟，數學與生物學的融合還處在最初的階段，其中還有很多待解決的問題。生物學中應用的還僅是數學中一些基本原理，并不能反映數學的最新進展。數學家所了解的生物學也停留在一個比較淺顯的層面，還不了解生物學的最高成就。但兩個學科間的隔閡不能阻止它們越來越緊密的聯系在一起，我們必將看到科學家們更廣泛的合作，而兩個學科也將達到共同的新的繁榮。三、數學與生物學之間乃至各門科學之間的哲學聯系現在讓我們更上一層樓，從歷史與哲學的角度，看一看數學與生物學之間，乃至各個學科之間到底是怎樣的關系。在此我并不想記述整個科學史，我們只要關注一下20世紀初的重大變革，就會對各個學科在哲學上的相互作用有所了解。17世紀后半期，牛頓經典力學的建立為自然哲學帶來了機械論。不可否認，經典力學的美曾經打動了無數科學家，而它最初一二百年的飛速發展也給人留下了深刻的印象。17世紀末的變革成了科學輝煌的代表，機械論的觀點也被大多數科學家所接受。生物學家們也像數學與物理學家們一樣，非常希望用機械論的觀點來指導他們的研究，但機械論的觀點在生物學中并不像在數學與物理學中那樣有效。事實上，機械論的許多觀點是與生命現象相矛盾的，生物學界一直沒有完全接受機械論。在19世紀，細胞學說，達爾文的進化論，孟德爾的遺傳定律相繼建立，生物學界逐漸形成了自己的一套世界觀。在此后的一段時間內，我們提起自然哲學指的就是數學與物理學中的哲學，生物哲學被從整個的自然哲學體系中孤立了出來，只有生物學家應用它并了解它的意義。 當歷史時鐘的指針指到20世紀初，經典力學的大廈開始動搖時，生物哲學突然站到了眾多科學家的面前，人們猛然意識到機械論與生命現象的矛盾。“重大的打擊來自以進化論為代表的生命科學的進展。無疑，以時間中的演進為特點的生命有機體作為自然界的一部分無論在本體論、認識論，還是方法論上都是機械論框架中難以容納的。”生物學以其蓬勃的發展與量子力學一起推動了我們對科學、對世界的從新認識。這之中也包括了對數學的從新認識。“歐氏幾何中的命題并非總是康德所謂的先驗判斷，而是按照演繹方法應用和檢驗的歸納推理，因此，必須認為形式科學(邏輯、數學、幾何學、運動學)像物理科學和生物科學一樣，也是實驗的和經驗的。就是演繹本身，也只是歸納過程的必要補充，事實上是歸納過程的必然部分。”我們對世界的認識逐漸接近自然的真實，我們開始意識到自然界中的各種現象像生命現象一樣，是相關聯的，整體的，逐漸生成的，隨機的和不可逆的。新的自然哲學形成了，并被用來指導科學的發展，老的學科被注入新的活力，各學科逐漸融合，新的邊緣學科紛紛產生，科學界呈現出強大的生命力與全新的景象。在這次變革中，各學科的相互作用得到了極好的體現。 在文章的最后，我要用生物學的語言來總結數學與生物學之間乃至各門科學之間的相互關系。科學中的各門分支共同起源于人類對自然的最初的蒙昧認識，它們沿著不同的進化路線發展，各自產生更多的分支，并逐漸接近現象的本質。這些進化的過程絕不是平行進化，互不干擾的關系，它們在自身完善的過程中不斷向外發出信號，并對外來信號的刺激進行反饋和調整。隨著時間的發展，這些進化主線之間形成了復雜的適應關系，以至于我們想把任何一條線路獨自撿出都無法做到。這些線路中的任意一條發生微小的變化，都會給其他線路帶來深遠的影響，而一條路線的快速演進也會帶來其他各學科的大發展，從而構成科學界的整體繁榮。數學與生物學的關系在這一點上并無例外。數學的學習 這個學期我選修了張順燕老師的“數學的精神、方法和應用”這門課。通過一個學期的學習，收獲不小。不僅僅是在具體數學知識方面的增長，更重要的是對數學有了更深刻的理解。老師啟發我們在有限的課堂學習之外，進行無限的思考。 數學真是一門奇妙的學科。她可以很高深，一道題叫幾代數學家熬白頭發；她可以很通俗，不識字的文盲也不至于是個“數盲”。小孩學會說話后，父母就開始教著數數了。那簡單的“1，2，3，”，如同數學的種子，被播種到孩子的頭腦中；而這顆種子日后是否能伴隨著孩子的成長逐漸生根、發芽、長葉，甚至開花結果，除了孩子自身的資質，就要看孩子長大以后所接受的教育了。 也許，高等數學是否有必要在文科學生中普及，這個問題還存在爭議；但是初等數學的重要性想必已被普遍承認，在學校接受教育的學生都必須學習初等數學。初等數學比較簡單，是數學的基礎。其教育目的之一是使學生掌握一些最基本的數學方法，學會在某些場合下應用數學工具以解決生活或工作中遇到的實際問題。但是這些遠非教授初等數學的全部目的。成功的初等數學將引領學生進入數學殿堂，在學生面前展示數學的無窮魅力，激起學生學習數學的熱情和動力。 數學是如此有魅力，她迷住了世界上最智慧的頭腦去探索她無窮的奧秘；她惹得古往今來多少人為之憔悴，為之衣帶漸寬而悔意全無。當深入數學的內核，領略其中的神奇與精微，靈魂即被數學之美所攝，和數學融為一體；此時對數學的愛是最內在、最持久，最堅定的。而在普通的數學學習中，反復做題如同做智力游戲；孩子對玩具的喜愛是難以持久的。對數學的興趣在解開一道難題后可能增加，在一次失敗的考試之后又可能減少。 回顧自己接受的初等數學教育的過程，覺得初等數學教育中存在著缺陷，還停留在教授數學知識、介紹數學工具的階段。我們學習的數學方法越來越復雜，而對數學思想的了解卻至多只能算是“管中窺豹”。在上這門課的過程中，我才逐漸認識到，方法可以很簡單，但其中卻可能蘊涵極其深刻的思想。老師在授課過程中給了我們很多這方面的例子。如“百雞問題”、“一筆畫問題”，小學時就接觸了，但當時只把它們當作一般的智力題，做過就忘了。經過老師的點播，真有醍醐灌頂之感。回顧過去的學習，猶如游寶山而空手歸，懊惱不已。過去眼中簡單的初等數學開始變得奧妙妙窮；離開的茅草屋經老師的點金棒輕輕一觸，幻化成宮殿一闕。 埋在課本和習題之中，就如同埋頭走路，雖然一步步走得踏實，卻不知道道路通向何方。學習了一些數學定理公式之后反復做題，和工匠機械地使用工具做活無異。這樣做的結果，當然能使學生牢記定理公式；但是只做到這一點卻有如“只見樹木，不見森林”。在我看來，定理公式還只是較表面的東西，是智慧的外化；而教育的終破目的應該是引導學生通過定理公式的學習、透過這些表面的東西，看到前后更為深刻、更具內涵的數學思想，亦即定理公式所折射出的數學家的智慧。方法是流，思想是源。推倒遮蔽視線蒙蔽心智的習題書堆，從書桌前站起身，去尋找數學之源發出的光輝。 數學的應用越來越廣泛，越來越深入，甚至滲入到社會科學領域內。正所謂“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之謎、日用之繁”，數學無處不在。我認為數學的應用可以分為兩個層次：數學方法的應用和數學思想的應用。方法的應用層次較低，思想的應用層次較高。數學思想的引入往往標志著一個新學科的誕生或是學科發展的一個新階段；引入思想是本質的進步，之后才是具體數學方法上的操作。不是每個人都要成為數學家，這沒有必要，也不可能。社會需要各行各業的人才，人有各式各樣的興趣。但是數學的學習卻無疑是必需的、不可或缺的。一個人掌握了數學工具，具備了數學思維，他的素質才可能全面；一門學科，引入了數學方法、數學思想，才算得上是科學的學科。數學今論一、談流變：感性經驗主義與儒家文化雙重包圍下的古代數學數學思想的產生，在我國首先出自先秦史官。金文的“史”在許慎的說文解字中釋為：“史，從又從中，中，無過也；又，手也。”王國維考據后，認為“中”指的是簡冊。他們的見解雖有不同，但都表達了對史官職能的看法。上古的史掌天文、歷法、卜祝、修史，是文化的掌握者和致用者，卜辭、周易這兩部書的作者據推測應該是他們，從中可以看出數學思想在周期循環及推算中的粗淺使用。隨著統一趨勢的不斷加強，以禮樂教化為核心的儒家文化漸趨上風，數學與巫、醫、卜、筮一齊被歸入數術、方技之流，淪為陰陽家之專利與儒法壁壘分明；焚書坑儒后，在縱橫捭闔中吃盡苦頭的士人，被統治者的功利策略所引誘，一心只讀圣賢書。隋代創立的科舉制，各代沿襲，但重點科目只是時文策論(這與農耕社會尚“同”不尚變的統治心態有關)，數術更邊緣化，掌握的人寥寥可數，帶有明顯的工具性特征，數學在萌芽狀態長久徘徊，沒有向現代學科意識邁進的征兆。數術處于那個倫理道德理論占絕對地位的社會，為何還能艱難存活呢？原因有三：一是農耕社會對農業的依賴性強，不可避免地要涉及天時、歷法、地利、人事，其中伴有數的運算。二是卜筮之風在人們精神生活中長期存在。儒家雖專注于人本，但還是相信鬼神于冥冥之中。孔子雖不語“怪，力，亂，神”，但敬畏感還是有的。三是數術純系實用科學，在宗法制社會不參與權力斗爭，顯出中立調和的姿態。不過這也不可避免地造成了古代數學的弊端，即一，以農耕社會的需求為發展導引，偏于實用主義，因而不具備自成體系發展的主動意識。二，專注于一時一事的解決，多為經驗影響的結果，零散而具象。三，沒有出現專門的學科術語、符號，更不具備完整意義上的演繹推理。四，縱觀祖沖之，劉徽等人，他們都不是專職的數學研究者，致仕隱退后才將對數學的愛好落實，本身對數術價值有所懷疑。再一方面，政府給予的重視不夠，造成數學發展人才匱乏。當時的權威人士對數學的貶損引起了普遍的鄙視，數學的周遭環境、人文關懷不足，始終處于孤立與相對自足的狀態，哲學終極關懷、美學情韻、文學想象都未參與數學的研究，旨趣因之低下，除附麗于簡單的農事商貿上，數學的影響面很小。二、現實困境 歷史回溯至19世紀六七十年代，一場轟轟烈烈的洋務運動給沉寂的中國帶來了文明之學，數學也作為一門獨立學科在各學堂安營扎寨。一個多世紀以來，我們在西學基礎上演進創新，取得了豐碩的成果，但這僅是“用”的層面，中學之“體”還扎根于大腦。一方面，西方數學龐大的運算體系和五花八門的符號嚇走了慣于頓悟式思維的國人，但樸素數學觀并未轉變。另一方面，數學教育中“術數致用”的遺毒還在蔓延，數學即學即拋，成為升學考試的敲門磚。再之，象牙塔式的專職研究所獲得的濃縮理論不能轉化為實際效益，僅作為科研、成果見諸報端，其與知識經濟的隔膜造成自身資金周轉不暢，人員紛紛跳槽，學科內部研究方向日益失衡，出現純數學與應用數學孰優孰劣的紛爭。它的發展和存在嚴重依賴于外界政策導向、財物支援，致使無法掌握自己的命運。最后，便是數學與生物、信息等新興科學日益緊密結合，它自身的科學特色和人文內蘊完全被遮蔽，數學的“感染力”、“表現力”不足，常讓人疑心基礎學科本身只能作為供人攀登的梯子，不能自動升級。 循著以上一條數學發展在中國的不太穩健的路，我的憂思迭起，數學要發展，自力更生是關鍵，還需要經濟政策的多向調節，面對實際來解決問題。三、數學的魅力在哪里? 有人贊譽它是科學王冠上的明珠，有人說它是理性與智慧的完美結合，人類思想之精粹。數學以嚴謹的邏輯，詳實的推理，牢固地站在真理的大舞臺之上，不因時光流轉，世事變遷而搖擺。它用符號化的語言來闡述自然規律，這本身也是一種對宇宙人生的獨特領悟，既有總攬全局式高瞻遠矚，也有向細節深處進軍的不屈不撓。從常量數學到變量數學的劃時代演進，也是應人文科學對“恒常”和“變化”的響應，數學家們的艱辛探索，充滿了與宗教、愚昧、世俗偏見的抗爭，也昭顯了浩然正氣，而學界的一次次論爭及數學危機的爆發，也都經歷了情理和裁決的劇痛，才能在不斷否定原來的基礎上前進。同時，數學證明的形式美催生了邏輯(后者也直也相應指導了數學)，它的凝煉客觀與文學語言的浮華絢麗形成了鮮明的對比。數學美學著眼處不僅限于形式問題，還有它的神韻，因為它曾對人類心靈史的塑造具有不可磨滅的貢獻，它使人類理性精神不斷加強，對自身的能力不斷覺悟。 在此強調數學的內蘊，并不意味著忽視它的外在功用，古希臘人掌握了這門神奇的技藝，具有了對自身存在的強大信心，從而引發了對宿命的抗爭，偉大的悲劇意識和悲劇作品如普羅米修斯、安提戈涅正是在這種情形下誕生的，也因之成就了“崇高”的美學。西方第二、三次工業革命也是在數學的技術支持與理性感召下誕生的，可惜當今國人對數學的認識不夠，非但意識不到其基礎作用，更談不上數學背后的人文精神滲透。 回顧歷史，文藝復興這一重大史實，是自然科學(數學)與宗教人文的互動引發的，古希臘、古羅馬的理性精神(亞里士多德為代表的)被提倡，人們才不憚于羅馬教廷的神權威懾，以己之力叩問宇宙。試想如果單憑數學獨當一面，“文藝復興”是否能名副其實？各門學科在互相支援中發現了彼此的親和力，也找出了不同的意趣，因而在文藝復興后，有了較為清晰明確的學科劃分，但遺憾的是我們在引進西方數學理論時僅著眼于這一學科界限，看不到數學背后其他學科的合力作用，簡單地視數學為一門工具課，或是鍛煉思維的智力游戲，脫離了高尚的認知追求，數學形式成為枯燥、冗繁的象征，使得我們平常人對數學敬而遠之，研究者或是得不到“底氣”支持，或是囿于狹隘的研究范疇，無法施展才華，惟恐越出數學學科范圍的“禁門”。而近年來數學的研究再次表明，數學是人腦對客觀世界的一種認識，既是認識，就不能全然摒棄一切感性的方面，畢竟我們的數學家還是憑著人類的正常情感去從事研究的；感情亦包括想象力、預見性，一個就事論事，沒有超越實證膽識的數學家，很難說其有什么大的創見。相應地，一門過于自戀的學科，沒有“雅”“俗”整合的勇氣，單沉溺于人為設置的陳套中，逍遙于學科交叉這股既成趨勢之外，在其前進過程中，必然會缺乏靈感及競爭互動的觀念。四、數學融藝術氣質與科學效用于一身 2000年第一季度世界經濟觀察報告指出：“作為科技主要素之一，科學環境反映一國對基礎科學研究的重視和由此帶來的重大科學突破，崇尚科學的社會氛圍對國際競爭力有長遠、穩定、起基礎性的推進作用，其內在機理概括為在基礎科學技術科學應用開發生產推廣，以各國科技史看，基礎與應用研究應據各國自身情況取得最佳平衡，片面強調應用將不利于長遠技術的進步、應用與推廣，使之成為無源之水，是急功近利的短期行為， 相反片面強調基礎研究也將影響科