3 1隨機事件的概率3 1 1隨機事件及其概率 概率 1 了解隨機事件 必然事件 不可能事件的概念 2 正確理解事件a出現的頻率的意義 正確理解概率的概念 明確事件a發生的頻率fn a 與事件a發生的概率p a 的區別與聯系 3 利用概率知識正確理解現實生活中的實際問題 基礎梳理 1 必然事件 在條件s下 的事件 叫相對于條件s的必然事件 2 不可能事件 在條件s下 一定 的事件 叫相對于條件s的不可能事件 3 隨機事件 事件 在條件s下可能發生也可能不發生的事件 叫做相對條件s的隨機事件 4 確定事件 統稱為相對于條件s的確定事件 1 一定會發生2 不會發生4 必然事件和不可能事件 例如 判斷下列事件哪些是必然事件 哪些是不可能事件 哪些是隨機事件 1 拋一石塊 下落 2 在標準大氣壓下且溫度低于0 時 冰融化 3 某人射擊一次 中靶 4 如果a b 那么a b 0 5 擲一枚硬幣 出現正面 6 導體通電后 發熱 例 根據定義 事件 1 4 6 是必然事件事件 2 是不可能事件事件 3 5 是隨機事件 5 頻數與頻率 在相同的條件s下重復n次試驗 觀察某一事件a是否出現 稱n次試驗中事件a出現的次數na為事件a出現的 稱事件a出現的比例fn a 為事件a出現的頻率 且fn x 范圍是 對于給定的隨機事件a 如果隨著試驗次數的增加 事件a發生的頻率fn a 穩定在某個常數上 把這個 稱為事件a的概率 6 頻率與概率的區別與聯系 隨機事件的頻率 指此事件發生的次數na與試驗總次數n的比值 它具有一定的穩定性 總在某個 附近擺動 且隨著試驗次數的不斷增多 這種擺動幅度越來越小 我們把這個常數叫做隨機事件的 概率從數量上反映了隨機事件發生的可能性的大小 頻率在大量重復試驗的前提下可以近似地作為這個事件的概率 例如 投擲一枚硬幣正面向上的概率是 常數概率例 1 2 思考應用 1 如何理解或判斷隨機事件 解析 隨機事件是指一定條件下出現的某種結果 隨著條件的改變其結果也會不同 因此必須強調同一事件必須在相同的條件下研究 隨機事件可以重復進行大量實驗 每次實驗結果不一定相同 且無法預測下一次的結果 但隨著實驗的重復進行 其結果呈現規律性 分析事件時 首先要看清條件 因為它們都是相對于一定條件而言的 然后看它是否發生 一定發生的事件是必然事件 可能發生也可能不發生的事件是隨機事件 一定不發生的事件是不可能事件 2 某次試驗得到的頻率能否稱為概率 例如 從一批準備出廠的電視機中 隨機抽取10臺進行質量檢查 其中有一臺是次品 能否說這批電視機的次品的概率為0 10 解析 一般來說 某次試驗得到的頻率不能稱為概率 概率是在大量試驗的基礎上得到的頻率的穩定值 是多次試驗的結果 是各次試驗頻率的抽象 問題中所說的0 10 只是一次試驗的頻率 它不能說成是概率 3 如何理解隨機事件與隨機試驗 解析 在一定條件下可能發生也可能不發生的事件為隨機事件 隨機事件可以重復進行大量試驗 如果試驗結果預先無法確定 這種試驗就是隨機試驗 自測自評 1 下列事件 1 同一門大炮向同一個目標發射多發炮彈 其中50 的炮彈擊中目標 2 某人給其朋友打電話 卻忘記了朋友電話號碼的最后一個數字 就隨意撥了一個數字 恰巧是朋友的電話號碼 3 直線y 2x 6是定義在r上的增函數 4 若 a b a b 則a b同號 5 奧巴馬當選美國下屆總統 其中隨機事件的個數為 a 1 b 2c 3d 4 d 2 12個同類產品中含有2個次品 現從中任意抽出3個 必然事件是 a 3個都是正品b 至少有一個是次品c 3個都是次品d 至少有一個是正品3 一個家庭有兩個小孩 則所有可能的基本事件有 a 男女 男男 女女 b 男女 女男 c 男男 男女 女男 女女 d 男男 女女 c d 4 一個盒子中裝有8個完全相同的球 分別標上號碼1 2 3 8 從中任取一個球 寫出基本事件空間 5 已知隨機事件a發生的頻率是0 02 事件a出現了10次 那么共進行了 次實驗 1 2 3 4 5 6 7 8 認識和理解事件的隨機性 給出下列五個事件 某地3月6日下雨 函數y ax a 0且a 1 在定義域上是增函數 實數的絕對值小于0 a b r 則ab ba 某人射擊8次恰有4次中靶 其中必然事件是 不可能事件是 隨機事件是 解析 是隨機事件 某地3月6日可能下雨 也可能不下雨 是隨機事件 函數y ax a 1且a 0 在a 1時為增函數 在0 a 1時為減函數 未給出a值之前很難確定給的a值是大于1還是小于1的 是不可能事件 任意實數a 總有 a 0 故 a 0不可能發生 是必然事件 當a b r時 ab ba恒成立 是隨機事件 答案 跟蹤訓練 1 12件同類產品中 有10件正品 2件次品 從中任意抽出3件 下列事件中 隨機事件有 必然事件有 不可能事件有 填上相應的序號 3件都是正品 至少有1件是次品 3件都是次品 至少有1件是正品 解析 抽出的3件可能都是正品 也可能不都是 則 是隨機事件 這12件產品中只有2件次品 那么抽出的3件不可能都是次品 其中至少1件是正品 則 是不可能事件 是必然事件 答案 點評 判斷事件的隨機性或確定性 主要是根據定義來進行 確定不發生的就是不可能事件 確定要發生的就是必然事件 可能發生也可能不發生的就是隨機事件 本題易誤把 也當成隨機事件 其原因是不注意所給條件中正品和次品的數量 三個概念混淆不清 認識基本事件空間 擲一對不同顏色的均勻骰子 觀察向上的點數 1 寫出這個試驗的基本事件空間 2 點數之和不大于7 這一事件 包含哪幾個基本事件 3 點數之和等于3的倍數 這一事件包含哪幾個基本事件 解析 1 這個試驗的基本事件空間 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 2 點數之和不大于7 這一事件 包含21個基本事件 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 5 1 5 2 6 1 3 點數和等于3的倍數 即點數和為3 6 9 12的情形 共有12個基本事件 1 2 1 5 2 1 2 4 3 3 3 6 4 2 4 5 5 1 5 4 6 3 6 6 跟蹤訓練 2 甲 乙 丙3人各投一次籃 1 列舉命中的所有可能情況 2 列舉恰有兩人命中的各種情況 3 列舉至少兩人命中的各種情況 解析 命中記為v 未命中記為x 1 所有可能情況如下 v v v x x x v v x v x v x v v v x x x v x x x v 2 恰有兩人命中的各種情況如下 v v x v x v x v v 3 至少兩人命中的各種情況 v v v v v x v x v x v v 事件發生的頻率與概率 某射手在同一條件下進行射擊 結果如下表所示 1 計算表中擊中靶心的各個頻率 2 這個射手射擊一次 擊中靶心的概率約是多少 答案 1 0 80 0 95 0 88 0 92 0 89 0 91 2 0 9 跟蹤訓練 3 某籃球運動員在最近幾場大賽中罰球投籃的結果如下 進球頻率 1 計算表中進球的頻率 2 這位運動員投籃一次 進球的概率大約是多少 概率的應用 在一場乒乓球比賽前 裁判員利用抽簽器來決定由誰先發球 請用概率的知識解釋其公平性 解析 這個規則是公平的 因為抽簽上拋后 紅圈朝上與綠圈朝上的概率均是0 5 因此任何一名運動員猜中的概率都是0 5 也就是每個運動員取得先發球權的概率都是0 5 點評 事實上 只要能使兩個運動員取得先發球權的概率都是0 5的規則都是公平的 跟蹤訓練 4 生活中 我們經常聽到這樣的議論 天氣預報說昨天降水概率為90 結果根本一點雨都沒下 天氣預報也太不準確了 學了概率后 你能給出解釋嗎 解析 天氣預報的 降水 是一個隨機事件 概率為90 指明了 降水 這個隨機事件發生的概率 我們知道 在一次試驗中 概率為90 的事件也可能不出現 因此 昨天沒有下雨 并不說明 昨天的降水概率為90 的天氣預報是錯誤的 1 對于紛繁的自然現象和社會現象 如果從其結果能否預知的角度出發去劃分 可以分為兩大類 一類現象的結果總是確定的 即在一定條件下它所出現的結果是可以預知的 這類現象稱為確定性現象 它是在一定條件下必然會發生某種結果的現象 故也稱為必然現象 2 隨機現象在客觀世界中是極其普遍的 它表現為試驗結果的不可預知性 我們研究隨機現象 就是研究它的統計規律 一方面對隨機現象作出正確的解釋 另一方面應用于科學技術 工農業生產等 為了探索隨機現象的規律性 需要對隨機現象進行觀察 我們把觀察隨機現象或為了達到某種目的而進行的實驗統稱為試驗 把觀察結果或實驗結果稱為試驗的結果 本章中我們賦予 試驗 一詞比較廣泛的含義 例如 拋擲硬幣骰子 中學生投籃 觀察信號燈顏色 產品抽樣檢驗 戰士打靶環數 明天會不會下雨等統視作試驗 對于隨機事件 知道它發生的可能性大小是非常重要的 要了解隨機事件發生的可能性大小 最直接的方法就是試驗 3 一個試驗如果滿足下述條件 1 試驗可以在相同的情形下重復進行 2 試驗的所有結果是明確可知的 但不止一個 3 每次試驗總是出現這些結果中的一個 但在一次試驗之前卻不能確定這次試驗會出現哪一個結果 象這樣的試驗是一個隨機試驗 4 對隨機事件的理解應含下面兩個方面 1 隨機事件是指一定條件下出現的某種結果 隨著條件的改變其結果也會不同 因此強調同一事件必須在相同的條件下研究 2 隨機事件可以重復地進行大量實驗 每次實驗結果不一定相同 且無法預測下一次的結果 但隨著實驗的重復進行 其結果呈現規律性 我們把隨機試驗的每一個可能的結果看作一個基本事件 它的全體構成了基本事件空間 我們研究隨機現象 就是要把握它每一個可能出現的結果 在具體計算中 為防止漏解 常常按一定順序或表格的形式表示出所有的基本事件 以便正確把握基本事件空間中所有基本事件的總數 為了敘述起來文字簡潔些 我們有時講到事件時 其中可能包含不可能事件和必然事件的意思 一般都不另作說明了 隨機事件 必然事件 不可能事件三個概念既有區別 又有聯系 在具體的每次試驗中 根據實驗結果來區分三種事件 要注意事件和基本事件兩個概念的區