淺談數值分析在數學建模中的應用摘要：摘要為了滿足科技發展對科學研究和工程技術人員用數學理論解決實際的能力的要求，討論了數值分析在數學建模中的應用。數值分析不僅應用模型求解的過程中，它對模型的 .關鍵詞：數學,工程類別：專題技術來源：牛檔搜索（Niudown.COM）本文系牛檔搜索（Niudown.COM）根據用戶的指令自動搜索的結果，文中內涉及到的資料均來自互聯網，用于學習交流經驗，作品其著作權歸原作者所有。不代表牛檔搜索（Niudown.COM）贊成本文的內容或立場，牛檔搜索（Niudown.COM）不對其付相應的法律責任！6淺談數值分析在數學建模中的應用韓玉桃 白洋 田露 劉徳錚(1天津商業大學理學院，天津 300134 2天津商業大學理學院，天津，300134)摘要 為了滿足科技發展對科學研究和工程技術人員用數學理論解決實際的能力的要求，討論了數值分析在數學建模中的應用。數值分析不僅應用模型求解的過程中，它對模型的建立也具有較強的指導性。研究數值分析中插值擬合，解線性方程組，數值積分等方法在模型建立、求解以及誤差分析中的應用，使數值分析作為一種工具更好的解決實際問題。關鍵詞 數值分析；數學建模；線性方程組；微分方程1. 引言數值分析主要介紹現代科學計算中常用的數值計算方法及其基本原理，研究并解決數值問題的近似解，是數學理論與計算機和實際問題的有機結合1。隨著科學技術的迅速發展，運用數學方法解決科學研究和工程技術領域中的實際問題，已經得到普遍重視。數學建模是數值分析聯系實際的橋梁。在數學建模過程中，無論是模型的建立還是模型的求解都要用到數值分析課程中所涉及的算法,如插值方法、最小二乘法、擬合法等，那么如何在數學建模中正確的應用數值分析內容，就成了解決實際問題的關鍵。2. 數值分析在模型建立中的應用在實際中，許多問題所研究的變量都是離散的形式，所建立的模型也是離散的。例如，對經濟進行動態的分析時，一般總是根據一些計劃的周期期末的指標值判斷某經濟計劃執行的如何。有些實際問題即可建立連續模型，也可建立離散模型，但在研究中，并不能時時刻刻統計它，而是在某些特定時刻獲得統計數據。例如，人口普查統計是一個時段的人口增長量，通過這個時段人口數量變化規律建立離散模型來預測未來人口。另一方面，對常見的微分方程、積分方程為了求解，往往需要將連續模型轉化成離散模型。將連續模型轉化成離散模型，最常用的方法就是建立差分方程。以非負整數表示時間，記為變量在時刻的取值，則稱為的一階差分，稱為的二階差分。類似課求出的階差分。由，及的差分給出的方程稱為差分方程2。例如在研究節食與運動模型時，發現人們往往采取節食與運動方式消耗體內存儲的脂肪，引起體重下降，達到減肥目的。通常制定減肥計劃以周為時間單位比較方便，所以采用差分方程模型進行討論。記第周末體重為，第周吸收熱量為，熱量轉換系數，代謝消耗系數，在不考慮運動情況下體重變化的模型為2，增加運動時只需將改為，由運動的形式和時間決定。 此外，在研究經濟變化趨勢，人口增長等問題時，都要按照一定的周期建立差分模型。這樣，連續模型就通過數值分析中研究的對象差分方程，轉化成離散模型，簡化了求解過程。3.數值分析在模型求解中的應用3.1插值法和擬合法在模型求解中的應用3.1.1擬合法求解在數學建模中，我們常常建立了模型，也測量了（或收集了）一些已知數據，但是模型中的某些參數是未知的，此時需要利用已知數據去確定有關參數，這個過程通常通過數據擬合來完成。最小二乘法是數據擬合的基本方法。其基本思想就是：尋找最適合的模型參數，使得由模型給出的計算數據與已知數據的整體誤差最小。假設已建立了數學模型，其中，是模型參數。已有一組已知數據，用最小二乘確定參數，使最小。函數稱為數據的最小二乘擬合函數。如果模型函數具有足夠的可微性，則可用微分方程法解出。最合適的應滿足必要條件。3.1.2插值法求解在實際問題中，我們經常會遇到求經驗公式的問題，即不知道某函數的具體表達式，只能通過實驗測量得到該函數在一些點的函數值，即已知一部分精確的函數值數據，。要求一個函數 ， （2）這就是插值問題。函數稱為的插值函數。稱為插值節點，式（2）稱為插值條件2。多項式插值是最常用的插值方法，在工程計算中樣條插值是非常重要的方法。3.2模型求解中的解線性方程組問題在線性規劃模型的求解過程中，常遇到線性方程組求解問題。線性方程組求解是科學計算中用的最多的，很多計算問題都歸結為解線性方程組，利用計算機求解線性方程組的方法是直接法和迭代法。直接法基本思想是將線性方程組轉化為便于求解的三角線性方程組，再求三角線性方程組，理論上直接在有限步內求得方程的精確解，但由于數值運算有舍入誤差，因此實際計算求出的解仍然是近似解，仍需對解進行誤差分析。直接法不適用求解的線性方程組，因此當時，可以采用迭代法進行求解。迭代法先要構造迭代公式，它與方程求根迭代法相似，可將線性方程組改寫成便于迭代的形式。迭代計算公式簡單，易于編制計算程序，通常都用于解大型稀疏線性方程組。求解線性方程組的一般設計思想如下，假設建立一個線性規劃模型其中，即，可將改寫為迭代的形式并由此構造迭代法其中,稱為迭代矩陣。將按不同方式分解，就得到不同的迭代矩陣,也就的帶不同的迭代法，例如Jacobi迭代法 5、高斯-賽德爾迭代法5、超松弛迭代法等。 由于計算過程中有舍入誤差，為防止誤差增大，就要求所使用的迭代法具有穩定性，即迭代收斂，收斂速度越快，誤差越小。若中，1，則認為此迭代法收斂。超松弛迭代法是利用松弛技術加快收斂的典型，它有重要的實際價值，但必須選擇較佳的松弛因子，雖有求最佳松弛因子的理論公式，但通常還要依賴于實際經驗。3.3數值積分在模型求解中的應用模型求解過程中可能遇到積分求解問題，用求積公式，使定積分計算變得簡單，但在實際應用中很多被積函數找不到用解析時表示的原函數，例如，或者即使找到表達式也極其復雜。另外，當被積函數是列函數，其原函數沒有意義，因此又將計算積分歸結為積函數值的加權平均值。假設，則積分的計算公式5為，稱其為機械求積公式，其中（）稱為求積節點，與無關，稱為求積系數或權數，機械求積公式是將計算積分歸結為計算節點函數值的加權平均，即取得到的。由于這類公式計算極其便捷，是計算機計算積分的主要方法，構造機械求積公式就轉化為求參數及的代數問題。3.4數值分析在求解微分方程中的應用 在數學建模中，所建立的模型很多時候是常微分方程或者偏微分方程，這些方程求解析解是很困難的，而且即使能夠求得解析解，由于所用數據的誤差得到的解也是近似值，所以大部分情況下會采取數值的方法進行求解。例如在常微分方程求解中，將原方程離散后，用迭代的方法求解；在偏微分方程的求解中，常常利用有限差分方法和有限元方法對方程進行離散，進而求得方程的數值解。4.誤差分析誤差分析使數學建模的結果更加準確。數學模型與實際問題之間出現的誤差稱為模型誤差。在數學模型中往往包含了若干參變量，這些量往往是通過觀察得到的，因此也帶來了誤差，這種誤差稱為觀察誤差4。這些誤差是不可避免的，所以我們只能在模型建立和模型求解中避免誤差擴大。目前已經提出的誤差分析方法有向前誤差分析法與向后誤差分析，區間分析法，及概率分析，但在實際誤差估計中均不可行。不能定量的估計誤差，因此在建模過程中更著重誤差的定性分析，也就是算法的穩定性分析。一個算法如果原始數據有誤差，而計算過程舍入誤差不增長，則稱此算法是數值穩定的，否則，若誤差增長，則稱算法是不穩定的。在誤差分析中，首先要分清問題是否病態和算法是否穩定，計算時還要盡量避免誤差危害。為了防止有效數字的損失，應該注意下面若干原則：一是避免用絕對值小的數作除數；二是避免數值接近相等的兩個近似值相減，這樣會導致有效數字嚴重損失；三是注意運算次序，防止“大數”吃“小數”，如多個數相加減，應按照絕對值由小到大的次序運算；四是簡化步驟，減少算術運算的次數。5.結論 隨著電子計算機的迅速發展、普及以及新型數值軟件的不斷開發,數值分析的理論和方法無論是在高科技領域還是在傳統學科領域，其作用和影響都越來越大，實際上它已成為科學工作者和工程技術人員必備的知識和工具，所以把數值分析的知識正確的應用到數學建模中去不僅是一種趨勢，更是用數學的理論解決實際問題的關鍵。參考文獻：1鄭慧嬈,陳紹林,莫忠息,等.數值計算方法M.武漢:武漢大學出版社,2002.2陳東彥,李冬梅,王樹忠.數學建模M.北京:科學出版社,2007.3姜啟源,等.數學模型M.北京:高等教育出版社,2003.4李慶揚,王能超,易大義.數值分析M.4版.北京:清華大學出版社, 2001.5李慶揚.科學計算方法基礎M.4版.北京:清華大學出版社, 2005.the Application of Numerical Analysis in Methmetical ModelingHan Yu-tao Bai Yang Tian Lu Liu De-zheng（1 College of Science，Tianjin University of Commerce，Tianjin，3001342 College of Science，Tianjin University of Commerce，Tianjin，300134)Abstract In order to meet the technological scientific researchers who use mathematical theory to solve practical problems, the use of numerical analysis in mathematical modeling is discussed.Numerical analysis not only solve the model,but also relatively guide the model.Research on some numerical methods in nu