數(shù)列求和1掌握數(shù)列求和的常用方法與思路2能選擇適當?shù)姆椒ń鉀Q有關(guān)數(shù)列求和的問題 知識梳理1常用公式(1)等差數(shù)列求和公式：Snna1d，推導方法是倒序相加.(2)等比數(shù)列求和公式：Sn，推導方法是錯位相減.2常用方法(1)分組求和法：將通項展開后分解成幾組，其中每一組可轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列或其他可求和的數(shù)列求和(2)裂項求和法：將數(shù)列中的通項拆成兩項之差求和，使之正負相消，剩下首尾若干項(3)并項求和法：依次將數(shù)列中相鄰兩項并成一項，使之轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列或其他可求和的數(shù)列求和(4)倒序相加法：將一個數(shù)列倒過來排列(倒序)與原數(shù)列相加，叫倒序相加，主要用于倒序相加后對應項和有公因式可提的數(shù)列求和，如等差數(shù)列求和公式就是用倒序相加法推導出來的(5)錯位相減法：這是推導等比數(shù)列前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項和，其中an，bn分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列1常見數(shù)列的前n項和(1)123n；(2)2462nn2n；(3)135(2n1)n2；(4)1222n2.2常見的裂項公式(1)若an各項都是不為0的等差數(shù)列，公差為d(d0)，則()；(2)()；(3). 熱身練習1數(shù)列1，3，5，7，(2n1)的前n項和是(B)A1n2()n1 B1n2()nC1n2()n1 D1n22n 1357(2n1)1357(2n1)()n21()n.2若數(shù)列an的通項公式是an(1)n(3n2)，則a1a2a10(A)A15 B12C12 D15 因為an(1)n(3n2)，則a1a2a10147102528(14)(710)(2528)3515.3求和Sn(). 因為()，所以原式(1)()()()(1)()4sin21sin22sin23sin288sin289. 設(shè)Ssin21sin22sin288sin289，則Ssin289sin288sin22sin21上述兩式相加得2S189，所以S.5化簡和式：1224n2n(n1)2n12. 令Sn12222323n2n，2Sn122223324(n1)2nn2n1，得：Sn2122232nn2n1n2n12n12n2n1.所以Sn(n1)2n12. 分組求和與并項求和(2016北京卷)已知an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通項公式；(2)設(shè)cnanbn，求數(shù)列cn的前n項和 (1)設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，則q3，所以b11，b4b3q27，所以bn3n1(nN*)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.因為a1b11，a14b427，所以113d27，即d2.所以an2n1(nN*)(2)由(1)知an2n1，bn3n1，因此cnanbn2n13n1.從而數(shù)列cn的前n項和Sn13(2n1)133n1n2. (1)數(shù)列求和，要注意通項的分析，根據(jù)通項的特點靈活選擇方法本題通項cn可表示為anbn的形式，其中an是等差數(shù)列，bn是等差數(shù)列，故可采取拆項求和的方法(2)“拆項”和“并項”方式不同，但目的都是為了轉(zhuǎn)化，通過“拆”和“并”的手段，將不可直接求和的數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為可求和的數(shù)列來處理1若Sn122232(1)nn2(nN*)，求Sn. 當n為偶數(shù)時，Sn122232(n1)2n2(2212)(4232)n2(n1)237(2n1).當n為奇數(shù)時，SnSn1ann2.綜上，可知Sn(1)n. 裂項求和法(經(jīng)典真題)已知等差數(shù)列an的前n項和Sn滿足S30，S55.(1)求an的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和 (1)設(shè)an的公差為d，則Snna1.由已知可得解得故an的通項公式為an2n.(2)由(1)知()，從而數(shù)列的前n項和為(). (1)本題考查了等差數(shù)列的基本量及其關(guān)系，考查了裂項求和的基本方法(2)利用裂項求和法時，應注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，要根據(jù)通項的特點來確定2(2017全國卷)設(shè)數(shù)列an滿足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和 (1)因為a13a2(2n1)an2n，故當n2時，a13a2(2n3)an12(n1)，兩式相減得(2n1)an2，所以an(n2)又由題設(shè)可得a12，滿足上式，所以an的通項公式為an.(2)記的前n項和為Sn.由(1)知，則Sn. 錯位相減法求和(經(jīng)典真題)已知an是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x25x60的根(1)求an的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和 (1)方程x25x60的兩根為2,3，由題意得a22，a43.設(shè)數(shù)列an的公差為d，則a4a22d，故d，從而a1，所以an的通項公式為ann1.(2)設(shè)的前n項和為Sn，由(1)知，則Sn，Sn.兩式相減得Sn()(1)1.所以Sn2. (1)本題考查了等差數(shù)列的通項公式及錯位相減法求和的基本方法，考查運算求解能力(2)一般地，若an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，則求數(shù)列anbn的前n項和可采用錯位相減法3(2017山東卷)已知an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1a26，a1a2a3.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)bn為各項非零的等差數(shù)列，其前n項和為Sn.已知S2n1bnbn1，求數(shù)列的前n項和Tn. (1)設(shè)an的公比為q，由題意知a1(1q)6，aqa1q2，又an0，由以上兩式聯(lián)立方程組解得a12，q2，所以an2n.(2)由題意知S2n1(2n1)bn1，又S2n1bnbn1，bn10，所以bn2n1.令cn，則cn.因此Tnc1c2cn，又Tn，兩式相減得Tn()1，所以Tn5.1數(shù)列求和的基本思想是“轉(zhuǎn)化”，其一是轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列(如等差、等比數(shù)列)的求和或其他可求和的數(shù)列；其二是通過消項，把較復雜的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為求不多的幾項的和到底如何進行轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是在分析數(shù)列通項及其和式的構(gòu)成規(guī)律，根據(jù)其特點轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和，或分解為基本數(shù)列求和2對于一般的數(shù)列求和無通法可循，能求和