第三講 解析函數的充要條件 初等函數,1. 解析函數的充要條件 2. 舉例,2.2 解析函數的充要條件,如果復變函數 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定義域 D內處處可導，則函數 w = f (z) 在 D內解析。,本節從函數 u (x , y) 及 v (x , y) 的可導性，探求 函數w=f (z) 的可導性，從而給出判別函數解析的 一個充分必要條件，并給出解析函數的求導方法。,問題 如何判斷函數的解析性呢？,一. 解析函數的充要條件,記憶,定理1 設 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 內有定義， 則 f (z)在點 z=x+iy D處可導的充要條件是 u(x, y) 和 v(x, y) 在點 (x, y ) 可微，且滿足 Cauchy-Riemann方程,上述條件滿足時,有,證明 （由f (z)的可導 C-R方程滿足上面已證！只須證 f (z)的可導 函數 u(x, y)、v(x, y)可微）。,函數 w =f (z)點 z可導，即,則 f (z+ z)-f(z)=f (z)z+(z)z (1), 且,u+iv = (a+ib)(x+iy)+(1+i2)(x+iy),=(ax-by+1x-2y) +i(bx+ay+2x+1y),令：f (z+z) - f (z)=u+iv，f (z)= a+ib， (z)=1+i2 故（1）式可寫為,因此 u=ax-by+1x-2y , v=bx+ay+2x+1y,所以u(x, y)，v(x, y)在點(x, y)處可微.,（由函數u(x,y) ,v (x,y)在點(x,y)處可微及滿足 C-R方程 f (z)在點z=x+iy處可導）,u(x，y)，v(x，y)在(x，y)點可微，即：,定理2 函數f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D內解析充要 條件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D內可微，且 滿足Cauchy-Riemann方程,由此可以看出可導函數的實部與虛部有密切的聯系.當一個函數可導時,僅由其實部或虛部就可以求出導數來.,利用該定理可以判斷那些函數是不可導的.,使用時: i) 判別 u(x, y)，v (x, y) 偏導數的連續性， ii) 驗證C-R條件.,iii) 求導數：,前面我們常把復變函數看成是兩個實函數拼成的, 但是求復變函數的導數時要注意, 并不是兩個實函數分別關于x,y求導簡單拼湊成的.,二. 舉例,例1 判定下列函數在何處可導，在何處解析：,解 (1) 設z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 則,解(2) f (z)=ex(cosy +isiny) 則 u=excosy, v= exsiny,僅在點z = 0處滿足C-R條件，故,解 (3) 設z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 則,例2 求證函數,證明 由于在z0處，u(x,y)及v(x,y)都是可微函數， 且滿足C-R條件：,故函數w=f (z)在z0處解析，其導數為,例3,證明,例4 如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函數， 且f (z)0，那么曲線族u(x, y)=C1， v(x, y)=C2必互相正交，這里C1 、 C2常數.,那么在曲線的交點處，i)uy、 vy 均不為零時， 由隱函數求導法則知曲線族 u(x, y)=C1， v(x, y)=C2中任一條曲線的斜率分別為,解,利用C-R方程 ux=vy, uy=-vx 有 k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1，即：兩族曲線互相正交.,ii) uy，vy中有一為零時，不妨設uy=0，則k1=， k2=0（由C-R方程）,即：兩族曲線在交點處的切線一條是水平的，另 一條是鉛直的, 它們仍互相正交。,練習:,a=2 , b=-1 , c=-1 , d=2,1. 指數函數 2. 三角函數和雙曲函數 3. 對數函數 4. 乘冪與冪函數 5. 反三角函數與反雙曲函數,2.3 初等函數,本節將實變函數的一些常用的初等函數推廣到復變函數情形，研究這些初等函數的性質，并說明它的解析性。,內 容 簡 介,一. 指數函數,它與實變指數函數有類似的性質：,定義,這個性質是實變指數函數所沒有的。,例1,例2,例3,二. 三角函數和雙曲函數,推廣到復變數情形,正弦與余弦函數的性質,思考題,由正弦和余弦函數的定義得,其它三角函數的定義(詳見P51),雙曲正弦和雙曲余弦函數的性質,三. 對數函數,(1) 對數的定義,故,特別,(2) 對數函數的性質,見1-6例1,例4,四. 乘冪 與冪函數,乘冪ab,定義,多值,一般為多值,q支,(2)當b=1/n(n正整數)時，乘冪ab與a 的 n次根意義一致。,(1)當b=n(正整數)時，乘冪ab與a 的n次冪