第二節兩條直線的位置關系 第七章 例1 已知兩條直線l1 ax by 4 0和l2 a 1 x y b 0 求滿足下列條件的a b的值 1 l1 l2 且l1過點 3 1 2 l1 l2 且坐標原點到這兩條直線的距離相等 判定兩直線的位置關系 解析 1 由已知可得l2的斜率必存在 所以k2 1 a 若k2 0 則1 a 0 a 1 因為l1 l2 所以直線l1的斜率k1必不存在 即b 0 又因為l1過 3 1 所以 3a b 4 0 即b 3a 4 不合題意 所以k2 0 即k1 k2都存在 又因為l1過點 3 1 所以 3a b 4 0 由 聯立 解得a 2 b 2 2 因為l2的斜率存在 l1 l2 所以k1 k2 即 1 a 又坐標原點到這兩條直線的距離相等 點評 1 若直線l1和l2有斜截式方程l1 y k1x b1 l2 y k2x b2 則直線l1 l2的充要條件是k1 k2 1 直線l1 l2的充要條件是k1 k2 且b1 b2 2 設l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0 則l1 l2 a1a2 b1b2 0 l1 l2 a1b2 a2b1 0 a1c2 a2c1 0 3 對系數含參這類問題 要從直線有斜率 沒有斜率兩個方面進行分類討論 在確定參數的值時 應注意先討論x y系數為0的情況 1 1 2012 深圳松崗中學模擬 已知直線l1 3 m x 4y 5 3m與l2 2x 5 m y 8平行 則實數m的值為 a 7b 1c 1或 7d 變式探究 2 abc的三邊a b c分別對應角a b c 若lgsina lgsinb lgsinc成等差數列 則直線l1 xsin2a ysina a與直線l2 xsin2b ysinc c的位置關系是 a 不垂直的相交b 平行c 垂直相交d 重合 3 2012 杭州第十四中學月考 若存在直線l平行于直線3x ky 6 0 且與直線kx y 1 0垂直 則實數k 解得m 7 舍去m 1 故選a 2 提示 結合正弦定理考慮 3 依題意 直線3x ky 6 0與直線kx y 1 0互相垂直 可得k 0 答案 1 a 2 d 3 0 求與已知直線平行或垂直的直線方程 例2 1 經過兩條直線2x 3y 3 0 x y 2 0的交點 且與直線x 3y 1 0平行的直線一般式方程為 2 已知曲線f x xsinx 1在點處的切線與直線l垂直 且直線l與坐標軸圍成的三角形面積為2 則直線l的方程為 解析 1 兩條直線2x 3y 3 0 x y 2 0的交點為 3 1 所以與直線x 3y 1 0平行的直線為y 1 x 3 即x 3y 0 答案 1 x 3y 0 2 y x 2或y x 2 點評 當直線的斜率存在且不為零時 若直線l2與直線l1 ax by c1 0平行 則可設l2的方程為ax by c2 0 若直線l2與直線l1 ax by c1 0垂直 則可設l2的方程為bx ay c2 0 當直線的斜率為零或不存在時 結合圖形可易得直線方程 變式探究 2 已知 abc三個頂點a 2 0 b 4 8 c 0 6 則ab邊上的高線所在的直線方程是 與邊bc平行的三角形中位線所在的直線方程是 答案 x 4y 24 0 x 2y 5 0 例3 已知不論 取任何實數 直線 2 3 x 4 y 2 2 0都恒過一定點 求這個定點的坐標 直線恒過定點問題 解析 將方程 2 3 x 4 y 2 2 0 r 整理為 2x y 2 3x 4y 2 0 因為 r 所以必須有 左邊 2 3 x 4 y 2 2 0 右邊 所以直線 2 3 x 4 y 2 2 0 r 過定點 2 2 點評 直線的點斜式方程y y0 k x x0 表明不論k取何值 該方程表示的直線恒過定點 x0 y0 一般情況是形如a1x b1y c1 a2x b2y c2 0的直線 若對任意的 值恒成立 則該直線恒過直線l1 a1x b1y c1 0與l2 a2x b2y c2 0的交點 該直線在方程中 當 0時 表示直線l1 但是 不論 取何值 都不能表示直線l2 變式探究 3 1 不論k取何值 直線l k 1 x y 2 k 0恒過定點 這個定點是 a 1 3 b 1 3 c 3 1 d 3 1 2 若k 1 b成等差數列 則直線y kx b必過定點 a 1 2 b 1 2 c 1 2 d 1 2 解析 1 法一 取k 0 得x y 2 0 取k 1 得2x y 1 0 解 構成的方程組 得x 1 y 3 將該點坐標代入直線l方程 則方程恒成立 說明不論k取何值 直線l都經過點 1 3 故選b 法二 將直線方程化為 x 1 k x y 2 0 因為k取任意實數 即關于k的方程有無數組解 所以x 1 0且x y 2 0 解得x 1 y 3 故選b 2 由已知得k b 2 所以直線方程變為y kx k 2 即y k x 1 2 此為直線的點斜式方程 所以直線過定點 1 2 故選a 答案 1 b 2 a 距離問題 點評 1 求直線方程時一定要注意斜率不存在的情況 2 第 2 問是判斷存在性問題 通常的解決方法是先假設判斷對象存在 令其滿足應符合的條件 若有解 則存在 并求出 若無解 則不存在 判斷無解的過程就是結論的理由 3 在運用公式d 求平行直線間的距離時 一定要把x y前面的系數化成相等 變式探究 2 已知直線3x 4y 3 0與直線6x my 14 0平行 則它們之間的距離是 a b c 8d 2 中心對稱問題 例5 1 已知點a 3 4 求點a關于點p 2 1 對稱的點b 2 求直線l1 2x y 2 0關于定點m 1 2 對稱的直線m的方程 思路點撥 1 因為關于中心對稱的兩點連線段被對稱中心平分 因此用中點坐標公式來解決 2 設直線m上的動點p x y 關于點m 1 2 的對稱點為q x0 y0 則點q必在直線l1上 結合中點坐標公式即可求得 2 設直線m上的動點p x y 關于點m 1 2 的對稱點為q x0 y0 則點q必在直線l1上 線段pq的中點為m 由中點坐標公式得 于是得x0 2 x y0 4 y 因為點q x0 y0 在直線l1 2x y 2 0上 所以2 2 x 4 y 2 0 即2x y 2 0 所以直線m的方程為2x y 2 0 點評 因為已知直線上的點關于定點的對稱點均在其對稱直線上 所以關于定點對稱的兩條直線是互相平行的 變式探究 5 直線x 2y 3 0與直線ax 4y b 0關于點a 1 0 對稱 則b 解析 由題意知 點a 1 0 不在直線x 2y 3 0上 則 所以a 2 又點a到兩直線的距離相等 所以 b 2 4 所以b 6或b 2 又因為點a不在直線上 兩直線不重合 所以b 2 答案 2 軸對稱問題 例6 1 求直線a 2x y 4 0關于直線l 3x 4y 1 0對稱的直線b的方程 2 光線沿直線l1 x 2y 5 0射入 遇直線l 3x 2y 7 0后反射 求反射光線所在的直線方程 思路點撥 軸對稱因對稱點連線的中垂線就是對稱軸 根據中點坐標公式及斜率的關系即可解決 解析 1 法一 由解得a與l的交點e 3 2 點e也在b上 在直線a 2x y 4 0上找一點a 2 0 設點a關于直線l的對稱點b的坐標為 x0 y0 由兩點式得直線b的方程為 即2x 11y 16 0 法二 利用對稱關系 設p x y 是所求對稱直線b上一點 關于直線l的對稱點為q x0 y0 即直線b的方程是2x 11y 16 0 代入方程x 2y 5 0中 化簡得29x 2y 33 0 即為所求反射光線所在的直線方程 點評 由平面幾何知識可知 若直線a b關于直線l對稱 則應有下列幾何性質 1 若a與b相交 則l是a b交角的平分線 若a與l平行 則b l 且a b與l距離相等 2 點a在直線a上 則a點關于l的對稱點b一定在直線b上 并且ab l ab的中點在l上 3 設p x y 是所求直線b上一點 則p為關于l的對稱點p 的坐標適合a的方程 變式探究 6 1 2012 大慶市鐵人中學期末 將一張坐標紙折疊一次 使點p 10 0 與q 6 8 重合 則與點m 4 2 重合的點是 a 4 2 b 4 3 c d 3 1 2 點p 0 1 在直線ax y b 0上的射影是點q 1 0 則直線ax y b 0關于直線x y 1 0對稱的直線方程為 解析 1 法一 作圖檢驗可知選項a滿足題設條件 故選a 法二 設與m重合的點為n x y 則線段pq的中