, 一元微積分學,大 學 數 學（一）,第一講 集合與函數,第一章 集合與函數,本章學習要求： 正確理解函數概念，了解反函數和復合函數的概念 。 了解函數的單調性、有界性、奇偶性和周期性，熟悉基本初等函數的性質及其圖形。,一、集合的基本概念,集合論是現代數學的基礎。集合論的創始人是丹麥人 康托爾（猶太人），他在柏林大學學習（工科）期間受大 數學家魏爾斯特拉斯的影響，轉而攻讀數學，最后成為一 名數學家。他于1847年提出集合論，解決了當時一系列懸 而未決的問題，奠定了現代數學基礎。但康托爾創建集合 論的過程是十分艱難的，為此他幾乎獻出了生命。這也說 明如何一件新生事物的出現往往都不是一帆風順的。,康托爾將集合定義為： 所謂集合是把我們直觀和思維中確定的、相互間 有明確區別的那些對象（這些對象稱為元素）作為一 個整體來考慮的結果。,1. 集合,關于集合的幾點注意：,集合的元素是確切定義的，不能含糊不清。 集合中的元素互不相同。 當只研究一個集合時，則可不考慮其結構，視集合 中的 元素一律平等。,2. 集合的表示法,列舉法：將集合A的所有元素一一列舉出來，并用 花括號括上。,表示集合的方法有兩種:,注意：不論用那一種方法表示集合，集合中的元素不得 重復出現。,3. 有界集,A，若存在M 0, xA，均有|x|M，則稱A為有界集； 若對A中的任何元素x，有xM,則稱A為有上界； 若對A中的任何元素有xM，則稱A為有下界。,4. 映射,對于映射f：AB ，若 x1,x2A，x1x2推出f(x1)f(x2)，則是單射； 典型的單射：單調函數，不是單射的函數：偶函數,對于對于B中任意一個元素都有原像與之對應，即是滿射。 也就是說每一個元素都有原像。一旦規定了是函數，他肯定是一個滿射,單射：,滿射：,雙射,單射但非滿射,滿射但非單射,非滿射但非單射,x0+,(,),x0 ,x0,5.鄰 域,x0 + ,(,),x0 ,x0,U ( 3, 0.1 ) = ( 3 0.1, 3 + 0.1 ),點 x0 = 3 的 = 0.1 鄰域為,點 x0 = 3 的去心 = 0.1 鄰域為, ( 3, 0.1 ) = ( 2.9, 3 ) ( 3, 3.1 ),= ( 2.9, 3.1 ),二、函數的基本概念,1. 函數的定義,2. 函數的表示法,解 析 法,表 格 法,圖 示 法,自己看書！,3. 求函數定義域舉例,數學分析的主要研究對象是函數，確定函數的 定義域是一件十分重要的事情。 通常依據：分式的分母不能為零；負數不能開 偶次方；已知的一些函數的定義域；物理意義；幾 何意義等來確定函數的定義域。,綜上所述,該函數的定義域為 D = ( 1, 2 ) 。,由負數不能開偶次方, 得,由對數函數的定義域, 得,由分母不能為零, 得,該函數為分段函數,它的定義域為,分段函數是一個在自變量的不同取值范 圍內具有不同的對應關系的函數, 即在定義 域的一些不相重疊的真子集上, 用不同的表 達式表示的函數.,該函數稱為符號函數,其定義域為,1,x,y,O,1,y = sgn x,也稱為克朗涅哥函數,將 x 表示為:,函數,稱為取整函數，它是一個分段函數。,想想取整函數的圖形是什么樣子？,故,定義域與對應規則均相同的兩個函數相同。,如何判斷兩個函數是否相同?,4. 判斷函數相同,5.函數的圖形,稱為函數 f ( x ) 的圖形。,在平面上建立直角坐標系O x y，則 x y 平面上的點集,是否所有的函數均可繪出幾何圖形？,單調性,有界性,奇偶性,周期性,三、函數的基本性質,1.單調性,在不需要區別上面兩種情況時，一般將統稱為函數在區間 I 上單調增加, 記為 。,在不需要區別上面兩種情況時，一般將統稱為函數在區間 I 上單調減少, 記為 。,函數的單調性是一個局部性的 性質, 它與所討論的區間I 有關.,畫畫圖就一目了然.,我們以后將運用微積分的方法研究函數的單調性。,2. 有界性,有界性,有 界,有上界,有下界,設函數 y = f ( x ) 在區間 I 上有定義。,若存在實數 A , B , 使對一切 x I 恒有,A f ( x ) B,則稱函數 y = f ( x ) 在區間 I 上有界。,否則, 稱函數 y = f ( x ) 在區間 I 上無界。,函數有界性的定義,y = f ( x ),x,x,y,y,A,A,B,B,O,O,y = f ( x ),函數 y = f ( x ) 在區間 I 上有界,成立，則稱函數 y = f ( x ),在區間 I 上是上方有界的,簡稱有上界。,設函數 y = f ( x ) 在區間,I 上有定義。,若存在實數 M (可正，,可負)，對一切 x I 恒有,y = f ( x ),f ( x ) M,f ( x )m,在區間 I 上是下方有界的,簡稱有下界。,設函數 y = f ( x )在區間,I 上有定義。,若存在實數 m (可正，,可負), 對一切 x I 恒有,成立，則稱函數 y = f ( x ),y = f ( x ),函數 y = f ( x ) 有界,f ( x ) 既有上界又有下界.,在區間 I 上:,無窮多個下界，所有下界中最大者稱為函數在區,間 I 上的下確界，記為,無窮多個上界，所有上界中最小者稱為函數在區,間 I 上的上確界，記為,有上(下)界的函數是否必有上(下)確界？,如何證明或判斷函數無界？,提一個問題：,證明或判斷無界，通常依據:,易知：,在任何一個有限區間內有界。,3. 奇偶性,若 x Df , 有,f ( x ) = f ( x ),成立，則稱 f ( x ),為偶函數。,偶函數的圖形 關于 y 軸對稱。,若 x Df , 有,f ( x ) = f ( x ),成立，則稱 f ( x ),為奇函數。,奇函數的圖形 關于坐標原點對稱。,設函數 y = f ( x ) 的定義域 Df 關于坐標原點對稱。,哪些是奇函數,哪些是偶函數:,指出下列函數在其定義域內,在關于坐標原點對稱的區間 I 內：,兩個偶(奇)函數之和仍是一偶(奇)函數。,兩個偶(奇)函數之積均為一個偶函數。,一個偶函數與一個奇函數之積是一個奇函數。,的形式。,在關于坐標原點對稱的區間 I 內有,定義的任何一個函數 f ( x )，均可表示為,區間 I 內的一個偶函數與一個奇函數之和,4. 周期性,則稱 f ( x )為周期函數， 稱為函數 f ( x ),設函數 y = f ( x ) , x (, ) 。,若存在 0 , 對一切 x (, ) 恒有,y = f ( x ) = f ( x ) ,的一個周期。,如果一個周期函數有最小正周期,存在, 記為,則稱 T 為周期函數的周期。,T = min , 0,通常所說的周期是,故稱正弦函數 y = sinx 的周期為2 。, = 2k ( k Z 且 k 0) 均為函數,y = sin x 的周期, 而它的最小正周期為,T = min 2k = 2 kZ+,截尾周期函數（最終周期函數）的定義：,請自己看書！,請自己看書！,請自己看書！,請自己看書！,四、基本初等函數,大家在中學就已熟悉它們了！,以下六種簡單函數 稱為基本初等函數,1. 常值函數 y = C ( C 為常數 ),2. 冪函數 y = x ( R 為常數 ),3. 指數函數 y = a x ( a 0, a 1 ),4. 對數函數 y = loga x ( a 0, a 1 ),5. 三角函數 y = sin x y = cos x y = tan x y = cot x y = sec x y = csc x,6. 反三角函數 y = arcsin x y = arccos y = arctan x y = arccot x y = arcsec x y = arccsc x,詳 情 見 書,四、復合函數、反函數,？,如何,描述,1.復合函數,的每一個 x 所對應的 u 值，都屬于 f (u) 的定義域 Df ，,其中，u 稱為中間變量。,由函數,可構成復合函數,函數復合而成 ?,它是由以下幾個函數復合而成:,以上過程稱為 對復合函數的分解,自由落體運動中,位移與時間的關系是,選時間 t 為自變量:,選位移 s 為自變量:,直接函數,反函數,習慣上稱,2. 反函數,是一一對應 (即映射 f 是一一對應), 稱 f 的,f 的反函數.,反函數的定義,自己畫一下草圖,反函數的圖形,將函數 y = f (x) 的反函數寫成 x = f 1(y) 時， 函數與其反函數的圖形相同.,將函數 y = f (x) 的反函數記為 y = f 1(x) 時， 函數 y = f (x) 與其反函數 y = f 1(x) 的圖形關于 第、 象限的角平分線 y = x 對稱。,反函數的圖形,綜上所述，所求反函數為,故所求反函數為,增加的.,減少,減少,六、初等函數,由基本初等函數經過有限次四則運算,和復合運算而成的函數, 稱為初等函數。,例如,都是初等函數.,一般說來, 分段函數不是初等函數.,但有個別分段函數例外，例如,故該冪指函數是一個初等函數.,六、雙曲函數反雙曲函數,學習雙曲函數時,注意與中學學習過的 三角函數進行比較,找出它們之間有關定義 及計算公式的相同處和不同處。,1. 雙曲函數的定義及性質,雙曲正弦,雙曲余弦,雙曲正切,雙曲余切,雙曲正割,雙曲余割,懸鏈線,雙曲正弦函數是奇函數,雙曲余弦函數是偶函數,y = cth x,y = th x,雙曲正切函數是奇函數,2. 常用的公式,(1) 反雙曲正弦函數,習慣上寫成,x (, )。,雙曲正弦函數 y = sh x 是 (, ) 到,(, ) 的一一對應, 故它的反函數存在,通過初