5.1二次型的概念,稱為n元二次型.簡稱二次型。,每項都是二次的多項式稱為二次型（或二次齊式）,例如,都為實二次型；,2、二次型的表示方法,例1、將二次型,用矩陣表示。,3、二次型的矩陣及秩,在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型， 就唯一地確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對 稱矩陣，也可唯一地確定一個二次型這樣，二 次型與對稱矩陣之間存在一一對應的關系,解,例2,4、合同變換,設有一個可逆的線性變換，,定義5.2. 對于n階矩陣A和B,如果存在n階可逆矩陣C,使得B=CTAC,就稱A合同于B,記作AB，對A進行運算稱為對A進行合同變換.,矩陣間的合同關系具有反身性,對稱性,和傳遞性.,為二次型的標準形.,5.2 化二次型為標準型,例如,若標準形的系數只取1，-1，0，即,稱為二次型的規范形。,要使二次型 經可逆線性變換x=Cy化為標準形,就是要使,因此，化二次型為標準形就是對于對稱矩陣A尋找可逆矩陣C，使與A合同的矩陣CTAC為對角陣。,1 正交變換法,定理5.1,對于任一個n元二次型,總有正交變換x=Py(P為n階正交矩陣），使 f(x1,x2,xn)化為標準形,常見的化二次型為標準形的方法,其中1, 2， n是實對稱矩陣A的特征值，P的n個列向量p1,p2,pn是A的對應于特征值1, 2， n的兩兩正交的單位特征向量.,推論5.1,對于任一個n元二次型,總有可逆線性變換x=Cz，使f(Cz)為規范形。,用正交變換化二次型為標準形的具體步驟,解,1寫出對應的二次型矩陣，并求其特征值,例3,從而得特征值,2求特征向量,3將特征向量正交化,得正交向量組,4將正交向量組單位化，得正交矩陣,于是所求正交變換為,2 配方法,例5、化二次型為標準形,解：將 的項歸并起來，得,令,經過可逆線性變換,將二次型化為標準型：,例5、化二次型為標準形,解,f不含平方項，含有x1,x2的乘積項，因此先用代換產生平方項,再配方，得,則有,令,所求得可逆變換矩陣為,說明：用配方的方法化二次型為標準型方法： 1）、若二次型不含平方項，僅含乘積項，先引入代換產生平方項后，再配方； 2）、若二次型含平方項，集中含有平方項的某一個變量所有項的平方，對余下的變量同樣進行配方作平方和。 注：用配方法作的變換是可逆變換，但是不一定是正交變換，因此標準型中平方項前的系數不一定是特征值。,思考題,思考題解答,一個實二次型，既可以通過正交變換化為標 準形，也可以通過拉格朗日配方法化為標準形， 顯然，其標準形一般來說是不唯一的，但標準形 中所含有的項數是確定的，項數等于二次型的秩,下面我們限定所用的變換為實變換，來研究 二次型的標準形所具有的性質,5.3 正定二次型,1、慣性定理,2、正(負)定二次型的概念,例如,為正定二次型,為負定二次型,證明,充分性,故,3、正(負)定二次型的判別,必要性,故,推論 對稱矩陣 為正定的充分必要條件是： 的特征值全為正,證畢.,解,二次型的矩陣為,用特征值判別法.,故此二次型為正定二次型.,即知 是正定矩陣，,這個定理稱為霍爾維茨定理,定理3 對稱矩陣 為正定的充分必要條件是： 的各階主子式為正，即,對稱矩陣 為負定的充分必要條件是：奇數階主 子式為負，而偶數階主子式為正，即,正定矩陣具有以下一些簡單性質,解,它的順序主子式,故上述二次型是正定的.,解,2. 正定二次型（正定矩陣）的判別方法：,(1)定義法；,(2)順次主子式判別法；,(3)特征值判別法.,四、小結,1. 正定二次型的概念，