第五節函數yAsin(x)的圖象及三角函數模型的簡單應用2019考綱考題考情1用五點法畫yAsin(x)一個周期內的簡圖用五點法畫yAsin(x)一個周期內的簡圖時，要找五個關鍵點，如下表所示。xx02yAsin(x)0A0A02.函數ysinx的圖象經變換得到yAsin(x)的圖象的步驟如下3簡諧振動yAsin(x)中的有關物理量yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示一個振動量時振幅周期頻率相位初相ATf x1函數yAsin(x)k圖象平移的規律：“左加右減，上加下減”。2由ysinx到ysin(x)(0，0)的變換：向左平移個單位長度而非個單位長度。一、走進教材1(必修4P55練習T2改編)為了得到函數y2sin的圖象，可以將函數y2sin2x的圖象()A向右平移個單位長度B向右平移個單位長度C向左平移個單位長度D向左平移個單位長度答案A2(必修4P62例4改編)某地農業監測部門統計發現：該地區近幾年的生豬收購價格每四個月會重復出現。下表是今年前四個月的統計情況：月份x1234收購價格y(元/斤)6765選用一個函數來近似描述收購價格(元/斤)與相應月份之間的函數關系為_。解析設yAsin(x)B(A0，0)，由題意得A1，B6，T4，因為T，所以，所以ysin6。因為當x1時，y6，所以6sin6，結合表中數據得2k，kZ，可取，所以ysin66cosx。答案y6cosx二、走近高考3(2017全國卷)已知曲線C1：ycosx，C2：ysin，則下面結論正確的是()A把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2B把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2C把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2D把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2解析把曲線C1：ycosx各點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得曲線ycos2x，再向左平移個單位長度，得曲線ycos2cossinsin。故選D。答案D4(2016全國卷)函數yAsin(x)的部分圖象如圖所示，則()Ay2sinBy2sinCy2sinDy2sin解析由圖可知，A2，最小正周期T，所以2，所以y2sin(2x)。又因為圖象過點，所以2sin2，即2k(kZ)，當k0時，得，所以y2sin。答案A三、走出誤區微提醒：橫坐標伸縮與的關系不清；搞不清f (x)在x處取最值；確定不了解析式中的值。5函數ysinx的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的2倍得到的圖象對應的函數解析式是_。解析根據函數圖象變換法則可得。答案ysinx6若函數f (x)sinx(02)在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，則_。解析由題意知當x時，函數取得最大值，所以有sin1，所以2k(kZ)，所以6k(kZ)，又02，所以。答案7已知簡諧運動f (x)2sin的圖象經過點(0,1)，則該簡諧運動的初相為_。解析將點(0,1)代入函數表達式可得2sin1，即sin。因為|0，0，0)的部分圖象如圖所示，則_。(2)已知函數f (x)Msin(x)的部分圖象如圖所示，其中A(2,3)(點A為圖象的一個最高點)，B，則函數f (x)_。解析(1)由題設圖象知，A2，可得f (x)2sin(x)。由函數圖象過點(0，1)，可得2sin1，即sin，則2k(kZ)或2k(kZ)。因為T，所以T，所以。由函數圖象過點，得sin0，則2k(kZ)。由得(kZ)，又0，所以。(2)由題意得M3，T2，所以T6，所以，所以f (x)3sin，將A(2,3)代入可得33sin，因為|0，0)的解析式主要從以下三個方面考慮：1根據最大值或最小值求出A的值。2根據周期求出的值。3根據函數圖象上的某一特殊點求出的值。【變式訓練】已知函數f (x)2sin(x)(0，|0，|)的圖象，且A，B(，1)，可得從點A到點B正好經過了半個周期，即，所以2。再把點A，B的坐標代入函數解析式可得2sin2sin1,2sin(2)2sin1，所以sin，所以2k或2k，kZ。再結合“五點作圖法”，可得。答案考點三三角函數的綜合問題微點小專題方向1：三角函數性質的綜合應用【例3】已知函數f (x)12cosxcos(x3)是偶函數，其中，則下列關于函數g(x)cos(2x)的正確描述是()Ag(x)在區間上的最小值為1Bg(x)的圖象可由函數f (x)的圖象向上平移2個單位長度，向右平移個單位長度得到Cg(x)的圖象的一個對稱中心是Dg(x)的一個單調遞減區間是解析因為函數f (x)12cosxcos(x3)是偶函數，y1，y2cosx都是偶函數，所以ycos(x3)是偶函數，所以3k，kZ，所以，kZ，又0，所以，所以g(x)cos。當x時，2x，cos0,1，故A項錯誤；f (x)12cosxcos(x)12cos2xcos2x，顯然B項錯誤；當x時，g(x)cos0，故C項正確；當0x時，2x，g(x)cos有增有減，故D項錯誤。故選C。答案C先將yf (x)化為yAsin(x)B的形式，再借助yAsin(x)的圖象和性質(如定義域、值域、最值、周期性、對稱性、單調性等)解決相關問題。方向2：三角函數零點(方程的根)問題【例4】已知關于x的方程2sin2xsin2xm10在上有兩個不同的實數根，則m的取值范圍是_。解析方程2sin2xsin2xm10可轉化為m12sin2xsin2xcos2xsin2x2sin，x。設2xt，則t，所以題目條件可轉化為sint，t有兩個不同的實數根。所以y1和y2sint，t的圖象有兩個不同交點，如圖：由圖象觀察知，的取值范圍是，故m的取值范圍是(2，1)。答案(2，1)【互動探究】本例中，若將“有兩個不同的實數根”改成“有實根”，則m的取值范圍是_。解析由例題知，的取值范圍是，所以2m1，所以m的取值范圍是2,1)。答案2,1)三角函數的零點問題可轉化為兩個函數圖象的交點問題。【題點對應練】1(方向1)將偶函數f (x)sin(2x)cos(2x)(0)的圖象向右平移個單位得到函數g(x)的圖象，則g(x)在上的最小值是()A2 B1CD解析由題意可知f (x)2sin，因為函數f (x)的圖象向右平移個單位得到函數g(x)的圖象，所以g(x)2sin2sin。因為函數f (x)2sin為偶函數，所以k(kZ)，k(kZ)。又因為00)滿足f (0)f ，且函數在上有且只有一個零點，則f (x)的最小正周期為_。解析因為f (0)f ，所以x是f (x)圖象的一條對稱軸，所以f 1，所以k，kZ，所以6k2，kZ，所以T(kZ)。又f (x)在上有且只有一個零點，所以，所以T，所以(kZ)，所以k，又因為kZ，所以k0，所以T。答案1(配合例1使用)函數ysin的圖象可以由函數ycos的圖象()A向右平移個單位長度得到B向右平移個單位長度得到C向左平移個單位長度得到D向左平移個單位長度得到解析解法一：由ycossin，ysinsin，知函數ysin的圖象可以由ycos的圖象向右平移個單位長度得到。解法二：在同一坐標系中畫出兩函數的部分圖象如圖所示，易知選B。答案B2(配合例2使用)函數f (x)sin(x)的圖象如圖所示，為了得到g(x)cos的圖象，則只需將f (x)的圖象()A向左平移個單位長度B向右平移個單位長度C向左平移個單位長度D向右平移個單位長度解析根據函數f (x)sin(x)的部分圖象知，所以T，即，解得2。根據“五點畫圖法”可知2，解得，所以f (x)sin。所以g(x)cossinsin。為了得到g(x)的圖象，只需將f (x)的圖象向左平移個單位長度即可。答案A3(配合例3使用)已知函數f (x)sin(x)，若將函數圖象向左平移個單位長度后所得圖象關于y軸對稱，若將函數的圖象向右平移個單位長度后所得圖象關于原點對稱，則的取值不可能是()A2 B4C6 D10解析函數f (x)sin(x)。將函數f (x)的圖象向左平移個單位長度后，所得圖象對應的函數解析式為ysin，由于所得圖象關于y軸對稱，故函數ysin為偶函數，故k，kZ。將函數f (x)的圖象向右平移個單位長度后，所得圖象對應的函數解析式為y