第九講 19世紀的幾何與分析I,幾何學的變革 分析的嚴格化,幾 何,現實空間與思維空間 微分幾何 非歐幾何 射影幾何 統一的幾何 公理化方法,平面曲線理論17世紀基本完成,微分幾何,惠更斯(荷, 1629-1695),1673年惠更斯(荷, 1629-1695)：漸伸線、漸屈線,洛比塔(法, 1661-1704),1671年和1686年牛頓和萊布尼茨：曲率、曲率半徑 1691年和1692年約翰伯努利(瑞, 1667-1748) ：曲線的包絡 1696年洛比塔(法, 1661-1704)的無窮小分析完成并傳播了平面曲線理論,18世紀的空間曲線、曲面理論,微分幾何,克萊羅(法, 1713-1765),1697年約翰伯努利(瑞, 1667-1748)提出的測地線問題 1731年克萊羅(法, 1713-1765)關于雙重曲率曲線的研究：弧長、曲率,微分幾何,1760年歐拉(瑞, 1707-1783) 關于曲面上曲線的研究：曲率、繞率，建立了曲面理論,蒙日(法, 1746-1818),1771年歐拉(瑞, 1707-1783)關于可展曲面，1771和1775年蒙日(法, 1746-1818)關于可展曲面與直紋面 1795年蒙日(法, 1746-1818) 關于分析的幾何應用的活頁論文借助微分方程對曲面族、可展曲面、直紋面做深入研究,蒙日: 1792年任法蘭西共和國海軍部部長, 簽署了處決路易十六的報告書, 1800年任元老院議長, 1808年封爵, 波旁王朝復辟后被革職 1794年組建巴黎綜合工科學校 , 1795年設立巴黎高等師范學校 培養一批優秀學生: 泊松、劉維爾、傅里葉、柯西,平行公理的研究(公元前3世紀至1800年),歐氏幾何,歐幾里得,普萊菲爾(蘇格蘭, 1748-1819),勒讓德(法, 1752-1833),若一直線落在兩直線上所構成的同旁內角和小于兩直角, 那么把兩直線無限延長, 它們都在同旁內角和小于兩直角的一側相交.,勒讓德(法, 1752-1833) 幾何學原理：這條關于三角形的三個內角和的定理應該認為是那些基本真理之一。這些真理是不容爭論的，它們是數學永恒真理的不朽的例子。(1832),1733年薩凱里(意, 1667-1733)歐幾里得無懈可擊,歐氏幾何,非歐幾何,1766年蘭伯特(法, 1728-1777)平行線理論不認為銳角假設矛盾, 認識到如果一組假設不引起矛盾, 就提供了一種可能的幾何,1763年，克呂格爾(德, 1739-1812)第一位對平行線公設是否能由其它公理加以證明表示懷疑的數學家,1820年F鮑約(匈, 1775-1856): “我經過了這個長夜的渺無希望的黑暗, 在這里埋沒了我一生的一切亮光和一切快樂,或許這個無底洞的黑暗將吞食掉一千個猶如燈塔般的牛頓, 而使大地永無光明。”,非歐幾何,1813年高斯(德, 1777-1855)：非歐幾里得幾何,1832年J鮑約(匈, 1802-1860)絕對空間的科學,幾何學上的哥白尼,1826年羅巴切夫斯基(俄, 1792-1856)簡要論述平行線定理的一個嚴格證明,羅巴切夫斯基(蘇聯, 1951),非歐幾何,羅巴切夫斯基(俄, 1792-1856)，喀山大學教授、校長 1815年著手研究平行線理論，試圖給出平行公設的證明 1826年在物理數學系會議宣讀簡要論述平行線定理的一個嚴格證明 1829年論文幾何學原理在喀山大學通報全文發表 直至羅巴切夫斯基去世的30年內，沒能贏得社會的承認和贊美,鮑約(羅馬尼亞, 1960),非歐幾何,鮑約父子之墓,內蘊幾何，流形曲率,1854年黎曼(德, 1826-1866)關于幾何基礎的假設,非歐幾何,非歐幾何,1846年進入哥廷根大學專修語言和神學 1847-1848年到柏林大學, 進入數學領域 1849-1851年在哥廷根大學, 取得博士學位, 學位論文“單復變函數一般理論基礎” 1854年講師職位講演: 關于幾何基礎的假設, 1857年副教授, 1859年教授 1862年得肺結核, 1866年在意大利逝世 1876年出版黎曼全集(發表論文18篇, 遺稿12篇) 偉大的分析學家：復變函數論、阿貝爾函數論、超幾何級數與常微分方程、解析數論、實分析、幾何學、數學物理、物理學,黎曼(德, 1826-1866),“ 黎曼是一個富有想象的天才, 他的想法即使沒有證明, 也鼓舞了整整一個世紀的數學家.”,模型與相容性,1868年貝爾特拉米(意, 1835-1899),非歐幾何,曳物線,1871年克萊因(德, 1849-1925),1882年龐加萊(法, 1854-1912),非歐幾何,克萊因-龐加萊圓,蒙日(法國, 1953),1803年卡爾諾(法, 1753-1823)的位置幾何學,卡爾諾(法國, 1950),1799年蒙日(法, 1746-1818)的畫法幾何學,射影幾何,早期開拓者: 德沙格(法, 1591-1661), 帕斯卡(法, 1623-1662),綜合方法,對偶原理,1822年龐斯列(法, 1788-1867)的論圖形的射影性質,射影幾何,代數方法,射影幾何,射影幾何,所謂幾何學，就是研究幾何圖形對于某類變換群保持不變的性質的學科，或者說任何一種幾何學只是研究與特定的變換群有關的不變量。,1872年克萊因(德, 1849-1925)的愛爾朗根綱領,統一的幾何學,1865年進入波恩大學(建于1786年)學習生物 1866-1868年普呂克(德, 1801-1868)的博士 1869-1886年: 哥廷根大學、柏林大學、普法戰爭、埃爾朗根大學、慕尼黑工業大學、萊比錫大學、哥廷根大學 克萊因使哥廷根這座具有高斯、黎曼傳統的德國大學更富有科學魅力，吸引了一批有杰出才華的年青數學家，使之成為20世紀初世界數學的中心之一,愛爾朗根綱領,統一的幾何學,克萊因：“音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質生活，但數學能給予以上的一切。”,幾何學的公理化,1899年希爾伯特幾何基礎,選擇和組織公理系統的原則,希爾伯特(德, 1862-1943),“建立幾何的公理和探究它們之間的關系，是一個歷史悠久的問題；關于這個問題的討論，從歐幾里得以來的數學文獻中，有過難以計數的專著，這問題實際就是要把我們的空間直觀加以邏輯的分析。” 本書中的研究，是重新嘗試著來替幾何建立一個完備的，而又盡可能簡單的公理系統；要根據這個系統推證最重要的幾何定理，同時還要使我們的推證能明顯地表出各類公理的含義和個別公理的推論的含義。”,分析的嚴格化,分析的算術化 實數理論 集合論,分析的算術化,分析：關于函數的無窮小分析 問題：第二次數學危機 核心：函數、無窮小 貢獻：柯西(法, 1789-1857 ) 分析教程(1821) 無窮小分析教程概論(1823) 微分學教程(1829) 魏爾斯特拉斯(德, 1815-1897) -語言 “現代分析之父”,希爾伯特（德，18621942年）：“魏爾斯特拉斯以其酷愛批判的精神和深遽的洞察力，為數學分析建立了堅實的基礎。通過澄清極小、函數、導數等概念，他排除了微積分中仍在涌現的各種異議，掃清了關于無窮大和無窮小的各種混亂觀念，決定性地克服了起源于無窮大和無窮小概念的困難今天分析達到這樣和諧、可靠和完美的程度，本質上應歸功于魏爾斯特拉斯的科學活動。”,函數,初等函數,狄里克雷函數,處處不可微的連續函數,解析函數,1837年狄里克雷(德, 1805-1859),1817年波爾查諾(捷, 1781-1848)定義了導數、連續 1821年柯西(法, 1789-1857)分析教程定義了極限、連續、導數,算術化,1854年黎曼(德, 1826-1866)定義了有界函數的積分 19世紀60年代魏爾斯特拉斯(德, 1815-1897)提出-語言 1875年達布(法, 1842-1917)提出了大和、小和,1817年波爾查諾(捷, 1781-1848)提出“確界原理” 1817年波爾查諾和19世紀60年代魏爾斯特拉斯(德, 1815-1897)提出“聚點定理” 1821年柯西(法, 1789-1857)提出“收斂準則” 19世紀60年代魏爾斯特拉斯提出“單調有界原理” 1872年海涅(德, 1821-1881)和1895年波萊爾(法, 1871-1956)提出“有限覆蓋定理”,實數理論,1872年戴德金(德, 1831-1916)提出“分割理論” 1892年巴赫曼(德, 1837-1920)提出“區間套原理”,波爾查諾 (捷克斯洛伐克，1981）,實數理論,1834年進入波恩大學學習法律與商業，放棄法學博士候選人 1839-1940年成為古德曼(德, 1798-1852)的學生 1841-1856年在中學任教, 開展橢圓函數論與阿貝爾函數論的研究,1854年哥尼斯堡大學名譽博士 1856年起在柏林工業大學、柏林大學任教, 1873年出任柏林大學校長 分析算術化的完成者, 解析函數論的奠基人, 卓越的大學數學教師(1864-1885培養了41位博士),學生中有近100位成為大學正教授 龍格(德, 1856-1927): 魏爾斯特拉斯在其連續性課程中“自下而上地構筑了完美的數學大廈, 其中任何想當然的、未經證明的東西沒有立足之地”.,實數理論,海涅,波萊爾,達布,黎曼,戴德金,巴赫曼,1874年起康托(德, 1845-1918)一系列論文建立,康托三等分集,集合論,希爾伯特：數學思想的最驚人的產物，在純粹理性的范疇中人類活