附錄中文譯文 對 薄 的 橫向各同性彈性層軸對稱接觸 的漸近解 摘要 對剛性球與一個薄的，橫向各同性彈性層正常接觸的問題進行研究，薄的彈性層建立在剛性基礎上。無論是在極限情況下，其中的接口可以是理想的粘結或無粘結摩擦，并被認為是用于球形壓頭下的接觸壓力和接觸補片的半徑近似解。通過用有限元法預測和比較這些近似解，來確定解決方案的準確性。 關鍵詞 ：固體潤滑劑 ；各向異性涂層 ；有限元法 ；接觸壓力 1 引言 表面涂層已成為廣泛使用在工程領域，由于它們提供了許多潛在的好處。這些涂層可以是各向同性或各向異性的性質，通常被用于提高 接觸特性及改進的配合部件的摩擦性能。表面涂層最普遍的應用是在運行于真空或低壓環境中的一些滾動元件或滑塊軸承 1。涂層通常是非常薄層軟金屬（如金，銀， 鋅及鉛 ）層固體（如二硫化鉬和硼氮化物）或聚合物（例如，聚四氟乙烯，聚酰胺復合材料和酚醛樹脂和環氧樹脂），其被沉積到襯底上。當固體潤滑劑的涂層被施加到基材上時，接觸應力和位移場顯著從赫茲接觸輪廓的半空間內偏離。這是設計時的顯著問題，因為沒有可用于分析三維涂層表面接觸方法，所以即使簡單的幾何形狀封閉形式也沒很好的解決方案。 回顧文獻，許多研究人員調查解析與各向 同性彈性層 2-12 軸對稱接觸得問題。各向異性涂料展示更復雜的接觸特性，不是因為他們定向的依賴各向同性彈性層。 Ovaert 13 分析了橫觀各向同性固體潤滑膜的剛性橢球壓頭的打孔問題。 Kuo 和科爾 14 通過漢克爾方式取得橫觀各向同性多層介質數值解變換。 Lovell和洛弗爾以及 Khonsari 16采用有限元方法來研究具有彈性基板上的橫向各向同性彈性層接觸的彈性球法向應力和切向的摩擦特性。為了更好地了解層狀介質的接觸，本文的重點是剛性的，無摩擦的橫觀各向同性層上剛性基板的軸對稱 縮進。彈性層和剛性基板之間的界面上被假定為理想的粘結或無粘結摩擦。所采取的方法是延續約翰遜橫觀各向同性彈性涂料的“平面截面后仍保持平面壓縮”的假設2。 2 問題描述 在考慮剛性的基礎上，其中旋轉對稱層的軸是垂直于所述層和所述襯底之間界面的無限橫觀各向同性彈性層。在所述層和襯底之間的界面將被假定為理想的粘結或無粘結摩擦。一個剛性的球形壓頭穿透層法線方向的自由表面，在表面壓頭與層之間的界面被視為無摩擦。近似解將取決于該層的位移場和應力場。這個問題是軸對稱球形壓頭大約含有多少垂直于橫觀各向同性層和基礎之間界面 的質心線。 2.1 控制方程 圓柱坐標 系（ r ， ， z）與相關聯的正交向量基 zr eee ， ，它定義在該層自由表面的平面，并與對稱軸以及 z 軸一致。如圖所示 1，在其引用的位置，也就是說，之前的壓痕彈性層占據 0 Z z = 0 處，并定義其自由表面區域之間的界面層與剛性基層在 z =t 萬噸。該問題的對稱性決定了位移場 u，且具有代表性的是zzrr eueuu ，同時標量分量ru和zu與是相互獨立的： 假設變形小， | | u | | 1，并且它遵循從方程（ 1 ），該位移具有代表性）（ rzzrrzzzzzrrrr eeeeeeeeee ，標量分量 rr， zz 和 rz，這些是在給定位移場條件的標量分量。 因此，應力場具有代表性的 ）（rzzrrzzzzzrrrr eeeeeeeeee ，與標量分量 rr， zz 的指向和 rz 是由給定應變場的標量分量的計算 其中 C11， C12， C13， C33 和 C44 是為橫觀各向同性彈性層的五個獨立的彈性常數。最后，假設自身重量和物質加速度場可以忽略不計，所以平衡方程 0 只有兩個非平衡的標量分量。 第三個標量平衡方程是平衡滿足時。 2.2 邊界條件 在變形的結構中，彈性層和剛性球形壓頭之間的接口是一個球形帽，具有一個圓形的正交投影，或接觸印痕，（參見圖 1）這個接口被假定為無摩擦，使邊界條件： 其中 w（ r）是球形帽的公式，這樣，如果 R 是球形壓頭和 w* W（ 0）時壓痕的深度半徑，則 如果該彈性層是相對于壓頭很薄， 且半徑 R t，瓦特 tw* ,則它遵循 a R 并且 222 2r-1r-1 RR ，當所有 r a 時。因此，對于薄彈性層的壓痕更新方程（ 7）由下式給出 R2r-r 2* ； （ 7） 注意，接觸印痕半徑是關系到球面壓頭半徑 R 和壓痕深度 W *。要求當 W（ A） = 0 時，它對于一個薄的彈性層的公式如（ 8）。 ,2 r-ar 22 R R2a2* . (9) 該壓痕深度寬 W*比彈性層厚度 t 少 ,可以由不等式條件表示 : t2ta R （ 10） 該彈性層將被假定為從現在開始要薄，并且近似表達式方程為（ 9），壓痕輪廓和深度將用于接觸補片的外面，在彈性層的自由表面牽引是無邊界。 00zrz0zzz ，ar （ 11） 邊界條件方程（ 6），（ 9）和（ 11）在自由表面處 z = 0 處，都是相似的考慮以所有情況。用于彈性層和剛性基礎之間的界面為 z= t 時，將要考慮的是該接口在理想化的情況下是理想粘結，其相應的邊界條件是 0uu tzztzr ， ，0r （ 12） 這將被稱為鍵合的情況。其他理想化將要考慮的是這種情況，其中界面彈性層和剛性基礎之間無粘結和摩 擦，從而使相應的邊界條件是 ,0tzrz ， 0u tzz ， ，0r （ 13） 這種將被稱為無粘結情況。 3，分析解決方案 約翰遜假設軸對稱變化 2說：“飛機的部分壓縮后仍然面壓縮”意味著這是 ru 與 z 無關： ）（ ruu rr ； （ 14） 首 先，注意，該假設意味著rzrz uc44 ； （ 15） 這意味著壓頭之間的界面在彈性層中，零摩擦邊界條件式（ 6） 1 和正常位移邊界條件方程（ 6） 2 不能同時滿足。優先此處是考慮到正常的位移邊界條件。在另一方面，零摩擦邊界條件式（ 13） 1 是隱含由零正常位移邊界條件式（ 13） 2。 給定了位移場的假定形式后，它不可能找到平衡方程的解，方程（ 4）和（ 5）滿足所有的邊界和內部連續條件。因此，該解決方案在下面衍生，它們近似值可能非平衡或一些邊界以及內部連續 條件可能不會滿足。不滿足條件的一些誤差程度明確識別并將指示給予有限元分析比較。 3.1 理想情況下綁定的接口 用于粘合的情況下，徑向位移邊界條件式（ 12） 1 和假設方程（ 14）意味著徑向位移消失無處不在的彈性層： 0ur ， 0rr ， ，0r ； t0z ， （ 16） 注意的是軸向位移的邊界條件方程（ 6） 2 和（ 12） 2 及平衡方程方程（ 4）和 （ 5）與 此結果不兼容，也就是說，它們不能同時滿足。因此，判定為滿足軸向位移的邊界條件為平衡方程。 假定應變分量zz是通過均勻彈性層的厚度 . )(zz rzz ； (17) 它遵循由應變 - 位移關系式（ 2） 3， 軸向位移的邊界條件方程（ 6） 2 和 （ 12） 2 和牽引無邊界條件式（ 11），其 因此，該球形壓頭的下方，該組件壓力由下式給出； 然而，牽引 - 自由表面之 下，應力場消失： 0 ， ，ar （ 20） 這種近似解滿足所有邊界除摩擦壓條件（ 6） 1 ，該解決方案對應的不是一個理想的結合壓頭和彈性層之間的界面。另外非平衡的應力場和剪切牽引 rz 是在不連續的整個表面R = A 上。 壓頭之間的接觸壓力 P（ r）的彈性層為 t2 r-a-r22330zzz RCP （ 21） 并與由下式給出的總壓頭載荷 P； drrr2 a0 PP （ 22） 如下的接觸補片的半徑是與壓頭通過加載； 4133t4a CPR (23) 有趣的是注意到，接觸壓力的分布與接觸面半徑的這個近似解為獨立四五個彈性常數； 3.2 無粘結，無摩擦界面 在制定的近似解解析時，應選擇其中的邊界條件，以滿足在某些特別的區域所得到的值。當然，最終的目的，是獲得一個模型，它提供的預測，是最接近系統的響應。鑒于牽引邊界在方程中給出的條件（ 6） 1 及（ 13） 1，我們將假定為一個無粘結的材料，根據剪應 力分量 rz 壓頭是可以忽略不計的。 0rz a0r ， （ 25） 它遵循由式（ 2） 3 和軸向位移邊界條件方程（ 6） 2，（ 13） 2 是； ）（ z-tt2 r-au 22z R a0r ， （ 26） 結合方程（ 24）和（ 26），（ 2）和（ 3），把以上結果代入式（ 4）給出的平衡方程為tcrc-u-drdurdrudr11313rr2 r22R （ 27） 一般的解決這個歐拉 - 柯西方程為 tc8c-rru 111321r RBB a0r ， （ 28） 那 ru 等于零在 r=0 和 B2=0 的情況下。將方程（ 26）和（ 28）代入（ 2）和（ 3），并要求這里的 zz =0 時，當 r a 然后給出： 這種近似解滿足所有邊界條件為 0 r a 時。然而平衡條件式（ 5）不成立，是因為位移場方程（ 26）和 （ 28）是在假定方程（ 24）不一致 ，此外， 0 r a 為獨立方程的一個近似解，此領域之外的彈性層響應的接觸壓力 rP由下式給出； 221121333110zzzr r-atc2c-cc-RP （ 30） 總壓頭的載荷 P 由公式（ 22）給出，相關的壓頭負載由該接觸結合半徑得 41132331111c-ccRtpc4a （ 31） 需要注意的是，在這種情況下，接觸壓力分布和接觸面半徑是獨立的彈性常數 44c 。 4 結果與 討論 對于提出粘結和無粘結分析的解決方案在第 3.1 和 3.2，但更重要注意的是有適用性的范圍是有限。這兩種近似解決方案只適用于可壓縮，橫向各向同性材料。為了滿足這些條件，材料的剛度矩陣（見式（ 3）必須是穩定和正定： 當上述不等式的左邊側接近為零時，材料變得不可壓縮，同時分析解決方案將變得非常不準確。 4.1 對于降低各向同性材料的解決方案 上面導出的結果可以通過以下方式獲得 初始 近似 的準確性，檢查對于各向同性的情況下，降低溶液的涂料。對于各向同性材料，橫觀各向同性中出現的本方程彈性常數 式（ 3）減少到 其中， E 是楊氏模量，是泊松比。它可以認為，對于各向同性的彈性層近似壓力分布公式（ 21）用于粘合的情況下，與壓力分布公式（ 30）用于在粘合的情況下。 這些分別都是由賈法爾 11派生的近似結果。近似解方程（ 21）和（ 23）用于結合情況，而方程（ 30）和（ 31）用于在粘合的情況下，兩者可以看作是賈法爾的解決方案擴展到橫觀各向同性彈性層。如將要討論下面的部分，方程（ 21）和（ 30）也將與有限元分析預測結果。 4.2 有限元分析比較 商用有限元分析軟件 ABAQUS6.3.1 用于預測的應力和位移，用于解決橫 觀各向同性彈性層中的以上問題。二維軸對稱元件被用于彈性層，用來解析球形壓頭剛性表面。該無限彈性層被建模為一個圓柱體，其半徑為0r= 1 毫米，厚度 t=5 微米。而壓頭的半徑 R=8 毫米。從而 200tr0 ； tR1600 （ 38） 并且從方程（ 10）得出該接觸補丁半徑被限制為 6.56ta （ 39） 盡管人們不會準確的 認為 預測前模型的印跡半徑值接近這一限制 值 。網格 5 uM0.5uM中 大約有 2000 個元素內的彈性層。 對于 NbSe2 橫觀各向同性彈性常數有 C11=106 GPa，C33=54 GPa， C12=14 GPa， C13=31 GPa 和 C44=19.5 GPa。 最大接觸壓力會發生在中心 r = 0 的結合處，在如圖 2 所示，預測 P（ 0）為 這圖（ 2）模型預測超過了最大接觸壓力0P,有限元預測作為無量綱的函數接觸面半徑為 a/噸。 圖 3，接觸壓力分布在粘結和無粘結的情況下，如圖通過分析模型，并在 a/t=10 進行有限元分析預測。 把近似解的最大接觸壓力方程（ 21）和（ 30）進行比較，如果有限元分析接觸印痕半徑的值不同。則結果0P的無量綱接觸面半徑比 a/t 也不同。其中對于任何有限元分析的結果是粘結或無粘結的情況，適當的對于這兩種情況在結合和未結合的情況下，把那些好的方案模型進行有限元分析時預測得到的 a/t 值比 5 更大，從接觸壓力分布的近似解方程（ 21）和（ 30）中用有限元素分析示圖 3 中得出 一個固定的接觸印痕半徑，其比值 a/ t 為 10。檢查該圖中可以得出的結論是近似 解解析與對應的有限元分析有較好的一致性。 5 總結與結論 把剛性球放到一個薄的，橫向的剛性基片上時對各向同性彈性層進行問題分析。該彈性層和剛性基礎之間的接口被假定為理想的粘結或無粘結的摩擦。約翰遜的假設的推廣使用得出近似解，有些用有限元分析來確定它們的相對精度，并進行結果比較。從分析結果以及它們相對于有限元分析的結果來看，得到以下結論。 粘結和無粘結的近似解用于減少到賈法爾的解決方案極限的各向同性彈性層。 在結合情況下的近似 解逼近有限元分析時，其預測作的接觸半徑將增大。 對于無粘合的情況下，基于微不足道的剪應力上假設的近似解與有限元的計算結果吻合良好。 參考文獻 1 M.R.洛弗爾， M.M.Khonsari， R.D.馬蘭戈尼 .為二硫化鉬涂層球軸承的摩擦分析：三維有限元分析 .ASME .賽報 ,1997,11(9):754-763. 2 K.L.約翰遜 .接觸力學 .英國劍橋：劍橋大學出版社， 1985. 3 I.N. Sneddon.傅立葉變換 .紐約：麥格勞希爾， 1964. 4陳 W.T.應力和位移的層狀彈 性介質詮釋的計算 J.工程科學， 1972， 9 ： 775-800. 5 W.T.有機化學， P.A.恩格爾 .沖擊和接觸應力分析多層介質 .詮釋固體力學，1972,8:1257-1281. 6 MJ Matthewson.薄涂層符合軸對稱接觸 J.固體報， 1981,2（ 9）： 89-113. 7 V.M.亞歷山德羅夫 .關于彈性和數學物理理論的一些積分方程的近似解 .數學機甲 ,1967,