第6講 函數(shù)的奇偶性與周期性課時(shí)達(dá)標(biāo)一、選擇題1下列函數(shù)是奇函數(shù)的是()Af(x)x|x| Bf(x)lg xCf(x)2x2x Df(x)x31A解析 對(duì)于B項(xiàng)，f(x)lg x的定義域是x0，所以不是奇函數(shù)；對(duì)于C項(xiàng)，f(x)2x2xf(x)，f(x)是偶函數(shù)；對(duì)于D項(xiàng)，f(x)x31的定義域?yàn)镽，但圖象不過原點(diǎn)，所以f(x)是非奇非偶函數(shù)只有A項(xiàng)滿足定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，并且f(x)f(x)，是奇函數(shù)2已知f(x)3ax2bx5ab是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)?a1，a，則ab()A. B1 C1 D7A解析 因?yàn)榕己瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以6a1a0，所以a.又因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以b0，所以ab.故選A.3已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x4)f(x)，當(dāng)x(0,2)時(shí)，f(x)2x2，則f(2 019)()A2 B2C98 D98A解析 因?yàn)閒(x4)f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，所以f(2 019)f(50443)f(3)f(1)又f(x)為奇函數(shù)，所以f(1)f(1)2122，即f(2 019)2.4(2019沈陽測(cè)試)設(shè)函數(shù)f(x)ln(1x)mln(1x)是偶函數(shù)，則()Am1，且f(x)在(0,1)上是增函數(shù)Bm1，且f(x)在(0,1)上是減函數(shù)Cm1，且f(x)在(0,1)上是增函數(shù)Dm1，且f(x)在(0,1)上是減函數(shù)B解析 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)ln(1x)mln(1x)是偶函數(shù)，所以ff，則(m1)ln 30，即m1，則f(x)ln(1x)ln(1x)ln(1x2)，因?yàn)楫?dāng)x(0,1)時(shí)，y1x2是減函數(shù)，故f(x)在(0,1)上是減函數(shù)故選B.5(2019廣州模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x)，f(x)f(x4)，且當(dāng)x(1,0)時(shí)，f(x)2x，則f(log220)()A1 B.C1 DC解析 因?yàn)閤R，且f(x)f(x)，所以函數(shù)為奇函數(shù)因?yàn)閒(x)f(x4)，所以函數(shù)的周期為4.故f(log220)f(log2204)fff1.故選C.6(2019成都八中月考)設(shè)函數(shù)f(x)ln(1|x|)，則使f(x)f(2x1)成立的x的取值范圍是()A. B.(1，)C. D.A解析 由題意知f(x)f(x)，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，易得函數(shù)f(x)ln(1x)是增函數(shù)，所以不等式f(x)f(2x1)等價(jià)于|2x1|x|，解得x1，則x的取值范圍是.二、填空題7已知奇函數(shù)f(x)則實(shí)數(shù)a_.解析 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(x)f(x)，則f(1)f(1)，所以421(21a)，解得a4.答案 48設(shè)定義在2,2上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上單調(diào)遞減，若f(1m)f(m)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析 因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(x)f(x)f(|x|)所以不等式f(1m)f(m)，等價(jià)于f(|1m|)f(|m|)又當(dāng)x0,2時(shí)，f(x)是減函數(shù)所以解得1m.答案 9定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x2)0，且f(4x)f(x)現(xiàn)有以下三種敘述：8是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期；f(x)的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱；f(x)是偶函數(shù)其中正確的序號(hào)是_解析 由f(x)f(x2)0得f(x2)f(x)，即f(x4)f(x2)f(x)，即4是f(x)的一個(gè)周期，8也是f(x)的一個(gè)周期，由f(4x)f(x)得f(x)的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱；由f(4x)f(x)與f(x4)f(x)得f(4x)f(x)，f(x)f(x)，即函數(shù)f(x)為偶函數(shù)答案 三、解答題10(2019臨川一中期中)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(0)0，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)解不等式f(x21)2.解析 (1)當(dāng)x0時(shí)，x0，則f(x) (x)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)f(x)所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)(2)因?yàn)閒(4)42，f(x)是偶函數(shù)，所以不等式f(x21)2可化為f(|x21|)f(4)又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0，)上是減函數(shù)，所以|x21|4，解得x，即不等式的解集為(，)11已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)有最小正周期2，且當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x).(1)求f(1)和f(1)的值；(2)求f(x)在1,1上的解析式解析 (1)因?yàn)閒(x)是周期為2的奇函數(shù)，所以f(1)f(12)f(1)f(1)，所以f(1)0，f(1)0.(2)由題意知f(0)0.當(dāng)x(1,0)時(shí)，x(0,1)由f(x)是奇函數(shù)得f(x)f(x).綜上，在1,1上，f(x)12函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈x|x0，且滿足對(duì)于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論；(3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上是增函數(shù)，求x的取值范圍解析 (1)因?yàn)閷?duì)于任意x1，x2D有f(x1x2)f(x1)f(x2)，所以令x1x21，得f(1)2f(1)，所以f(1)0.(2)f(x)為偶函數(shù)，證明如下：f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令x1x21，有f(1)f(1)f(1)，所以f(1)f(1)0.令x11，x2x有f(x)f(1)f(x)，所以f(x)f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)(3)依題設(shè)有f(44)f(4)f(4)2，由(2)知f(x)是偶函數(shù)，所以f(x1)2等價(jià)于f(|x1|)f(16)又f(x)在(0，)上是增函數(shù)，所以0|x1|16，解得15x17且x1，所以x的取值范圍是(15,1)(1,17)13選做題(2019常德模擬)設(shè)f(x)是偶函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)是單調(diào)函數(shù)，則滿足f(2x)f的所有x之和為()A8 B8C4 D4B解析 因?yàn)閒(x)是偶函