3.2.1 直線的方向向量與直線的向量方程課堂導學三點剖析一、直線的方向向量 【例1】 已知點a(1,3,0),b(2,4,3)以的方向為正向,建立數軸,試求點p,使得 =13.思路分析：求點p,不妨先設p(x,y,z)再利用條件構造等式.解：設p(x,y,z)，由已知=3，=3()，4=+3，=+，(x,y,z)=(2,4,3)+(1,3,0)=(,).x=,y=,z=,即點p(,).溫馨提示 求一點坐標,通常先設出點,再尋找條件等式或構造方程組求解.二、平行與垂直【例2】已知三棱錐oabc中，oa=ob=1，oc=2，oa，ob，oc兩兩垂直，如何找出一點d，使bdac，dcab？思路分析:首先建立空間直角坐標系，利用點的坐標來解決平行問題.解：建立如下圖所示的空間直角坐標系,則a(1,0,0),b(0,1,0),c(0,0,2),設所求點d(x,y,z).由bdac,dcab,因此即d點的坐標為(-1,1,2).溫馨提示 將線(或線段)的關系轉化為向量關系,再過渡到空間直角坐標系中來是求解的關鍵.三、角和距離問題【例3】 如下圖,sa面abc,abbc,sa=ab=bc,求異面直線sc與ab所成角的余弦值.思路分析:可先建立空間直角坐標系,利用點的坐標求余弦值.將幾何問題代數化.解:以點a為坐標原點,ac為y軸的正向建立空間直角坐標系.設sa=ab=bc=a,則b(a,a,0),c(0,a,0),s(0,0,a)那么ab=(a,a,0),=(0,-a).由cos,=.故sc與ab所成角的余弦值為.溫馨提示 在求解有關角或距離的問題時,根據條件合理建立空間直角坐標系是求解的關鍵.各個擊破類題演練 1 已知a(1,1,0),b(2,2,3),且=,求點c坐標.解析:設c(x,y,z).由=,得=,=+,(x,y,z)=(1,1,0)+(2,2,3)=(,3),c(,3).變式提升 1 已知梯形abcd中,abcd,其中a(1,1,2),b(2,3,4),若c點(0,1,1),d點為(2,x,y),試求d點坐標.解析:=(1,2,2),=(2,x-1,y-1),則.得x=5,y=5.d點坐標為(2,5,5).類題演練 2 已知正方體abcda1b1c1d1的棱長為2，p、q分別是bc、cd上的動點，且|pq|=，確定p、q的位置，使得qb1pd1.解析：(1)建立如右圖所示的空間直角坐標系,設bp=t,得cq=,dq=2，那么b1(2,0,2),d1(0,2,2),p(2,t,0),q(2,2,0).從而=(,-2,2),=(-2,2-t,2).由qb1pd1=0，即-2(2-t)+4=0t=1.故p、q分別為bc、cd的中點時，qb1pd1；變式提升 2 棱長為1的正方體abcda1b1c1d1中，e、f、g分別是dd1、bd、bb1的中點.求證：efcf.證明:建立空間直角坐標系oxyz,則d（0，0，0）,e(0,0,),f(,0),g(1,1,),c(0,1,0),=(,-),=(,-,0),=+()+0=0.cfef.類題演練 3 知邊長為4的正方形abcd所在平面外一點p與正方形的中心o的連線po垂直于平面abcd,且po=6,求po的中點m到pbc的重心n的距離.解：建立如右圖所示的空間直角坐標系，則b（2，2，0），c（-2，2，0），p（0，0，6）,由題意得m（0，0，3），n（0，2）.于是|mn|=.故m到pbc的重心n的距離為.變式提升 3 正方體abcda1b1c1d1中，棱長為1，e、f、g分別是dd1、bd、bb1的中點.(