第十一章 機械振動機械振動機械振動機械振動簡諧運動的對稱性和周期性1對稱性(1)速率的對稱性：系統在關于平衡位置對稱的兩位置具有相等的速率。(2)加速度的對稱性：系統在關于平衡位置對稱的兩位置具有等大反向的加速度和回復力。(3)時間的對稱性：系統在通過關于平衡位置對稱的兩段位移的時間相等。通過振動過程中任意兩點A、B的時間與逆向通過的時間相等。2周期性做簡諧運動的物體經過一個周期或幾個周期后，能回復到原來的狀態，因此在處理實際問題中，要注意到多解的可能性。典例1一質點在平衡位置O附近做簡諧運動，從它經過平衡位置向右運動起開始計時，經0.13 s質點第一次通過M點，再經0.1 s質點第二次通過M點。(1)若M點在平衡位置右方，其振動周期是多少？(2)若M點在平衡位置左方，其振動周期又是多少？解析(1)將物理過程模型化，畫出具體化的圖象如圖甲所示。設質點從平衡位置O向右運動到M點，那么質點從O到M運動時間為0.13 s，再由M經最右端A返回M經歷時間為0.1 s，如圖乙所示。由圖可以看出MA歷時0.05 s，即由OMA歷時0.18 s，根據簡諧運動的對稱性可得T140.18 s0.72 s。(2)若M點在O點左方，如圖丙所示，質點由O點經最右方A點后向左經過O點到達M點歷時0.13 s，再由M點向左經最左端A點返回M點歷時0.1 s。由圖可以看出，由OAM歷時t1 0.13 s，由MA歷時t20.05 s，即OAMA歷時0.18 s，則T20.18 s，T20.24 s。答案(1)0.72 s(2)0.24 s簡諧運動的圖象及應用簡諧運動的圖象描述了振動質點的位移隨時間的變化規律。從圖象中可以確定位移、速度、加速度、動能和勢能等物理量以及它們的變化規律，具體分析如下：1可以確定振動物體在任一時刻的位移。如圖所示，對應t1、t2時刻的位移分別是x17 cm、x25 cm。2確定振動的振幅。圖中最大位移的值就是振幅。圖中所示的振幅是10 cm。3確定振動的周期和頻率，振動圖象上一個完整的正弦(余弦)圖形在時間軸上拉開的“長度”表示周期，由圖可知，OD、AE、BF的時間間隔都等于振動周期T0.2 s，頻率f5 Hz。4確定各時刻質點的振動方向(看臨近的下一時刻質點到達的位置)。例如：圖中t1時刻質點正遠離平衡位置運動；在t3時刻，質點正向著平衡位置運動。5比較各時刻質點的加速度(回復力)的方向和大小。例如：圖中t1時刻質點位移x1為正，則加速度a1為負，兩者方向相反；t2時刻，位移x2為負，則a2為正，又因為|x1|x2|，所以|a1|a2|。6比較不同時刻質點的勢能、動能的大小。質點離平衡位置的位移越大，它所具有的勢能越大，動能則越小，圖中t1時刻質點的勢能Ep1大于t2時刻的勢能Ep2，而動能則Ek1Ek2。典例2(多選)一質點做簡諧運動的振動圖象如圖所示，下列說法正確的是()A振動圖象上的A、B兩點振動物體的速度相同B在t0.1 s和t0.3 s時，質點的加速度大小相等，方向相反C振動圖象上A、B兩點的速度大小相等，方向相反D質點在t0.2 s和t0.3 s時的動能相等解析選BCA、B兩點位移相同，速度大小相等，但方向相反，因此A錯誤，C正確。t0.1 s和t0.3 s質點離開平衡位置的位移最大，方向相反，由Fkx，a可知，B正確。t0.2 s時，物體通過平衡位置，速度最大，動能最大；而t0.3 s時，速度為零，動能最小，故D錯誤。解決簡諧運動的物理思想方法1理想模型法彈簧振子是一種理想化模型，它忽略了彈簧的質量及摩擦力和空氣阻力。單擺是實際擺的理想化模型，忽略了繩的質量、粗細、伸縮及球的大小、空氣阻力等。這種理想化的近似可以使問題大為簡化，有利于對物理現象和物理規律的探究和認識。2圖象法圖象法是物理學中常用的一種思維方法，它能夠形象直觀地反映物理規律，幫助我們認識物理現象和解決物理問題。用圖象法研究物體的振動時，應注意物體振動的周期、振幅、相位等。3等效法本章有兩個重要的物理模型，分別是彈簧振子模型和單擺模型。凡是具有與它們相同運動規律的系統都可以等效為彈簧振子模型或單擺模型，可以用彈簧振子或單擺的有關知識分析。4對稱法由于簡諧運動具有周期性和對稱性，我們可以根據已知的一部分運動情況分析出其他階段的運動情況。典例3光滑的水平面疊放著質量分別為m和的兩木塊，下方木塊與一勁度系數為k的彈簧相連，彈簧的另一端固定在墻上，如圖所示。已知兩木塊之間的最大靜摩擦力為f，要使這兩個木塊組成的系統像一個整體一樣地振動，系統的最大振幅為()A. B. C. D.解析選C對質量為的木塊分析，隨質量為m的木塊一起做類似彈簧振子的簡諧運動，其最大加速度為a，即整體運動的最大加速度為a，則彈簧的最大彈力為kA(m)a解得A，C正確。典例4如圖所示，光滑圓弧槽半徑為R，A為最低點，C到A點的距離遠小于R，若同時釋放小球B、C，要使兩小球B和C在A點相遇(小球B和C可視為質點)，則小球B到A點的距離H應滿足什么條件？解析因為小球C到A點的距離遠小于R，所以C球沿圓弧做簡諧運動，此振動與一個擺長為R的單擺振動模型相同，故此擺等效擺長為R。C球從開始釋放至到達A點經歷的最短時間為，也可能是T或T即tC(2n1)(n0,1,2，)。其中T2。B球到達A點經歷的時間tB 。兩球相遇時，tBtC，所以 (2n1)(n0,1，2，)。故H應滿足HR(n0,1,2，)。答案HR(n0,1,2，)受迫振動與共振典例5(多選)如圖所示為單擺在兩次受迫振動中的共振曲線，下列說法正確的是()A若兩次受迫振動分別在月球上和地球上進行，且擺長相同，則圖線表示月球上單擺的共振曲線B若兩次受迫振動是在地球上同一地點進行，則兩次擺長之比l1l2254C圖線若是在地球上完成的，則該擺擺長約為1 mD若擺長均為1 m，則圖線是在地球上完成的解析選ABC題圖的圖線中振幅最大處對應頻率應與做受迫振動的單擺的固有頻率相等，從圖線上可以看出，兩擺的固有頻率f10.2 Hz，f20.5 Hz。根據周期公式可得f ，當兩擺分別在月球上和地球上做受迫振動且擺長相等時，g越大，f越大，所以g2g1，由于月球上的重力加速度比地球上的小，所以圖線表示月球上單擺的共振曲線，選項A正確；若兩次受迫振動是在地球上同一地點進行，則g相同，兩次擺長之比l1l2254，所以選項B正確；圖線若是在地球上完成的，將g9.8 m/s2和f20.5 Hz代入頻率的計算公式可解得l21 m，所以選項C正確，D錯誤。專題訓練1(多選)把一彈簧振子的彈簧拉長一些，然后由靜止釋放，0.5 s后振子經過平衡位置，則此彈簧振子的周期可能為()A1 s B2 sC0.55 s D0.4 s解析：選BD振子經0.5 s后回到平衡位置，可能是第一次回到平衡位置，也可能是第二次、第三次、第n次回到平衡位置。t0.5 s與周期有如下關系：t(n0,1,2，)。周期T s(n0,1,2，)。當n0時，T02 s；當n1時，T1 s0.667 s；當n2時，T20.4 s，因此B、D正確。2(多選)下列說法中正確的是()A有阻力的振動叫做受迫振動B物體振動時受到外力作用，它的振動就是受迫振動C物體在周期性外力作用下的振動叫做受迫振動D物體在周期性外力作用下振動，它的振動頻率最終等于驅動力頻率解析：選CD物體在周期性外力作用下的振動叫做受迫振動，選項C對，B錯；有阻力的振動叫做阻尼振動，選項A錯；受迫振動的頻率最終等于驅動力頻率，選項D對。3如圖所示，在光滑水平面上的彈簧振子，彈簧形變的最大限度為20 cm，圖示P位置是彈簧振子處于自然伸長的位置，若將振子m向右拉動5 cm后由靜止釋放，經0.5 s振子m第一次回到P位置，關于該彈簧振子，下列說法正確的是()A該彈簧振子的振動頻率為1 HzB若向右拉動10 cm后由靜止釋放，經過1 s振子m第一次回到P位置C若向左推動8 cm后由靜止釋放，振子m連續兩次經過P位置的時間間隔是2 sD在P位置給振子m任意一個向左或向右的初速度，只要位移不超過20 cm，總是經0.5 s速度就降為0解析：選D由題意知，該彈簧振子振動周期為T0.54 s2 s，且以后不再變化，即彈簧振子固有周期為2 s，振動頻率為0.5 Hz，所以B選項中應經過0.5 s第一次回到P位置，A、B選項錯誤；C選項中連續兩次經過P位置的時間間隔為半個周期，是1 s，C選項錯誤；根據簡諧運動中速度的變化規律易知，D選項正確。4(多選)一簡諧振子沿x軸振動，平衡位置在坐標原點。t0時刻振子的位移x0.1 m；t s時刻x0.1 m；t4 s時刻x0.1 m。該振子的振幅和周期可能為()A0.1 m， s B0.1 m,8 sC0.2 m， s D0.2 m,8 s解析：選ACD若振幅A0.1 m，T s，則 s為半個周期，從0.1 m 處運動到0.1 m處，符合運動實際，4 s s s為一個周期，正好返回0.1 m處，所以A對；若A0.1 m，T8 s， s只是T的，不可能由負的最大位移處運動到正的最大位移處，所以B錯；若A0.2 m，T s， s，振子可以由0.1 m 處運動到關于平衡位置的對稱位置，4 s s sT，振子可以由0.1 m處返回0.1 m處，所以C對；若A0.2 m，T8 s， s2，而sin，即兩個時間內，振子可以從0.1 m處運動到平衡位置，再從平衡位置運動到0.1 m 處，由正弦函數規律易知，再經 s又恰好能由0.1 m處運動到0.2 m 處后，再返回0.1 m處，所以D對。(時間：45分鐘滿分：100分)一、單項選擇題(本題共8小題，每小題4分，共32分)1單擺通過平衡位置時，小球受到的回復力()A指向地面 B指向懸點C數值為零 D垂直于擺線解析：選C做簡諧運動的小球，只有在離開平衡位置時才受到回復力，“平衡位置”的意義就是回復力為零的位置，C正確。2下列現象中，屬于共振現象的是()A雜技演員蕩秋千越蕩越高B下雨前雷聲隆隆不絕C在山谷里說話有回聲D湖面上的樹葉隨水波蕩漾解析：選A雜技演員用周期性外力驅動，使秋千越蕩越高，且驅動力頻率恰好等于秋千的固定頻率，屬于共振現象；B、C都屬于聲音的反射，D是受迫振動。3如圖所示為某質點在04 s內的振動圖象，則()A質點振動的振幅是4 mB質點振動的頻率為4 HzC質點在4 s內經過的路程為8 mD質點在t1 s到t3 s的時間內，速度先沿x軸正方向后沿x軸負方向，且速度先增大后減小解析：選C由題圖可知質點振動的振幅A2 m，周期T4 s，則頻率f0.25 Hz，選項A、B錯誤；質點在4 s內經過的路程s4A8 m，選項C正確；質點從t1 s到t3 s的時間內，速度一直沿x軸負方向，選項D錯誤。4做簡諧運動的單擺擺長不變，若擺球質量增加為原來的4倍，擺球經過平衡位置時速度減小為原來的，則單擺振動的()A頻率、振幅都不變B頻率、振幅都改變C頻率不變，振幅改變D頻率改變，振幅不變解析：選C單擺振動的頻率只與擺長和所在地的重力加速度有關，與質量、振幅大小無關，題中單擺振動的頻率不變；單擺振動過程中機械能守恒，振子在平衡位置的動能等于其在最大位移處的勢能，因此，題中單擺的振幅改變，選項C正確。5脫水機把衣服脫水完畢后切斷電源，電動機還要轉一會兒才能停下來，在這一過程中，發現脫水機在某一時刻振動得很劇烈，然后又慢慢振動直至停止運轉，其中振動很劇烈的原因是()A脫水機沒有放平穩B電動機在這一時刻轉快了C電動機在這一時刻的轉動頻率跟脫水機的固有頻率相近或相等D是脫水機出現了故障解析：選C由于電動機的轉動，使脫水機做受迫振動。而切斷電源后電動機轉動的頻率是逐漸變慢的，當它的頻率接近或等于脫水機的固有頻率時，發生共振現象，C正確。6兩個彈簧振子，甲的固有頻率是100 Hz，乙的固有頻率是400 Hz，若它們均在頻率是300 Hz的驅動力作用下做受迫振動，則振動穩定后()A甲的振幅較大，振動頻率是100 HzB乙的振幅較大，振動頻率是300 HzC甲的振幅較大，振動頻率是300 HzD乙的振幅較大，振動頻率是400 Hz解析：選B振動穩定后，受迫振動的頻率等于驅動力頻率，選項A、D錯；由于乙的固有頻率更接近驅動力頻率，所以乙的振幅較大，選項B對，C錯。7某同學在研究單擺的受迫振動時，得到如圖所示的共振曲線。橫軸表示驅動力的頻率，縱軸表示穩定時單擺振動的振幅。已知重力加速度為g，下列說法中正確的是()A由圖中數據可以估算出擺球的擺長B由圖中數據可以估算出擺球的質量C由圖中數據可以估算出擺球的最大動能D如果增大該單擺的擺長，則曲線的峰將向右移動解析：選A從單擺的共振曲線可以得出單擺的固有頻率，單擺的固有頻率等于振幅最大時的驅動力的頻率，根據單擺的頻率可以計算出單擺的周期，根據單擺的周期公式可以算出單擺的擺長，選項A正確；從單擺的周期無法計算出單擺的擺球質量和擺球的最大動能，選項B、C錯誤；如果增大單擺的擺長，單擺的周期增大，頻率減小，曲線的峰將向左移動，選項D錯誤。8某質點做簡諧運動，其位移與時間的關系式為：x3sin(t) cm，則下列說法不正確的是()A質點的振幅為3 cmB質點振動的周期為3 sC質點振動的周期為 sDt0.75 s時刻，質點回到平衡位置解析：選C由x3sin(t) cm可知，A3 cm，T3 s，A、B正確，C錯誤；將t0.75 s代入關系式中可得：x0，故t0.75 s時，質點回到平衡位置，D正確。二、多項選擇題(本題共6小題，每小題4分，共24分)9一物體做受迫振動，驅動力的頻率小于該物體的固有頻率。當驅動力的頻率逐漸增大到一定數值的過程中，該物體的振幅可能()A逐漸增大B逐漸減小C先逐漸增大，后逐漸減小D先逐漸減小，后逐漸增大解析：選AC當驅動力的頻率等于固有頻率時，做受迫振動的物體發生共振現象，振幅最大。由于沒有說明驅動力的頻率最后的情況，因此A、C選項都有可能。10如圖甲所示，小球在內壁光滑的固定半圓形軌道最低點附近做小角度振動，其振動圖象如圖乙所示，以下說法正確的是()At1時刻小球速度為零，軌道對它的支持力最小Bt2時刻小球速度最大，軌道對它的支持力最小Ct3時刻小球速度為零，軌道對它的支持力最大Dt4時刻小球速度最大，軌道對它的支持力最大解析：選AD小球在t1和t3時刻，位移最大，小球速度為零，軌道對小球支持力最小；在t2和t4時刻，位移為零，小球速度最大，軌道對小球的支持力最大。A、D正確。11如圖所示，在一條張緊的繩上掛7個擺，先讓A擺振動起來，則其余各擺也隨之振動，已知A、B、F三擺的擺長相同，則下列判斷正確的是()A7個擺的固有頻率都相同B振動穩定后7個擺的振動頻率都相同CB、F擺的擺長與A擺相同，它們的振幅最大D除A擺外，D、E擺離A擺最近，它們的振幅最大解析：選BC7個擺的擺長不完全相同，固有頻率不相同，選項A錯；A擺振動起來后，帶動其余6個擺做受迫振動，振動穩定后7個擺的振動頻率都相同，選項B對；B、F擺的擺長與A擺相同，發生共振，選項C對，D錯。12一個彈簧振子在光滑的水平面上做簡諧運動，其中有兩個時刻彈簧對振子的彈力大小相等，但方向相反，那么這兩個時刻彈簧振子的()A速度一定大小相等，方向相反B加速度一定大小相等，方向相反C位移一定大小相等，方向相反D以上三項都不對解析：選BC由彈簧振子的運動規律知，當彈簧彈力大小相等、方向相反時，這兩時刻振子的位移大小相等、方向相反，加速度大小相等、方向相反，B、C正確；由于物體的運動方向在兩時刻可能為同向，也可能為反向，故A錯誤。13.如圖所示為某質點沿x軸做簡諧運動的圖象，下列說法中正確的是()A在t4 s時質點速度最大，加速度為0B在t1 s時，質點的速度達到最大值C在0到1 s時間內，質點速度和加速度方向相同D在t2 s時，質點的位移沿x軸負方向，加速度也沿x軸負方向解析：選BCt4 s時質點位于正的最大位移處，加速度值最大，A錯誤；在t1 s時質點位于平衡位置，速度達到最大，B正確；在0到1 s時間內，質點速度和加速度方向均為x軸負方向，C正確；在t2 s時加速度指向平衡位置，位移沿x軸負方向，D錯誤。14如圖所示是甲、乙兩個單擺做簡諧運動的圖象，則下列說法中正確的是()A甲、乙兩擺的振幅之比為21Bt2 s時，甲擺的重力勢能最小，乙擺的動能為零C甲、乙兩擺的擺長之比為41D甲、乙兩擺擺球在最低點時向心加速度大小一定相等解析：選AB由題圖知甲、乙兩擺的振幅分別為2 cm、1 cm，故選項A正確；t2 s時，甲擺在平衡位置處，乙擺在振動的最大位移處，故選項B正確；由單擺的周期公式T2 ，得到甲、乙兩擺的擺長之比為14，故選項C錯誤；因擺球擺動的最大偏角未知，故選項D錯誤。三、非選擇題(本題共4小題，共44分)15(8分)根據單擺周期公式T2 ，可以通過實驗測量當地的重力加速度。如圖甲所示，將細線的上端固定在鐵架臺上，下端系一小鋼球，就做成了單擺。(1)用游標卡尺測量小鋼球直徑，示數如圖乙所示，讀數為_ mm。(2)(多選)以下是實驗過程中的一些做法，其中正確的有_。a擺線要選擇細些的、伸縮性小些的，并且盡可能長一些b擺球盡量選擇質量大些、體積小些的c為了使擺的周期大一些，以方便測量，開始時拉開擺球，使擺線相距平衡位置有較大的角度d拉開擺球，使擺線偏離平衡位置不大于5，在釋放擺球的同時開始計時，當擺球回到開始位置時停止計時，此時間間隔t即為單擺周期Te拉開擺球，使擺線偏離平衡位置不大于5，釋放擺球，當擺球振動穩定后，從平衡位置開始計時，記下擺球做50次全振動所用的時間t，則單擺周期T解析：(1)按照游標卡尺的讀數原則得小鋼球直徑為18 mm60.1 mm18.6 mm。(2)單擺的構成條件：細線質量要小，彈性要小；球要選體積小、密度大的；偏角不超過5，a、b正確，c錯誤；為了減小測量誤差，要從擺球擺過平衡位置時計時，且需測量多次全振動所用時間，然后取平均值計算出一次全振動所用的時間，d錯誤，e正確。答案：(1)18.6(2)abe16(10分)如圖所示是一個單擺的共振曲線。(1)若單擺所處環境的重力加速度g取9.8 m/s2，試求此擺的擺長；(2)若將此單擺移到高山上，共振曲線的“峰”將怎樣移動？解析：(1)由題圖知，單擺的固有頻率f0