目 錄 Contents,考情精解讀,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,A.知識(shí)全通關(guān),B.題型全突破,C.能力大提升,考法1,考法2,考法4,考法3,方法,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,考情精解讀,考綱解讀,命題趨勢(shì),命題規(guī)律,數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義. 2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系. 3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算. 4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系. 5.會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題. 6.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題.,考綱解讀,命題規(guī)律,命題趨勢(shì),數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,考綱解讀,命題規(guī)律,返回目錄,1.熱點(diǎn)預(yù)測(cè) 預(yù)計(jì)高考對(duì)本講內(nèi)容的考查以向量的模、夾角及數(shù)量積為主;以向量數(shù)量積的運(yùn)算為載體,綜合三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)進(jìn)行考查,是一種新的趨勢(shì),復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)予以關(guān)注.以客觀題為主,有時(shí)出現(xiàn)在解答題中.分值512分. 2.趨勢(shì)分析 以圖形、三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)為載體,考查數(shù)量積的定義和應(yīng)用,這是2018年高考命題的主要趨勢(shì).,命題趨勢(shì),數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,知識(shí)全通關(guān),考點(diǎn)一 平面向量的數(shù)量積,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,3.平面向量數(shù)量積的幾何意義 (1)一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影 設(shè)是a,b的夾角,則|b|cos 叫作向量b在向量a的方向上的投影,|a|cos 叫作向量a在向量b的方向上的投影. (2)ab的幾何意義 數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積. 注意 投影和兩向量的數(shù)量積都是數(shù)量,不是向量.,【規(guī)律總結(jié)】,設(shè)兩個(gè)非零向量a與b的夾角為,則 =0cos =1,ab=|a|b|; =180cos =-1,ab=-|a|b|; 為銳角ab0且向量a,b不共線; 為鈍角ab0且向量a,b不共線; 為直角cos =0,ab=0.,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,繼續(xù)學(xué)習(xí),考點(diǎn)2 數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律,數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,【辨析比較】,實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量數(shù)量積運(yùn)算的區(qū)別和聯(lián)系 1.在實(shí)數(shù)運(yùn)算中,若ab=0,則a與b中至少有一個(gè)為0.而在向量數(shù)量積的運(yùn)算中,不能從ab=0推出a=0或b=0成立.實(shí)際上由ab=0可推出以下四種結(jié)論: (1)a=0,b=0;(2)a=0,b0;(3)a0,b=0;(4)a0,b0,但ab. 2.在實(shí)數(shù)運(yùn)算中,若a,bR,則|ab|=|a|b|,但對(duì)于向量a,b,卻有|ab|a|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立.這是因?yàn)閨ab|=|a|b|cos |,而|cos |1.,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,3.實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足消去律:若bc=ca,c0,則b=a.在向量數(shù)量積的運(yùn)算中,若ab=ac(a0),則向量c,b在向量a的方向上的投影相同,而不能由ab=ac(a0)得到b=c. 4.實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足乘法結(jié)合律,但向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律,即(ab)c不一定等于a(bc),這是由于(ab)c表示一個(gè)與c共線的向量,a(bc)表示一個(gè)與a共線的向量,而c與a不一定共線.,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,3.實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足消去律:若bc=ca,c0,則b=a.在向量數(shù)量積的運(yùn)算中,若ab=ac(a0),則向量c,b在向量a的方向上的投影相同,而不能由ab=ac(a0)得到b=c. 4.實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足乘法結(jié)合律,但向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律,即(ab)c不一定等于a(bc),這是由于(ab)c表示一個(gè)與c共線的向量,a(bc)表示一個(gè)與a共線的向量,而c與a不一定共線.,3.實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足消去律:若bc=ca,c0,則b=a.在向量數(shù)量積的運(yùn)算中,若ab=ac(a0),則向量c,b在向量a的方向上的投影相同,而不能由ab=ac(a0)得到b=c. 4.實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足乘法結(jié)合律,但向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律,即(ab)c不一定等于a(bc),這是由于(ab)c表示一個(gè)與c共線的向量,a(bc)表示一個(gè)與a共線的向量,而c與a不一定共線.,3.實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足消去律:若bc=ca,c0,則b=a.在向量數(shù)量積的運(yùn)算中,若ab=ac(a0),則向量c,b在向量a的方向上的投影相同,而不能由ab=ac(a0)得到b=c. 4.實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足乘法結(jié)合律,但向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律,即(ab)c不一定等于a(bc),這是由于(ab)c表示一個(gè)與c共線的向量,a(bc)表示一個(gè)與a共線的向量,而c與a不一定共線.,3.實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足消去律:若bc=ca,c0,則b=a.在向量數(shù)量積的運(yùn)算中,若ab=ac(a0),則向量c,b在向量a的方向上的投影相同,而不能由ab=ac(a0)得到b=c. 4.實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足乘法結(jié)合律,但向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律,即(ab)c不一定等于a(bc),這是由于(ab)c表示一個(gè)與c共線的向量,a(bc)表示一個(gè)與a共線的向量,而c與a不一定共線.,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,考點(diǎn)三 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),為向量a,b的夾角.,【易錯(cuò)提醒】,1.當(dāng)ab0時(shí),cos 0,則是銳角或=0(此時(shí)cos =1). 2.當(dāng)ab0時(shí),cos 0,則是鈍角或=180(此時(shí)cos =-1).,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,繼續(xù)學(xué)習(xí),考點(diǎn)四 平面向量應(yīng)用舉例,數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,1.向量在平面幾何中的應(yīng)用 基于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景,平面幾何圖形的許多性質(zhì),如全等、相似、平行、垂直等都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來. 2.平面向量在物理中的應(yīng)用 (1)由于物理中的力、速度、位移都是向量,所以它們的分解與合成可以用向量的加法或減法來解決. (2)物理中的功W是一個(gè)標(biāo)量,它是力F與位移s的數(shù)量積,即W=Fs=|F|s|cos .,題型全突破,考法1 平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,繼續(xù)學(xué)習(xí),考法指導(dǎo) 1.利用坐標(biāo)計(jì)算數(shù)量積 第一步,欲計(jì)算兩個(gè)向量的數(shù)量積,先根據(jù)共線、垂直等條件計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo),求解過程要注意方程思想的應(yīng)用;第二步,根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式進(jìn)行運(yùn)算即可. 2.根據(jù)定義計(jì)算數(shù)量積 求向量a,b的數(shù)量積ab,有以下兩種思路: (1)若兩向量共起點(diǎn),則兩向量的夾角直接可得,根據(jù)定義即可求得數(shù)量積;若兩向量的起點(diǎn)不同,需要通過平移使它們的起點(diǎn)重合,然后再計(jì)算. (2)根據(jù)圖形之間的關(guān)系,用長(zhǎng)度和相互之間的夾角都已知的向量分別表示出向量a,b,然后再根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義進(jìn)行計(jì)算求解. 3.根據(jù)數(shù)量積求參數(shù)的值 若已知兩平面向量的數(shù)量積,則根據(jù)坐標(biāo)公式或定義列出含有參數(shù)的方程,再解方程即可.,數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,繼續(xù)學(xué)習(xí),點(diǎn)評(píng) 解法一直接利用了向量數(shù)量積的定義,將所求問題放在一個(gè)直角三角形中來求解,求解時(shí)注意兩向量夾角的選取;解法二抓住了“三向量模的平方和”與“三向量?jī)蓛蓴?shù)量積的和”之間的關(guān)系.相對(duì)來說解法二更加簡(jiǎn)捷,原因就在于解法二從整體上把握了已知與所求之間的關(guān)系.,數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,返回目錄,化學(xué) 有機(jī)化學(xué)基礎(chǔ)（選修五）,【突破攻略】,1.解決涉及幾何圖形的向量數(shù)量積運(yùn)算問題時(shí),一定要注意向量的夾角與已知平面角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ). 2.兩向量a,b的數(shù)量積ab與代數(shù)中a,b的乘積寫法不同,不應(yīng)該漏掉其中的“”,繼續(xù)學(xué)習(xí),考法指導(dǎo) 1.兩向量垂直的判斷方法及應(yīng)用 (1)若a,b為非零向量,則abab=0;若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則abx1x2+y1y2=0; (2)一對(duì)向量垂直與向量所在的直線垂直是一致的,向量的線性運(yùn)算與向量的坐標(biāo)運(yùn)算是求解向量問題的兩大途徑. 注意 向量垂直問題體現(xiàn)了“形”與“數(shù)”的相互轉(zhuǎn)化,可用來解決幾何中的線線垂直問題.,考法2 向量數(shù)量積的應(yīng)用,數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,考法指導(dǎo) 用向量法解決平面幾何問題,一般來說有兩個(gè)方法: (1)幾何法:選取適當(dāng)?shù)幕?基底中的向量盡量已知模或夾角),將題中涉及的向量用基底表示,利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算; (2)坐標(biāo)法:建立平面直角坐標(biāo)系,實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化,將幾何問題中的長(zhǎng)度、垂直、平行等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算. 一般地,存在坐標(biāo)系或易建坐標(biāo)系的題目適合用坐標(biāo)法.,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,考法3 向量在平面幾何中的應(yīng)用,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,【突破攻略】,在運(yùn)用向量處理平面幾何問題時(shí),應(yīng)注意以下幾個(gè)方面: (1)運(yùn)用向量加減的幾何意義; (2)運(yùn)用數(shù)乘向量來處理平行問題; (3)運(yùn)用向量的數(shù)量積來處理夾角或垂直的問題.,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,考法指導(dǎo) 平面向量的數(shù)形結(jié)合性讓它在物理學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用,主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面: (1)力、速度、加速度、位移等都是向量,它們的合成與分解就是向量的加、減法,運(yùn)動(dòng)的疊加亦用到向量的合成; (2)動(dòng)量mv是數(shù)乘向量; (3)功是力F與所產(chǎn)生位移s的數(shù)量積.,繼續(xù)學(xué)習(xí),考法4 向量在物理中的應(yīng)用,數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,考法示例6 質(zhì)量為m的物體靜止地放在斜面上,斜面與水平面的夾角為,求斜面對(duì)物體的摩擦力和支持力的大小. 思路分析 圖5-3-8 物體共受三個(gè)力,在三個(gè)力作用下保持平衡,即它們的合力為0,然后利用物理知識(shí)和向量的運(yùn)算求解. 解析 如圖5-3-8所示,物體受三個(gè)力:重力G(豎直向下,大小為mg),斜面對(duì)物體的支持力F (垂直于斜面,向上,大小為|F|),摩擦力f(與斜面平行,向上,大小為|f|). 由于物體靜止,故這三個(gè)力平衡,合力為0,即G+F+f=0.,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,記垂直于斜面向下、大小為1 N的力為e1,平行于斜面向下、大小為1 N的力為e2,以e1,e2為基底,則F=(-|F|,0), f=(0,-|f|), 由圖知e1與G的夾角為,則G=(mgcos ,mgsin ). 由,得G+F+f=(mgcos -|F|,mgsin -|f|)=(0,0), 所以mgcos -|F|=0,mgsin -|f|=0. 故|F|=mgcos ,|f|=mgsin . 點(diǎn)評(píng) 當(dāng)三個(gè)力成平衡狀態(tài)時(shí),這三個(gè)力之和等于零向量,其中兩個(gè)向量的和與第三個(gè)向量是相反向量,這樣就可以把三個(gè)力的向量表示納入到一個(gè)平行四邊形或者三角形中,通過運(yùn)用平行四邊形或三角形的知識(shí)解決問題.,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,考法指導(dǎo) 平面向量常與幾何問題、三角函數(shù)、解三角形等問題綜合起來考查,解題關(guān)鍵是把向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量的有關(guān)運(yùn)算,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算,進(jìn)而利用相關(guān)知識(shí)求解.,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,考法5 向量的綜合應(yīng)用,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,能力大提升,思想方法 巧解平面向量題的5種方法,繼續(xù)學(xué)習(xí),向量是既有大小又有方向的量,具有幾何和代數(shù)形式的“雙重性”,常作為工具來解決其他知識(shí)模塊的問題.在歷年高考中都會(huì)對(duì)該部分內(nèi)容進(jìn)行考查,解決這些問題多可利用平面向量的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行解決.基于平面向量的雙重性,一般可以從兩個(gè)角度進(jìn)行思考:一是利用其“形”的特征,將其轉(zhuǎn)化為平面幾何的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行解決;二是利用其“數(shù)”的特征,通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的有關(guān)問題進(jìn)行解決.下面對(duì)遼寧的一道高考試題采用5種不同的求解方法進(jìn)行解答.,數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,返回目錄,數(shù)學(xué) 第五章第三講 平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用,解法一 目標(biāo)不等式法,繼續(xù)學(xué)習(xí),解析 取向量a,b作為平面向量的一組基底,設(shè)c