不定積分知識點復習,知識總述,原函數與不定積分概念,不定積分性質,不定積分基本解法,習題,小結,一, 知識總述,前面我們學習了一元函數微分學. 但在實際的科學領域中, 我們常常遇到與此相反的問題: 即尋求一個(可導)函數, 要求其導數等于一個已知函數. 這樣就產生了一元函數積分學. 積分學分為不定積分和定積分兩部分.,本章我們學習的是不定積分, 先從導數的逆運算引出不定積分的概念. 然后介紹了其性質, 最后系統地介紹一些常用的積分方法.,返回,不定積分的基本概念和性質-理解 基本積分公式-熟記 分部積分法和換元積分法-熟練運用,換元積分法-如何做變量代換 分部積分法-如何選取分部積分公式中的“u”和“v”,難點：,重點：,分部積分公式:,返回,基本要求,正確理解原函數和不定積分概念,熟記基本積分公式,熟練地運用換元積分法和分部積分法,能用待定系數法求基本的有理函數積分,返回,例,定義：,二, 原函數與不定積分概念,返回,若存在可導函數,對原函數的研究須討論解決下面兩個問題,(1) 是否任何一個函數都存在原函數？,考察如下的例子,關于原函數的說明：,返回,（左、右極限存在且相等）,而已知,這樣得到矛盾.,既然不是每一個函數都有原函數, 那么具備什么條件的函數才有原函數?,連續函數都有原函數.,對此我們有如下的結論:,返回,（2）原函數是否唯一? 若不唯一, 它們之間有 什么聯系?,若 ，則對于任意常數 ，,若 和 都是 的原函數，,則,（ 為任意常數）,返回,不定積分的定義：,為求不定積分,只須求出被積函數的一個原函數,再加上積分常數即可.,返回,例1 求,解:,解:,例2 求,返回,例3 設曲線通過點(1，2), 且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍, 求此曲線方程.,解:,設曲線方程為,根據題意知,由曲線通過點（1，2）,所求曲線方程為,返回,由不定積分的定義，可知,微分運算與求不定積分(不考慮后面的常數C )是逆運算。,結論：,返回,此性質可推廣到有限多個函數之和的情況,三, 不定積分的性質,返回,即線性組合的不定積分等于不定積分的線性組合.,注意到上式中有n個積分號, 形式上含有n個任意常數, 但由于任意常數的線性組合仍是任意常數, 故實際上只含有一個任意常數.,結合結論(1)與(2), 我們可以得到,返回,實例,提問: 能否根據求導公式得出積分公式？,既然積分運算和微分運算是互逆的, 因此可以根據求導公式得出積分公式.,四, 不定積分的基本解法,返回,基本積分表 ,是常數);,說明：,簡寫為,返回,返回,以上13個公式是求不定積分的基礎, 稱為基本積分表, 必須熟練掌握.,返回,例4 求積分,解:,根據積分公式（2）,返回,例5 求積分,解:,注,1, 從該題中我們可以看出熟記基本積分表的 重要性. 2, 檢驗積分結果是否正確, 只要把最后的結果 求導, 看其導數是否等于被積函數.,返回,(第一類換元法),例6 求積分,解:,原式,令u=2x+1,上式,返回,令,(第二類換元法),例7 求積分,那么,解:,原式,返回,考慮公式,(分部積分法),例8 求積分,那么,解:,原式,將,看做公式中的,看做公式中的,返回,例9 求積分,解: 原式,(有理函數積分法),返回,解:,所求曲線方程為,返回,說明,求不定積分時一定要加上積分常數, 它表明一個函數的原函數有無窮多個, 即要求的是全體原函數, 若不加積分常數則表示只求出了其中一個原函數.,寫成分項積分后, 積分常數可以只寫一個.,積分的結果在形式上可能有所不同, 但實質上 只相差一個常數.,返回,求下列不定積分.,五, 習題,返回,不定積分作為高等數學中的一個重要內容,前后連接著導數(或微分)與定積分的內容. 它既是求導思想的逆向運用, 也是定積分的基礎. 同時它本身在數學, 物理等領域的實際