第38講 數學歸納法課時達標一、選擇題1用數學歸納法證明：“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)”，從“k到k1”左端需增乘的代數式為()A2k1 B2(2k1)C. D.B解析 當nk時，有(k1)(k2)(kk)2k13(2k1)，則當nk1時，有(k2)(k3)(2k1)(2k2)顯然增乘的代數式為2(2k1)2用數學歸納法證明“2nn21對于nn0的正整數n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應取()A2 B3 C5 D6C解析 n4時，24421；n5時，25521，故n05.3已知f(n)122232(2n)2，則f(k1)與f(k)的關系是()Af(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2Bf(k1)f(k)(k1)2Cf(k1)f(k)(2k2)2Df(k1)f(k)(2k1)2A解析 f(k1)122232(2k)2(2k1)22(k1)2f(k)(2k1)2(2k2)2，故選A.4(2019黃山高中模擬)已知n為正偶數，用數學歸納法證明12時，若已假設nk(k2且k為偶數)時命題為真，則還需要用歸納假設再證()Ank1時等式成立Bnk2時等式成立Cn2k2時等式成立Dn2(k2)時等式成立B解析 根據數學歸納法步驟可知，要證n為正偶數對原式成立，假設nk(k2且k為偶數)時，命題為真，則下一步需證下一個正偶數即nk2時，命題為真，故選B.5(2019陸川一中月考)已知f(n)(2n7)3n9，存在自然數m，使得對任意nN*，都能使m整除f(n)，則m的最大值為()A30 B26 C36 D6C解析 因為f(1)36，f(2)108336，f(3)3601036，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，推測m的最大值為36.可以利用數學歸納法作如下簡要證明：f(n1)2(n1)73n19，所以f(n1)f(n)23n12(2n7)3n(4n20)3n，當n1時，該式的值為72可被36整除，當n2時，4n20可被4整除，3n可被9整除，則(4n20)3n可被36整除，即證故選C.6對于不等式n1(nN*)，某同學用數學歸納法證明如下：(1)當n1時，11，不等式成立(2)假設當nk(kN*)時，不等式成立，即k1，則當nk1時，(k1)1，所以當nk1時，不等式成立()A過程全部正確Bn1驗證不正確C歸納假設不正確D從nk到nk1的推理不正確D解析 在nk1時，沒有應用nk時的假設，即從nk到nk1的推理不正確，故選D.二、填空題7用數學歸納法證明11)時，第一步應驗證的不等式是_解析 由nN*，n1知n取第一個值n02，當n2時，不等式為12.答案 128設數列an的前n項和為Sn，且對任意的自然數n都有(Sn1)2anSn，通過計算S1，S2，S3，猜想Sn_.解析 由(S11)2S得：S1；由(S21)2(S2S1)S2得：S2；由(S31)2(S3S2)S3得：S3.猜想Sn.答案 9設平面上n個圓周最多把平面分成f(n)個平面區域，則f(2)_，f(n)_(n1，nN*)解析 易知2個圓周最多把平面分成4片；n個圓周最多把平面分成f(n)片，再放入第n1個圓周，為使得到盡可能多的平面區域，第n1個應與前面n個都相交且交點均不同，有n條公共弦，其端點把第n1個圓周分成2n段，每段都把已知的某一片劃分成2片，即f(n1)f(n)2n(n1)，所以f(n)f(1)n(n1)，而f(1)2，從而f(n)n2n2.答案 4n2n2三、解答題10求證：1(nN*)證明 當n1時，左邊1，右邊，左邊右邊，等式成立假設nk(kN*)時，等式成立，即1，則當nk1時，.即當nk1時，等式也成立綜合可知，對一切nN*等式成立11用數學歸納法證明12(nN*，n2)證明 當n2時，12，命題成立假設nk(k2，且kN*)時，命題成立，即12.當nk1時，12231，由此猜想：an2n1.下面用數學歸納法證明這個猜想：當n1時，a12111，結論成立；假設nk(k1且kN*)時，結論成立，即ak2k1.當nk1