第三講 點(diǎn)的投影（50分鐘）（一）教學(xué)內(nèi)容：1點(diǎn)在兩投影面體系中的投影2. 點(diǎn)在三投影面體系中的投影3. 兩點(diǎn)的相對(duì)位置和重影點(diǎn)（二）目的與要求1掌握點(diǎn)在三投影面體系中的投影規(guī)律以及由點(diǎn)的兩投影求作第三投影的要領(lǐng)；2掌握根據(jù)點(diǎn)的投影，判斷其空間位置（包括兩點(diǎn)的相對(duì)位置）的方法。 （三）講課提綱及其說(shuō)明一、點(diǎn)在兩投影面體系中的投影（15分鐘）1、投影面體系的建立如圖1所示，設(shè)立互相垂直的兩個(gè)投影面，正立投影面（簡(jiǎn)稱正面）V和水平投影面（簡(jiǎn)稱水平面）H，構(gòu)成兩投影面體系。兩投影面體系將空間劃分為四個(gè)分角。本書(shū)只講述物體在第一分角的投影。V面和H面的交線稱為投影軸OX。2.點(diǎn)的兩面投影如圖1（a）所示，由空間點(diǎn)A作垂直于V面、H面的投射線Aa、Aa，分別與V面、H面相交，交點(diǎn)即為A的正面投影（V面投影）a和水平投影（H面投影）a，即點(diǎn)A的兩面投影。空間點(diǎn)用大寫(xiě)字母如A、B、C、表示，其水平投影用相應(yīng)的小寫(xiě)字母如a、b、c、表示，正面投影用相應(yīng)的小寫(xiě)字母加一撇如a、b、c、表示。為使點(diǎn)的兩面投影畫(huà)在同一平面上，需將投影面展開(kāi)。展開(kāi)時(shí)V面保持不動(dòng)，將H面繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90，與V面展成一個(gè)平面，便得到點(diǎn)A的兩面投影圖，如圖1(b)所示。投影圖上的細(xì)實(shí)線aa稱為投影連線。在實(shí)際畫(huà)圖時(shí)，不必畫(huà)出投影面的邊框和點(diǎn)ax，圖1(c)即為點(diǎn)A的投影圖。3.點(diǎn)的兩面投影規(guī)律空間三點(diǎn)A、a、a構(gòu)成一個(gè)平面，由于平面Aaa分別與V面，H面垂直，所以這三個(gè)相互垂直的平面必定交于一點(diǎn)ax，且axaOX、aaxOX。當(dāng)H面與V面展平后， a、ax、a三點(diǎn)必共線，即aaOX。又因Aaaxa是矩形，所以axa=Aa，axa=Aa。亦即：點(diǎn)A的V面投影a與投影軸OX的距離，等于點(diǎn)A與H面的距離；點(diǎn)A的H面投影a與投影軸OX的距離，等于點(diǎn)A與V面的距離。 （a） （b） （c）圖1 點(diǎn)在兩投影面體系中的投影由此可得出點(diǎn)的兩面投影規(guī)律：（1）點(diǎn)的兩面投影連線垂直于投影軸，即aaOX。（2）點(diǎn)的投影到投影軸的距離，等于該點(diǎn)與相鄰?fù)队懊娴木嚯x，即：axa=Aa axa=Aa以上內(nèi)容屬于講稿。對(duì)年青教師而言，可以把教案寫(xiě)得詳細(xì)一些，寫(xiě)出講稿來(lái)。對(duì)于老教師可以這樣寫(xiě)：對(duì)照直觀圖和投影圖，在H和V兩投影面體系內(nèi)，講述作點(diǎn)的正投影的空間情況；分析其兩個(gè)投影之間的幾何關(guān)系及其在投影圖上的投影；介紹點(diǎn)的投影名稱及其在投影圖上的符號(hào)。從空間到平面，再?gòu)钠矫娴娇臻g。總結(jié)出點(diǎn)在兩投影面體系中的投影規(guī)律。（注意演示）二.點(diǎn)在三投影面體系中的投影（15分鐘）1.三投影面體系的建立兩面投影能確定點(diǎn)的空間位置，卻不能充分表達(dá)立體的形狀，所以需采用三面投影圖。如圖2(a)所示，再設(shè)立一個(gè)與V、H面都垂直的側(cè)立投影面（簡(jiǎn)稱側(cè)面）W，形成三投影面體系。它的三條投影軸OX、OY、OZ必定互相垂直。2.點(diǎn)的三面投影由空間點(diǎn)A分別作垂直于H、V、W面的投射線，其交點(diǎn)a、a、a即為點(diǎn)A的三面投影。空間點(diǎn)的W面投影用相應(yīng)的小寫(xiě)字母加兩撇表示，如a、b、等, 如圖2(a)所示。投影面展開(kāi)時(shí)，W面繞OZ軸向右旋轉(zhuǎn)90和V面展成一個(gè)平面，得到三面投影圖，如圖2(b)所示。OY軸在H、W面上分別表示為OYH、OYW。同樣，不必畫(huà)出投影面的邊框， 如圖2(c)所示。 （a） （b） （c）圖2 點(diǎn)在三投影面體系中的投影 （a） （b） （c）圖2.12 點(diǎn)在三投影面體系中的投影3.點(diǎn)的三面投影規(guī)律在三投影面體系中，Aaaxaaz aayO構(gòu)成一長(zhǎng)方體，由于點(diǎn)在兩投影面體系中的投影規(guī)律在三投影面體系中仍然適用，由此可得出如下關(guān)系：aaOX、aaOZ、aaYHOYH、aaYWOYW、aaX= aaZ。若把三投影面體系看作直角坐標(biāo)系，則投影軸、投影面、點(diǎn)O分別是坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面和原點(diǎn)。則可得出點(diǎn)A（x，y，z）的投影與其坐標(biāo)的關(guān)系：x=aZa=aaYH=點(diǎn)A到W面的距離A a；y=aaX=aZ a=點(diǎn)A到V面的距離A a；z= aXa= aaYW=點(diǎn)A到H面的距離Aa。由此可得出點(diǎn)的三面投影規(guī)律：(1) 點(diǎn)的投影連線垂直于相應(yīng)的投影軸，即aaOX、aaOZ。(2) 點(diǎn)的投影到投影軸的距離，等于該點(diǎn)的某一坐標(biāo)值，也就是該點(diǎn)到相應(yīng)投影面的距離。以上內(nèi)容屬于講稿。對(duì)年青教師而言，可以把教案寫(xiě)得詳細(xì)一些，寫(xiě)出講稿來(lái)。對(duì)于老教師可以這樣寫(xiě)：對(duì)照直觀圖，增加W面，建立三投影面體系。分析點(diǎn)在W面上的投影，與其他兩個(gè)投影的幾何關(guān)系，（特別是和H面投影的關(guān)系），及其在投影圖上的投影；最后總結(jié)出點(diǎn)在三投影面體系中的投影規(guī)律。注意從空間到平面。從平面到空間的演示過(guò)程，從而樹(shù)立點(diǎn)的空間概念。（注意演示） 例1 已知空間點(diǎn)A到三投影面W、V、H的距離分別為20、10、15，求作點(diǎn)A的三面投影。 （a） （b） （c）圖3 作點(diǎn)的三面投影解：畫(huà)投影軸，根據(jù)點(diǎn)到投影面的距離與坐標(biāo)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，先作點(diǎn)A（20，10，15）的兩面投影：在X軸上量取20，定出點(diǎn)aX, 如圖4(a)所示；過(guò)點(diǎn)aX作OX軸的垂線，自aX順OYH方向量取10，作出點(diǎn)A的水平投影a，順OZ軸方向在垂線上量取15，作出點(diǎn)A的正面投影a, 如圖3(b)所示。據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律，作出點(diǎn)A的第三面投影a。按aaOZ，過(guò)a作OZ軸的垂線，交點(diǎn)為aZ，并量取aZ a=aaX，得到a。也可通過(guò)45分角線確定a, 如圖3(c)所示。以上還是講稿。主要解決已知點(diǎn)的坐標(biāo)，如何作點(diǎn)的投影圖。三.兩點(diǎn)的相對(duì)位置和重影點(diǎn)（15分鐘）1兩點(diǎn)的相對(duì)位置如圖4所示，空間兩點(diǎn)的投影不僅反映了各點(diǎn)對(duì)投影面的位置，也反映了兩點(diǎn)之間左右、前后、上下的相對(duì)位置。由圖可以看出，xBxA，故點(diǎn)B在點(diǎn)A之左，同理，點(diǎn)B在點(diǎn)A之后（yAyB）、之下（zBzA）。因此，也可用兩點(diǎn)的坐標(biāo)差來(lái)確定點(diǎn)的位置。圖4 兩點(diǎn)的相對(duì)位置2 重影點(diǎn)圖5 重影點(diǎn)如圖5所示，點(diǎn)A位于點(diǎn)B的正上方，即xA=xB，yA=yB，zAzB，A、B兩點(diǎn)在同一條H面的投射線上，故它們的水平投影重合于一點(diǎn)a（b），則稱點(diǎn)A、B為對(duì)H面的重影點(diǎn)。同理，位于同一條V面投射線上的兩點(diǎn)稱為對(duì)V面的重影點(diǎn)；位于同一條W面投射線上的兩點(diǎn)稱為對(duì)W面的重影點(diǎn)。兩點(diǎn)重影，必有一點(diǎn)被“遮蓋”，故有可見(jiàn)與不可見(jiàn)之分。因?yàn)辄c(diǎn)A在點(diǎn)B之上（zAzB），它們?cè)贖面上重影時(shí)，點(diǎn)A投影a為可見(jiàn)，點(diǎn)B投影b為不可見(jiàn)，并用括號(hào)將b括起來(lái)，以示區(qū)別。同理，如兩點(diǎn)在V面上重影，則y坐標(biāo)值大的點(diǎn)其投影為可見(jiàn)點(diǎn)；在W面上重影，則x坐標(biāo)值大的點(diǎn)其投影為可見(jiàn)點(diǎn)。教案：掌握點(diǎn)的相對(duì)位置在投影圖上的投影，對(duì)看圖和畫(huà)圖都很重要。講述過(guò)程可以用坐標(biāo)的概念，還應(yīng)形象的利用上、下、左、右、前、后的位置關(guān)系。用討論的方式講述如何根據(jù)投影圖判斷空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置。重影點(diǎn)。主要講重影點(diǎn)的意義和投影符號(hào)（可采用討論方式）總結(jié)布置作業(yè)（分鐘