第三講,概率論,概率論的產生和發展,概率論產生于十七世紀，本來是隨保險事業的發展,而產生的，但是來自于賭博者的請求，卻是數學家們思考 概率論中問題的源泉。,早在1654年，有一個賭徒梅累向當時的數學家帕斯卡提,出一個使他苦惱了很久的問題：“兩個賭徒相約賭若干 局，誰先贏 m局就算贏，全部賭本就歸誰。但是當其中 一個人贏了 a (am)局，另一個人贏了 b(bm)局的時候，,賭博中止。問：賭本應該如何分法才合理？”后者曾在 1642年發明了世界上第一臺機械加法計算機。,三年后，也就是1657年，荷蘭著名的天文、物理兼數學,家惠更斯企圖自己解決這一問題，結果寫成了論機會游 戲的計算一書，這就是最早的概率論著作。,近幾十年來，隨著科技的蓬勃發展，概率論大量應用到國 民經濟、工農業生產及各學科領域。許多興起的應用數 學，如信息論、對策論、排隊論、控制論等，都是以概率 論作為基礎的。,第一節,基礎概率, ,一、隨機現象與隨機試驗 隨機現象非確定性現象 隨機試驗：對隨機現象的觀察 隨機試驗須符合的條件： 1、可以在相同的條件下重復進行 2、試驗的所有結果是事先已知的，并且不止一個 3、每次試驗只能出現可能結果的一種，且不能預先判 斷是哪一種 如：擲硬幣 二、概率的概念,隨機事件發生可能性大小的數量表示。 三種情況： 1、不可能事件 概率 P（）=0 2、必然事件S 概率 P（S）=1 3、必然與不可能之間E 概率 0 P（E） 1,三、概率的計算方法,1、頻率法, ,頻數與頻率 隨機事件E出現的次數n頻數,頻率, ,n與實驗次數N的比值 頻率的三種狀況：,2）, ,定值。,頻率是一個近似值，概率是一個理論值、唯一的精 確值，比頻率完美。,f s 1,n N,3） f 0 概率是實驗或觀察次數N趨于無窮時，相應頻率的穩,1）0 f E 1,n N,N N ,PE lim f E lim,2、古典法, ,1）樣本點Ei ：隨機實驗中的每一種結果 2）樣本空間S：樣本點的總和 3）隨機事件A：基本事件的集合，它是S的子 集 4）古典概型的條件 樣本空間只有有限個樣本點 每個樣本點出現的可能性相同,5）計算,m n,PA ,A中包含樣本點的個數 樣本點總數,例：5人中 3男 2女，隨機抽有一女 的概率, ,男生代碼 E1 E2 E3 女生代碼 F1 F2 樣本空間5個 n=5, ,隨機事件樣本點：m=2 再例：100人中，5人超過70歲，任抽一 人，是古稀老人的概率？,2 5,PA ,四、概率的運算, ,（一）條件之間的關系 1、包含與相等 A發生必然導致B發生，則B包含A AB 如果存在反向包含關系則 A=B,例：A=人；B=男人；C=女人；A與B？, ,2、事件和 A與B至少有一個發生才構成事件C則為和 A+B,例：A=香港人；B=澳門人；C=港澳人士；A+B？, ,3、事件積 A與B同時發生構成事件C則為事件積 AB,例：A=品德好；B=能力強；C=德才兼備；AB？,（一）條件乊間的關系（續）,AB= , 4、互不相容 A發生則導致B不發生 例：某人來自的省份。,5、對立事件,A與B為互不相容事件，且在一次實驗或觀察中必有 其一發生。,A+B=S,AB= 例：性別,6、相互獨立：二者無關系,例：兩個婦女同時生孩子，生男生女是否有關？,PA1 A2 An PA1 PA2 PAn ,（二）概率的運算, ,n i 1,1、加法 1）條件：A、B互不相容時：A+B（事件和）為A的概率B的概率之和。 PA B PA PB 推論：n個事件 2）A與B不滿足互不相容時： PA B PA PB PAB 推論三個事件： PA B C PA PB PC PAB PAC PBC PABC n個事件：,例：,1、湖南某地外出打工：100戶中，每戶一人廣州打工：30 戶；深圳打工：20戶；上海打工：20戶；任抽一戶，南,下打工的概率？,2、某班學生30人，父親大學文化8人，母親大學文化6人， 父母均為大學文化的3人，任抽一人，父輩至少一人大學,文化的概率？,課內練習：,對某班女生調查：不吃早餐的50%，不吃中餐的20%，兩餐,都不吃的10%，求下列事件概率：,1、只不吃早餐的 2、中、早至少一餐不吃 3、中、早只有,一餐不吃 4、中、早兩餐都吃,2、乘法, ,簡化式：A、B相互獨立 PAB PA PB PA1 A2 An PA1 PA2 PAn 一般式：A與B不滿足相互獨立 當一事件已發生條件下另一事件發生的概率條件概 率 PB A - A發生條件下事件B發生的概率 PAB PA PB A 或 PAB PB PA B,A1 PAn A1 A2 An ,推論： PA1 A2 An PA1 PA2,例題1,某城市中，有60%的家庭訂閱日報，有80% 的家庭有電視機，假定這兩個事件是獨立 的，隨機抽出一個家庭，發現既訂日報又 有電視機的概率？,答案,A=該家庭訂一份日報 B=該家庭有電視機 P(A)=0.60 P(B)=0.80 P(AB)=0.60*0.80=0.48,例題2,對同一目標進行3次射擊，第一、二、三、 次射擊命中的概率分別是：0.3,0.4,0.6，求 在這三次射擊中恰有一次命中的概率。,答案, ,Ai=第i次射擊命中 A=恰有一次命中 P（A） =0.3*0.6*0.4+0.7*0.4*0.4+0.7*0.6*0. 6 =0.436,例：,1、某廠一天兩班生產350件產品，一班生 產200件，次品9件；二班生產150件， 次品4件。隨機抽一件，是次品，問：是,一班生產的概率？解答,2、居民樓20戶，無子女家庭2戶，訪問兩,戶均為無子女家庭的概率？,練習：據統計，能活到60歲的概率為0.8； 活到70歲的概率為0.4, 問現年60歲的人 活到70歲的概率？,例一答案：,第一種方法：,A=抽選的一件產品是一班生產的 B=抽選的一件產品是次品 已知B發生，p(A/B)=9/13,第二種方法：,P(A/B)=p(AB)/p(B)=9/350 13/350 =9/13 AB=抽選的一件產品是一班生產的次品,PB PAi PB Ai ,其中 PB PAi PB Ai ,五、全概率不逆概率公式, ,1、全概公式 A1 、A2 An為完備事件組，即： 1） A1 、A2 An互不相容 2） A1 +A2 +An=S 對任一事件B都有 n i 1 2、逆概率公式（貝葉斯公式） 在B發生的情況下，追溯導致B發生的各種原因Ai概率,PAi PB Ai PB,PAi B ,n i 1, ,全概例： 有三個工作人員被指定復制某種表格。某一人 復制了這種表格的40%，第二人復制了35%， 第三人復制了23%，第一人的錯誤率為0.04， 第二人的錯誤率為0.06，第三人的錯誤率為 0.03。隨機抽一份表格，這份表格有錯誤的概 率為多少？ 逆概例： 接上例。某天，隨機抽出一份表格，發現有錯 誤，辦公室主管想知道由第一、第二、第三個 工作人員所造成的概率是多少？,2） PK 1,第二節 概率分布、均值不方差, ,性質：1）,分布列表明全部概率在各可能取值之間的分布規律，全面描敘離散隨機變量 的統計規律,Pk 0,一、概率分布： 隨機現象一共有多少種結果，以及每種結果伴隨的概率。 1、離散型隨機變量及其概率分布分布列 概率分布：P X i Pi 例1：10人中，女性3人，抽3人，女性人數的概率分布。 例2：兩名孕婦，生女嬰的概率分布。, K 1,P x ,x ,Px1 x2 x dx, xdx 1,2、連續型隨機變量及其概率分布 概率密度函數, ,2）, , 2 ,x 2,x 0, x x,概率密度： x lim,x 0,1）, ,任意兩點（X1，X2）之間的概率為： x2 x1 概率密度 x 存在以下性質：,F x P x xdx,P x ,x ,3、分布函數, ,1）定義：F（x）=P（ x） 意義：隨機變量從最遠的起點（- ）到所研究的x點所有概率的總和。 2）對于離散型隨機變量，則：依據概率的加法定理：例, , ,頻率 頻率密度, xi , P xi x,F x P x ,3）對于連續性隨機變量，則：依據單微積分知識： x 4）分布函數與概率分布有一一對應關系 5）幾個概念的比較：, , 2 ,x 2,x 0, x x, 概率 概率密度 x lim,向上累計頻率 f i 分布函數,F x P x1 ,例：,家庭子女數：,x1 x2 x3 x4,x4,F(x)=？, P(=Xi),1 0.5,2 0.2,3 0.2,4 0.1,E x1 P1 x2 P2 xn Pn xi Pi,1）離散型 x ni xi,2）連續型E x x dx,二、數學期望（總平均值）：, ,1、數學期望的公式 n i 1 N 2、數學期望與平均值 ni P N 當調查總數N等于總體個案時： 數學期望又可稱作總體均值 3、數學期望是各隨機變量取值分別乘以取值的概率， 因此，也稱作隨機變量的加權平均值。,例：,兩名學生拿名次比較：, ,求E(),甲 （名次） p 乙 （名次） p,1 0.2 1 0.3,2 0.5 2 0.3,3 0.3 3 0.4, E i , ,推廣n個 ：,4、數學期望的性質： 1）常數的數學期望等于該常數 EC C 2）隨機變量與常數之和的期望等于隨機變量期望與常 數之和 E C E C 3）E C C E 4）兩個隨機變量 E E E 推廣n個隨機變量： n i 1 5）兩個獨立隨機變量的期望 E E E ,E12 n E1 E2 En ,方差：D ,三、方差不標準差,1、離散型隨機變量,2、連續型隨機變量, ,方差：D, E E 2 x E 2 Pi ii, ,x E 2 xdx,標準差 ： D 3、方差和標準差都反映了隨機變量的可能值密集在數學 期望周圍的程度。方差值越小，密集程度越高；反之則方 差值較大。,P,C D, ,4、計算過程 利用公式求 E（）= 求 E（）2 求 E（）2 （ =xi） 2= 5、方差的性質 常數的方差為0 D（+C）= D（） D（ ）=C2 （） 兩個獨立變量 D（+ ）= D（）+D（ ） 推廣n個,例題,12名學生，3女，9男。任抽一人，如為女 生，則不放回，再抽一人，直到抽到男生 為止，求，抽到男生以前已抽出的女生人 數的數學期望與方差。,答案,=抽出女生數,P(=0)=9/12=0.75,P(=1)=3/12*9/11=0.2015,P(=2)=3/12*2/11*9/10=0.0409,P(=3