“角的平分線的性質”教案、一、教材的地位和作用角的平分線的性質是全等三角形知識的運用和延續，它為后面證明線段相等、角相等的幾何證明提供了一種新的、更為簡單的證明方法。本節分為兩課時：第一課時讓學生動手探究角的平分線的畫法；第二課時主要探究角的平分線的性質和判定，并在此基礎上進行簡單應用。本節課是第二課時的內容，它不僅為學生動手操作、觀察、交流等活動提供了良好的素材，同時也讓學生學習了怎樣從實際問題中建立數學模型、解決實際問題。二、教學重、難點重點：掌握角的平分線的性質和判定難點：理解性質和判定的互逆關系,并能正確運用它們解決問題三、教學目標1.知識與技能：掌握角的平分線的性質和判定，并會運用它們解決實際問題。2.過程與方法：通過讓學生經歷動手實踐、合作交流、演繹推理的過程，培養學生的動手操作能力和邏輯推理能力，提高解決問題的能力。3.情感態度與價值觀：經歷對角的平分線的性質和判定的探索過程，發展應用數學知識的意識與能力，培養學生良好的學習態度及嚴謹的科學態度。四、教學過程教學的流程圖是：（1）創引設入情新景知（2）動探手究操新作知（3）初鞏步固運新用知（4）變深式化訓新練知（5）提拓升展練新習知（6）歸布納置小作結業1創設情景，引入新知在S區有一個貿易市場P，它建在公路與鐵路所成角的平分線上，要從P點建兩條路，一條到公路，一條到鐵路，怎樣修才能使路最短？它們有怎樣的數量關系呢？S公路鐵路P在這里設計這樣一個實際問題：讓學生動手畫最短的路，從實際問題中抽象出點到直線的距離，從而第一次建立數學模型；然后以“這兩條最短的路有怎樣的數量關系”引入本節課的內容，由此讓學生感知數學與實際生活是緊密相連的。2動手操作，探究新知在這個環節中，安排了兩個活動。活動一：（1）你能否通過折疊的方式將AOB平分呢？（2）你能否進行第二次折疊，折出一個直角三角形（使第一條折痕為斜邊）呢？（3）將折疊的圖形展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕？你能得出什么結論？（4）這一結論，你能用數學知識來證明嗎?讓學生按這兩個步驟進行折紙活動，展開所折的圖形，觀察到：第一次折疊所得折痕是角的平分線，另兩條折痕則是角的平分線上的點到角的兩邊的距離。可以看出這兩個距離是相等的，同時由于不同的學生在第一條折痕上所取的點的位置不同，可以猜想出：角平分線上任意一點到角的兩邊的距離都是相等的。隨后，引導學生用所學知識對猜想進行證明。在折紙活動中，應重點關注：學生能否折出以第一條折痕為斜邊的直角三角形；而在證明的過程中，應重點引導學生結合圖形分析猜想的已知、求證。以及得出性質之后，用符號語言加以表示。隨后安排這樣一組判斷題，將性質的條件進行刪減:第一題只有角平分線，第二題只有點到直線的距離；使得圖形看似相似，實則不同，目的是讓學生明確性質的兩個條件缺一不可，從而加深對性質的理解。練習一：判斷：（1） 如圖1,OP是AOB的平分線，則PE=PF（）圖1FEOBAP（2） 如圖2,PEOA于E，PFOB于F，則 PE=PF（）圖2FEOBAP（3） 在AOB的平分線上任取一點Q，點Q到OA的距離等于3cm,則點Q到OB距離等于3cm（）活動二：到這兒,學生可以利用角的平分線的性質解釋“為什么引例中兩條最短的路相等”。然后改變引例問題的情景：如圖3，(1)要在S區建一集貿市場，使它到公路、鐵路的距離相等，這個集貿市場應建于何處? (2)在(1)的條件下,集貿市場要離公路與鐵路交叉處500米，這個集貿市場應建于何處?（在圖上標出它的位置，比例尺為1:20000）。S公路鐵路圖3學生利用所學知識可以畫出集貿市場的位置，并且會發現可以建無數個滿足條件的集貿市場，而這些集貿市場都建在公路與鐵路所成角的平分線上。從而得出另外一個猜想：到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上。得到這個猜想后，應同前面性質的證明一樣重點引導學生結合圖形寫出猜想的已知、求證，讓學生獨立完成證明，從而得出判定：到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。緊接著設計第二組判斷題，在第一組判斷題的基礎上，將條件進行改變，目的是讓學生鞏固角的平分線的判定，感受性質與判定的區別與聯系。練習二：判斷：圖4FEOBAP（1）如圖4，若PE=PF，則OP是AOB的平分線。( )（2）如圖5，若PEOA于E，PFOB于F，則OP是AOB的平分線。( )圖5FEOBAP（3）已知Q到OA的距離等于3cm, 且Q到OB距離等于3cm，則Q在AOB的平分線上。（）3初步運用，鞏固新知在引例的基礎上進一步改變問題的情景：如圖，若要在S區建一個集貿市場，使它到兩條公路和一條鐵路的距離都相等，請問集貿市場應建于何處？鐵路S公路公路學生利用前面所學的知識分析可以知道：在S區集貿市場的位置是其中兩條角平分線的交點，那么點P到三邊的距離一定相等嗎？從而引出例1。例1如圖，ABC的角平分線BM、CN相交于點P。（1）求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等。（2）求證：點P在BAC的平分線上NMBCAP在這個例題中,由于結論涉及到點到直線的距離，而學生又很少接觸到作輔助線的問題，因此，首先引導學生過點P向三邊作垂線段，然后利用角的平分線的性質可以證出：PD=PE，PF=PE，從而得出點P到三邊的距離都相等。接著提出：點P在BAC的平分線上嗎？三角形的三條角平分線有什么關系呢？由于PD=PF，因此點P在BAC的平分線上，那么三角形的三條角平分線也就相交于一點。4變式訓練，深化新知將例題進行變式：變式1 如圖, 點P是ABC的兩個外角平分線，BM、CN的交點，求證：點P在BAC的平分線上。PBCANM變式2 如圖, ABC的一個外角的平分線BM與BAC的平分線AN相交于點P，求證：點P在ABC另一個外角的平分線上。PBCAMN5提升練習拓展新知（1）拓展：在活動三的基礎上，將問題進一步開放：如圖，若要建一個集貿市場，使它到兩條公路和一條鐵路的距離都相等，請問集貿市場應建于何處？公路鐵路公路在活動三中，學生已經能夠在S區找到集貿市場的位置，那么此題中符合條件的集貿市場只有這一個嗎？通過例題和變式的學習，學生不難發現還有另外三個滿足條件的點，所以這個集貿市場可以建在這四個點所在的位置。（2）課外探究: 為了進一步培養學生綜合運用知識解決問題的能力，設計了這樣一個探究活動：如圖：已知方格紙中每個小方格都是相同的正方形，AOB畫在方格紙上，OP是AOB的平分線。若將一個直角三角板的直角頂點放在OP上任意一點，并使兩直角邊與角的兩邊相交。請問直角三角板的直角頂點與交點的距離有怎樣的關系？請說明理由。AOB P6歸納小結，整理反思（1）所學知識:角的平分線的性質和判定（2）數學方法:過角的平分線上的點向角的兩邊作垂線段是解決有關角的平分線的問題時常用的方法7布置作業（1）必做題教材：第23頁第4、5題；（2）選做是前面的課外拓展。教案說明本節課的內容是人教版義務教育課程標準實驗教科書數學八年級上冊第十一章第三節“角的平分線的性質”（第二課時），下面將從以下幾個方面加以說明：1數學本質：本節課圍繞現實生活中的實際問題采用“創設問題情境建立模型解釋、應用與拓展”的模式展開教學活動，讓學生經歷角的平分線的性質和判定的形成與初步應用過程，從而更好的理解性質和判定的區別與聯系，增強應用數學知識的意識與解決實際問題的能力。2教學目標定位：本節課的重點是掌握角的平分線的性質和判定，而理解性質和判定的互逆關系，正確運用它們解決問題是本節課的難點。因此，我在教學中設計了三個活動，讓學生通過實際問題去發現數學問題，再利用已學知識加以證明，最后用這些數學知識回歸到解決實際問題中去。在活動中，學生通過相互交流、探討，經歷動手操作、觀察、交流、歸納等過程，幫助學生積累數學活動的經驗，發展有條理的思維及初步的演繹推理能力。同時在活動中，為學生留有探究和交流的空間，有利用于改變學生的學習方式，變被動學習為主動學習，提高學習的積極性。 因此，根據以上分析及課程標準的要求，我將從知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀三個方面確定教學目標。知識與技能掌握角的平分線的性質和判定，并會運用它們解決實際問題。過程與方法通過讓學生經歷動手實踐、合作交流、演繹推理的過程，培養學生的動手操作能力和邏輯推理能力，提高解決問題的能力。情感態度與價值觀經歷對角的平分線的性質和判定的探索過程，發展應用數學知識的意識與能力，培養學生良好的學習態度及嚴謹的科學態度。3教材的地位和作用：本節課是在學習了全等三角形及角的平分線的畫法后，進一步探究有關角的平分線的性質。這一內容不僅是全等三角形知識的運用和延續，更為后面證明線段相等、角相等的幾何證明提供了一種新的、更為簡單的證明方法。性質和判定是一種互逆關系，教學時引導學生分析它們的題設、結論，通過比較，認識它們的區別和聯系，為今后學習互逆命題打下基礎。七年級下冊學生在畫三角形的三條角平分線時發現它們是相交于一點的，本節課通過例題的學習從理論上給出了證明。同時提供了一種證明三線共點的方法，為九年級學習內切圓的圓心（也就是三角形的內心）作了鋪墊。4教學診斷分析：（1）在折紙活動中，學生在折以第一條折痕為斜邊的直角三角形時遇到很大困難，原因是他們不了解以第一條折痕為斜邊折的直角三角形是為了產生角的平分線上的點到角的兩邊的距離，為猜想出性質作鋪墊。因此，這里我安排分組活動，讓學生在活動中相互交流，從而尋找正確的第二次折疊的方法。(2) 判定引入的問題學生很容易回答，但要從中發現判定這一結論則比較困難。 由于受性質的影響，同時也不容易從題目中獲取有效的信息，因此在分析條件時會出現漏掉部分條件或條件、結論顛倒。針對這一情況，在此設計了“判定引入與引例在條件、結論方面有什么不同”這一問題，鼓勵學生在組內相互探討、交流，以便在交流中發現判定引入的條件應有兩個“到公路、鐵路的距離”及“距離相等”，為得出判定創造條件，通過比較也讓他們初步感悟性質與判定的區別與聯系，為突破難點打下基礎， （3）例題引入中，學生很容易畫出滿足條件的集貿市場的位置，而利用性質還是判定來解釋畫圖的依據大部分學生容易出現錯誤，原因是他們不能從題目中獲取相關信息，以及對性質和判定的理解不透徹。所以更要引導學生相互交流共同探討，尋找出正確畫圖的依據。在例題的證明中，由于結論涉及到點到直線的距離，而條件中又沒有給出，因此應過交點向三邊作垂線段，從而利用性質來進行證明。這是學生第一次接觸輔助線，接受起來比較難，所以要適時地引導學生分析為什么要作輔助線、怎樣作輔助線、如何敘述作輔助線的過程，尤其重點關注為什么要作輔助線的問題，這也是學生最難理解的。5教法特點及預期效果分析：針對八年級學生的知識結構和心理特征，本節課采用啟發、引導式的教學方法，體現以教師為主導、學生為主體的新的課堂模式。以“問題”方式引導學生的活動和思考，以“變式”的形式使學生體會相關知識之間的聯系和整體性。具體如下：（1）問題情境：以“怎樣修到公路、鐵路距離最短的路”這一實際問題為切入點，激發學生的求知欲；接著在引例的基礎上以建集貿市場為主線，由在S區找出到一條鐵路和一條公路距離相等的點，進而引申出到兩條公路和一條鐵路距離都相等的點；最后拓展到找出所有滿足到兩條公路和一條鐵路距離相等的點。隨著情境的變化，問題層層加深，學生在熟悉的知識背景下逐一將問題解決，使得他們的思維螺旋上升。（2）活動探究：由活動一的折紙活動探究出性質；將引例的條件、結論互換得到活動二，從而探究出判定；最后在活動二的基礎上增加一條公路得到活動三，它是對性質和判定的綜合運用。通過學生的活動和探究，讓他們逐步學會如何從實際問題中建立數學模型，增強應用數學的意識。（3）變式訓練：例一是對性質和判定的綜合運用。對例題進行變式：將兩條內角平分線變為兩條外角平分線相交或一條外角、一條內角平分線相交，相對應的結論還成立嗎？這樣既能使整節課的知識體系完整，又能讓學生掌握解決這一類問題的方法。通過一系列的問題設計，使得本節課的各種目標得以有效達成，學生在輕松、快樂的課堂氛圍中自主探索新知，這樣使得每位學生在本節課中都能得到不同的收獲。最終實現“人人學有價值的數學、人人都能獲得必需的數學以及不同的人在數學上都能得到不同的發展”。點評李捷老師運用讓學生動手畫圖、折紙，合作探索、交流等多種學習方式，以激發學生興趣，調動學習積極性，引發數學思考為出發點設計和組織本節課的教學，讓學生經歷了觀察、實驗、猜測、推理、驗證等活動過程。整節課在師生積極參與、交往互動、共同發展的過程中進行，以下特色和亮點，可供我們學習借鑒：1教學目標明確，符合課標、教材要求和學生實際李捷老師選擇的教學內容和設計的問題，能緊緊圍繞課程標準和教材對角平分線性質和判定的本質要求，將教材中的折紙問題用引例（貿易市場問題）鋪墊、將教材中的集貿市場建設問題細化為兩問等，充分考慮了學生的實際水平；在解決S區域內集貿市場建設問題的基礎上，讓學生進一步思考“如果沒有S區域的限制，市場應建在何處？”等，充分體現了問題要求的層次性，面向全體學生。此外李捷老師對每個教學環節的學習和操作要求都非常清晰明確，使學生明白要研究和探索的問題，有力提高了學習活動的可操作性和有效性。2情境創設合理，提高學習興趣和探究欲望李捷老師充分利用教材資源，根據教材中的集貿市場建設問題，改編了已有市場建路、有三條路時集貿市場應建在何處等問題，將教學內容用系列的問題串聯，既反映數學本質，又使這節課有一個好的形態、好的結構，讓學生在不斷地探索和解決問題中學習，提高了教學的有效性和學習興趣。3合作交流有效，有助經驗共享和問題本質理解李捷老師這節課中，有兩處比較有效的師生合作交流，一處是在折紙活動后，學生按要求折出角平分線和角平分線上的點到角兩邊的“距離”，然后老師引導學生交流，觀察兩次折疊后形成的三條折痕，能得出什么結論？學生輕松得出：“距離相等”。隨后老師示范，說明折疊時取點的隨意性，取不同點時，都能得出“距離相等”這個同樣的結論，由此讓學生感悟：角平分線上的任意一點到角兩邊的距離相等。緊接著又采用問題：角平分線上有多少個點？引導學生思考并感受，角平分線上有無數個點，靠折紙不可能取遍所有點，體會用數學推理的方法證明猜想成立的必要性。當然這里如果老師能讓學生相互間交流折紙時取點是否相同，由此體會取點的任意性，會比老師再行示范折疊更加有效，并且能充分體現學生的主體性和合作的必要性。另一處有效的交流是在學生畫出S區內到兩條公路和一條鐵路距離相等的集貿市場位置，并證明三角形兩條角平分線的交點到三角形三邊的距離相等之后，李捷老師引導學生交流S區內到兩條公路和一條鐵路距離相等的集貿市場位置的不同畫法，通過討論，明確了三角形的三條角平分線相交于同一點；畫到三角形三邊距離相等的點只需畫兩條角平分線的交點等。這樣的交流，能使學生對問題的本質有深刻的理解。4及時歸納提煉，達到基礎知識的落實和基本能力的提升李捷老師在這節課的每一個環節上，都能及時引導學生進行有