降焦能否減害 數學建模論文 降焦能否減害摘要本論文主要就“中式卷煙特征理論體系構建及應用”項目中的“降焦減害”理論進行了討論研究，根據市面上出售個各品牌香煙相關數據，討論降低煙草的焦油含量是否能降低吸煙帶來的危害。吸煙的危害眾人皆知，煙草中含有的焦油被視為吸煙引發癌癥等疾病的最大元兇，從這個角度而言，降低煙草焦油含量可以起到減害作用。另一方面，煙癮（尼古丁上癮癥）又是由煙草中的尼古丁導致的。在降低焦油的同時，尼古丁可能減少，這將引起吸煙者吸煙變頻繁，也會使吸煙者不自覺深吸導致煙嘴過濾作用降低，從而吸入更多的毒物。針對問題一，建立吸煙危害的數學模型。首先，我們小組建立了一支香煙的危害的微分方程模型，利用控制變量法，討論了三種情況，分別為在其他條件不變時，討論人體攝入的毒物量與一支煙內的毒物含量、濾嘴長度、煙霧沿香煙穿行速度之間的關系。利用Matlab分別作出函數圖形，明顯可以看出人體攝入的毒物量與一支煙內的毒物含量、煙霧穿行速度呈現正相關關系，與濾嘴長度呈現負相關關系。在此模型的基礎上，我們小組引進了第二個模型，研究香煙內的毒物含量與尼古丁含量之間的關系。根據焦油量與尼古丁含量的幾組對應關系。分為焦油量減少尼古丁含量不減少和尼古丁含量隨焦油量減少而減少兩種情況討論。顯然前者是有減害作用的；后者的減害作用不確定。針對問題二，基于模型，我們小組對降焦減害理論進行了評價。大致分為兩種情況：（1）在減焦的過程中，尼古丁的含量也隨之發生變化時，其減害的作用是不確定的，可能減害也可能增害。尼古丁的含量增多時，減害作用明顯；尼古丁的含量降低時，增害作用明顯。（2）在減焦的過程中，尼古丁的含量維持不變時，表現為減害作用。總而言之，評價“降焦減害”理論要基于煙民所吸煙的技術參數，不同的煙技術參數一般不同。針對問題三，經查閱資料，將數據代入我們小組建立的模型，可驗證得到的結論的成立性。現有的爭議對吸煙者也造成了一定的影響。我們小組的分析如下：（1）若吸煙者認為該理論成立，則會完全打破其內心的顧慮。在滿足煙癮的同時，能減少對身體的損害，則吸食的煙量可能增加。當降焦不能減害時，該吸煙者的身體受到的損害程度就越大；當降焦能減害時，由于其吸食的煙量增加，上癮度也會增加，當吸食的量超過一定的程度時，攝入的毒物量會增多，對人體的損害程度就越大。（2）若吸煙者認為該理論不成立時，相比之下，此時對吸煙者的影響較小。但當吸煙者吸食低焦油煙時，若滿足煙癮進行深吸時，攝入的毒物量增加，會對身體造成更大的損害。針對問題四，我們小組向有關部門提出降低香煙危害的建議如下：1）加大對香煙生產的審查，嚴格控制香煙內的焦油量； 2）在降焦的過程中，可維持尼古丁的含量不變，這樣使煙民滿足煙癮時，又不會攝入過多的毒物，減少對身體的損害； 3）可提倡生產一種新型煙，來適當克制煙民的煙癮，減少烤煙等的吸食量，減少對身體的損害；關鍵詞：降焦減害 微分方程 焦油 尼古丁 控制變量 上癮度 一、問題重述2012年度國家科學技術進步獎參評入圍項目 “中式卷煙特征理論體系構建及應用”，提出了香煙“降焦減害”的理論體系，該項目的申報在社會上引起了較大的爭議，特別是“降焦減害”理論的依據成為爭論的焦點。但是，焦油降低了同時香煙里的尼古丁也在下降，尼古丁是成癮物質，不能讓吸煙的人達不到快感，可能吸煙的量更多了。另外，吸低焦油的人認為吸的是安全香煙，更不容易戒煙。降焦到底能不能減害正是我們需要研究討論的課題。故需收集相關資料和數據，解決以下問題：1）建立吸煙危害的數學模型；2）基于模型，評論“降焦減害”理論；3）驗證得到的結論，并說明現有爭議對吸煙者的影響；4）向有關部門提出降低香煙危害的建議。 二、模型假設1、毒物均勻分布在煙草中，吸煙時點燃處的煙草化為煙霧；2、毒物由煙霧攜帶著一部分直接進入空氣，另一部分沿著香煙穿行；3、在穿行過程中，又有一部分被未點燃的煙草和過濾嘴吸收而沉積下來，剩下的部分進入人體；4、吸煙者吸煙的動作、方式及外部環境在整個吸煙過程中不變；5、毒物隨煙霧進入空氣和沿香煙穿行的數量比例、煙霧穿行的速度、過濾嘴和煙草對毒物的吸收率等在吸煙過程中都是常數；6、人體通過吸煙攝入的毒物量即為攝入的焦油量；7、香煙燃燒速度與煙霧沿香煙穿行速度相比，可認為燃點處于靜止狀態 ； 8、t=0時刻，在x=0處點燃香煙，坐標系如下圖所示：圖 1 x(0)=0 香煙點燃狀態根據模型假設及相關資料，我們小組做出了如下相關表格表1 香煙的相關參數（一組參考數據）香煙技術參數香煙總長度83mm過濾嘴平均長度32mm香煙平均燃燒速度0.277mm/s煙霧沿香煙平均穿行速度110.8mm/s每支香煙毒物含量10mg過濾嘴對毒物的平均吸收率20%未點燃的煙草平均所占比例5%點燃處進入空氣的的毒物平均含量50%點燃處沿香煙穿行的毒物平均含量50% 三、模型符號說明1、 q0點燃處香煙中毒物隨煙霧進入空氣部分；2、q 毒物沿香煙穿行部分；3、v 煙霧沿香煙平均穿行速度； 4、u 香煙燃燒的平均速度；5、b 未點燃的煙草所占比例；6、 過濾嘴對毒物的吸收率；7、 l 香煙總長度；8、 l1 煙草部分的長度；9、M 整支香煙所含毒物總量；10、w0 毒物的平均密度；11、H 燃點x=0處在單位時間內放出的毒物量；12、Q 人吸一支煙進入人體的毒物量；13、K 比例系數；14、K1 比例系數；15、C 一支煙內的焦油含量；16、D 一支煙內的尼古丁含量；17、Q1 人一天攝入的毒物量；18、q(x, t) 毒物流量；19、w(x, t) 煙草毒物密度；20、(x, t) 煙霧毒物密度； 四、模型的分析與建立 為更好地解決問題，經討論我們小組決定建兩種模型：其一是一支煙的危害模型；其二是一支煙內的焦油量與尼古丁含量之間的關系模型。4.1一支煙的危害模型4.1.1建模準備定義幾個基本函數：1.毒物流量q(x, t)：在燃燒過程中的時刻t(t0)，單位時間內通過香煙截面x(0xl)處的毒物量。2.煙草毒物密度w(x, t)：在燃燒過程中的時刻t(t0)，截面x(0xl1)處單位長度煙草中的毒物含量。3.煙霧毒物密度(x, t)：在燃燒過程中的時刻t(t0)，截面x(0xl1)處單位長度煙霧內毒物的含量。則q(x, t)=v(x, t)。4.1.2建模討論 分三個階段進行討論1.確定t=0瞬間，單位時間內通過x處的毒物量q(x,0)。由假設6即vu, 可以認為燃點x=0靜止不動。記q(x,0)=q(x)，x,0=(x)。在x, x+x這一段香煙中，毒物通過x和x+x的流量之差為q(x)-q(x+x)，根據守恒定律這兩個流量之差應該等于這一段未燃煙草或過濾嘴對毒物的吸收量，即: xx+xbxdx或xx+xxdx 有： 即： 假設(x)可導，令x0，將上式兩邊分別求導：燃點x=0處在單位時間內放出的毒物量為H。由假設1知q(0)=qH，從而0=qHv。這時，我們構成 =-=vqHxvbdxd)0()(r rr解之，得: )0( )exp()(1lxvbxvqHx-=r根據x在l1處的連續性，可知: )exp()(11vblvqHl-=r因而構成 -=-=)exp()()(1 1vblvqHlxvdxdrrbr解得 )( )l1(exp)( 1lxlvxbvqHx-=b b r即 -0時刻，單位時間內通過x=l處的毒物流量q(l, t)。由假設5知u為常數，則t時刻香煙燃至x=ut處。這時，將第1步中的q(x) 、(x)、H分別改記為q(x, t)、(x, t)、H(t)，其中H(t)表示t時刻點燃的煙草在單位時間內放出的毒物量。根據與第1步完全類似的推導，只需將第1步中的(x)的表達式中的x、l1和H分別替換為x-ut、l1-ut和H(t)，即得: -+-0時刻x=ut處，單位時間內燃燒的長度u，又煙草內毒物數量H(t)的密度為w(x, t)，故H(t)=u w(ut, t).綜合上述q、H三式，得 )0( )(exp()(1lxvutxbtutwvqutx- =），（，r ）（），（），（vbutllbltutquwtlq+-=11expb現在的任務是確定w(ut, t)： 記w(x,0)=w0=Ml1 。隨著t的增長，未點燃的煙草在吸煙過程中不斷地吸收煙霧中的毒物，致使w(ut, t)上升，根據守恒定律其增量應該等于單位長度煙霧中的毒物被未點燃的煙草吸收的部分。即在t, t+t時間內， 令t0，得 將(x, t)的表達式代入，推得 =-=0)0,(expwxwvutxbtutwvqbutw）（），（對上式從0到t積分： dtvbuttutwvbxvqbuwtxwt-+=00expexp）（），（）（），（記f(t)=w(ut, t)exp(butv),則上式即為f(t)=w0exp(butv)+ qbuv0tf(t)dt, 兩端同時對t求導，并注意到t=0時f(0)= w0，從而得到關于f(t)的微分方程 =-00 0expw fvbutvbuwtfvqbutf ）（）（）（）（解之，得 -=）（）（）（vbutqqvbutqw tf1exp1exp10 結合f(t)的原始表達式，這等價于 -=）（），（vbutqqqwtutw1exp110于是 -=）（），（）（vbutqqquwtutuwtH1exp110 ）（）（），（vbutllblvbutqqqquwtlq+-=110exp1exp11b -+-=）（）（）（vqbutqvbutvllblqquwexpexpexp11 1 0b3確定抽完整支香煙時通過x=l處的毒物總量Q。抽完整支香煙的時間t=l1u。應用積分的方法，易知 Q=ol1uq(l, t)dt =quw01-qexp(-bl1+(l-l1)v)0l1uexp(butv)-qexp(qbutv)dt =qw0v1-qb exp(-(l-l1)v)1-exp(-(1-q)bl1v)回顧w0=Ml1，代入上式，得 1exp1exp1111）（）（）（vblqvllblqqMvQ-=b4.1.3 模型建立根據上述討論，本文建立了微分方程模型來研究吸一支煙的危害與影響因素之間的定量關系，可確定目標函數如下： 1exp1exp1111）（）（）（vblqvllblqqMvQ-=b根據表1所給數據，可以確切地算出人吸一支煙的吸進人體的毒物量范圍Q：0.455mg0.682mg4.2一支煙內的焦油量與尼古丁含量之間的關系模型4.2.1建模準備 先定義人對香煙的上癮度G， 初步定義為平均一天攝入的尼古丁的量。4.2.2建模討論 在確定焦油量與尼古丁含量的關系時，經查閱資料我們進行了如下兩種討論： 1.當一支煙內焦油的含量C發生變化時，尼古丁的含量D也跟著發生變化。根據資料，我們小組根據附錄1選取了7種系列的香煙，根據其技術參數做出了如下表格：表2 焦油-尼古丁含量數據表一支香煙焦油含量C尼古丁含量D系列15mg0.6mg系列26mg0.5mg系列38mg0.8mg系列410mg1.0mg系列513mg1.1mg系列614mg1.2mg系列715mg1.3mg 人平均一天攝入的毒物量Q1=KCGD （K為比例系數,表示經擴散、濾過等作用后最終進入人體的尼古丁占原量的比例，顯然K1）; 可取表中的數據進行計算比較： 1）、當焦油含量C=5mg，尼古丁含量D=0.6mg時，攝入的毒物量Q1=8.33KG； 2）、當焦油含量C=6mg，尼古丁含量D=0.5mg時，攝入的毒物量Q1=12KG；3）、當焦油含量C=10mg，尼古丁含量D=1.0mg時，攝入的毒物量Q1=10KG； 4）、當焦油含量C=15mg，尼古丁含量D=1.3mg時，攝入的毒物量Q1=11.54KG；由上述數據，顯然有8.331011.541。如上述1）、4）得到的數據，需比較8.33K1與11.54之間的大小。若K11.39是降焦是沒有減害作用的；反之是有減害作用的。2、當一支煙內焦油的含量C發生變化時，尼古丁的含量D不隨之變化時，經查閱資料，在確定尼古丁的含量D不變時，我們小組選取了4中系列的煙的技術參數做出了如下表格：表3 焦油-尼古丁含量數據表一支香煙焦油含量C尼古丁含量D系列112mg1.2mg系列213mg1.2mg系列314mg1.2mg系列415mg1.2mg人一次滿足煙癮后攝入的毒物量Q1=KCGD （K為比例系數）。由于一支煙內尼古丁含量不發生變化，顯然當煙癮滿足后，吸食的香煙量相同。我們只需要比較香煙所含焦油量C即可判斷降焦是否有減害作用。顯然比較上表的焦油含量，降焦是有減害作用的。4.2.3 模型建立 根據上述討論，在一支香煙的焦油含量C、尼古丁含量D、以及人體一天攝入的毒物量Q1之間可建立數學模型，其目標函數如下： Q1=KCGD (K為比例系數) 五、模型求解1、一支煙的危害的數學模型 1）目標函數：1exp1exp1111）（）（）（vblqvllblqqMvQ-=b2）代入表一所給數據可得：Q=4.55mg（參考數據） 3)根據目標函數，結合控制變量法，利用Matlab軟件分別作出攝入的毒物含量Q與每支香煙的毒物含量M、香煙的濾嘴長度l1、以及煙霧沿香煙的穿行速度v之間的函數關系圖： （1）維持其他量不變，只探究攝入毒物量Q與每支香煙毒物含量M之間的函數關系，即Q=0.455M,函數圖像如下圖所示： 圖1 攝入的毒物量Q與每支香煙毒物含量M關系曲線圖 由上圖明顯可以看出Q與M之間呈線性關系，即每支香煙所含的毒物量越多，人攝入的毒物量越多，且按線性增長。此時對人體的損害越大。（2）維持其他量不變，只探究毒物攝入量Q與香煙過濾嘴長度l1之間的函數關系，即Q=2216l1exp(-0.0018(l-l1)1-exp(-0.00023l1)函數圖像如下圖所示： 圖2 攝入毒物量Q與濾嘴長度l1函數關系圖 由上圖同樣可以觀察到Q與l1之間也呈線性關系，即過濾嘴的長度越短，人體攝入的毒物量越多，且呈線性變化。此時對人體的損害越大。 （3）維持其他量不變只探究攝入的毒物量Q與煙霧沿香煙穿行速度v之間的函數關系，即Q=0.625vexp(-10.2v)1-exp(-0.8v)如下圖所示： 圖3 攝入毒物量Q與煙霧沿香煙穿行速度v函數關系圖 由上圖可以觀察出v越大，Q越大，并不是按線性增長。此時對人體的損害程度越大。2、焦油含量與尼古丁含量之間的數學模型 (1)目標函數： Q1=KCGD （K為比例系數,表示經擴散、濾過等作用后最終進入人體的尼古丁占原量的比例，顯然K1） (2)代入表二的數據可得： 1）、當焦油含量C=5mg，尼古丁含量D=0.6mg時，攝入的毒物量Q1=8.33KG； 2）、當焦油含量C=6mg，尼古丁含量D=0.5mg時，攝入的毒物量Q1=12KG； 3）、當焦油含量C=10mg，尼古丁含量D=1.0mg時，攝入的毒物量Q1=10KG； 4）、當焦油含量C=15mg，尼古丁含量D=1.3mg時，攝入的毒物量Q1=11.54KG； 由上述數據，顯然有8.331011.541。如上述1）、4）得到的數據，需比較8.33K1與11.54之間的大小。若K11.39是降焦是沒有減害作用的；反之是有減害作用的。（3）為進一步了解香煙內焦油量與尼古丁含量之間的內在關系，我們根據表二的數據，利用Matlab，做出了每支香煙的焦油含量C與尼古丁含量D之間的關系圖，如下所示：圖4 每支煙的焦油含量C與尼古丁含量D之間的關系圖 根據上圖所示，可以看出焦油含量C與尼古丁含量D之間不存在明顯的單調關系，造成了對“降焦減害”理論評價的不確定性，需根據具體情況具體分析。 六、模型評價及建議1、對“降焦減害”理論的評價基于上述兩種模型，我們小組對“降焦減害”理論進行了一個系統的評價。對于一支煙的危害模型，降焦過程中，進入人體的毒物明顯減少。但基于此模型，考慮到煙民的煙癮問題時，需考慮到焦油含量與尼古丁含量之間的關系。針對這種情況，我們小組建立了第二個模型。綜合兩種模型，我們小組對“降焦減害”理論的評價大致分為如下兩種情況：（1）在減焦的過程中，尼古丁的含量也隨之發生變化時，其減害的作用是不確定的，可能減害也可能增害。尼古丁的含量增多時，減害作用明顯；尼古丁的含量降低時，增害作用明顯。（2）在減焦的過程中，尼古丁的含量維持不變時，表現為減害作用。 總而言之，評價“降焦減害”理論要基于煙民所吸煙的技術參數，不同的煙技術參數一般不同。2、降低香煙危害的建議 基于上述兩種模型我們小組針對降低香煙危害向有關部門提出了如下建議： 1）加大對香煙生產的審查，嚴格控制香煙內的焦油量； 2）在降焦的過程中，可維持尼古丁的含量不變，這樣使煙民滿足煙癮時，又不會攝入過多的毒物，減少對身體的損害； 3）可提倡生產一種新型煙，來適當克制煙民的煙癮，減少烤煙等的吸食量，減少對身體的損害；3、現有爭議對吸煙者的影響 通過廣泛地收集數據，代入兩種模型求解可驗證我們小組結論的的成立性。現在主要是對“降焦減害”這一理論出現了爭議，有的人認為該理論成立，有的則不然。這一理論引發的爭議明顯對吸煙者造成了很大影響。我們小組的分析如下： 1）若吸煙者認為該理論成立，則會完全打破其內心的顧慮。在滿足煙癮的同時，能減少對身體的損害，則吸食的煙量可能增加。當降焦不能減害時，該吸煙者的身體受到的損害程度就越大；當降焦能減害時，由于其吸食的煙量增加，上癮度也會增加，當吸食的量超過一定的程度時，攝入的毒物量會增多，對人體的損害程度就越大。 2）若吸煙者認為該理論不成立時，相比之下，此時對吸煙者的影響較小。但當吸煙者吸食低焦油煙時，若滿足煙癮進行深吸時，攝入的毒物量增加，會對身體造成更大的損害。七、模型的優缺點及改進方向1、模型優缺點： 1）優點： 我們小組用到了微分方程模型，有一定的依據性，在此基礎上我們建立了第二種模型。兩種模型都比較通俗易懂，經驗證由模型得出的結論也是成立的。兩種模型的結合使本文更具說服力。由本文得出的結論可以給有關部門提供參考。 2）缺點： 在假設的情況下，我們假想的吸煙者類似于機器。而根據有關資料顯示，吸煙者實際吸入的焦油量比機器測得數據高出3倍。除此之外，香煙中對人體的有害物質不止焦油一種，還有許多其他的致癌物質。在評價“降焦減害”理論時，我們忽略了其他物質的影響，只考慮了焦油的影響。2、模型的改進方向 為更好地研究降焦是否有減害作用是，我們應當考慮到香煙中的各種有害物質的影響，建立一個更為系統、完善的數學模型來研究此問題。當焦油的含量降低時，觀察其他有害物質的含量變化，綜合判斷它們對人體的損害程度。以此來判斷降焦是否有減害作用，這樣使結論更具真實性與說服力。 八、參考文獻12012-2016年中國卷煙行業深度調研與投資分析報告；2 張威 matlab基礎與編程入門（第二版），西安電子科技大學出版社 2008.1；3matlab在數學建模中的應用 北京航空航天大學出版社 卓金武主編 2011；4 WilliamH.Frishman.吸煙、尼古丁及尼古丁與非尼古丁替代療法。世界醫藥雜志，2002，6（10）：47.5 Knudson,Harold W.Filters for tobaccosmoke:US,2761798P.1956-09-04.九、附錄1、香煙的焦油與尼古丁含量表香煙系列焦油量尼古丁含量紅塔山經典195613mg1.2mg紅塔山（新境界）15mg1.2mg翻蓋紅塔山12mg1.0mg翻蓋紅塔山（鉑金白）10mg1.0mg玉溪（和諧玉溪）13mg1.2mg翻蓋玉溪（鉑金）11mg1.0mg條盒玉溪15mg1.2mg翻蓋國賓（藍）15mg1.2mg翻蓋國賓（好運）14mg1.1mg條盒國賓（精品紅）12mg1.0mg云煙（紅）15mg1.2mg云煙（印象棕）12mg1.1mg云煙（印象94）11mg1.1mg云煙（如意）12mg1.2mg小熊貓（軟盒精品）14mg1.2mg小熊貓（軟盒高級精品）12mg1.1mg小熊貓（硬盒高級珍品）12mg1.0mg全硬石林（深藍）14mg1.1mg全硬石林（精品）13