1.哈代的數學觀及其當代數學教育意義1兼論我國中小學國家數學課程標準的修改與完善徐文彬，楊玉東（1.南京師范大學教育科學學院，江蘇南京210097；2.華東師范大學數學系，上海200062）摘要：辨證地理解.哈代的數學觀，對當代數學教育和修訂我國的國家數學課程標準極具啟發意義。關于數學對象，哈代持極端的實在論觀點，它有利于理解數學“主觀的”客觀實在性；關于數學本質，哈代持極端的完美主義，它有利于理解“為數學而數學”的理性追求和理性批判精神；關于數學證明，哈代持“內部的”和“外部的”兩種證明的觀點，它有利于理解數學的“整體觀”和“文化功能”。關鍵詞：數學的對象，數學的本質，數學證明，國家數學課程標準中圖分類號：G423文獻標志碼：A.哈代1877年2月7日生于英國薩里郡克蘭利地區的一個教師家庭，1947年12月1日病逝于劍橋大學他是數學史上“劍橋分析學派”后期以分析為目的的“純數學學派”的領袖人物之一1他在解析數論、調和分析和函數論等諸多領域都做出了巨大貢獻；而且，經由他創立的一些重要數學方法2現已滲透到其他數學分支或領域不僅如此，哈代還對數學的對象、本質、意義和價值等進行了深入、細致的研究，對從19世紀后期開始的數學純粹化趨勢起到了推波助瀾的作用這種數學純粹化趨勢及其結果不僅影響了20世紀中后期的世界數學教育，而且還對當今世界的數學教育改革發揮著巨大的潛在作用因此，要理解20世紀上半葉作為一種文化現象的純數學的發展對數學教育的影響3，研究哈代的數學觀及其當代數學教育意義是不無裨益的關于數學的對象關于數學的對象，哈代所持有的觀點是極端的實在論或柏拉圖主義者的觀念4他認為，“數學實在（即數學的對象）存在于我們之外，我們的作用是去發現或觀察它，那些被夸張地描述成我們的創造物的定理，僅僅是我們觀察的記錄”5他甚至還認為，“當我們知道了一個定理，我們就是知道了某種東西，某種客觀的東西；當我們相信了一個定理，我們就是相信了某種東西；至于我們相信的東西究竟正確與否，那是無所謂的”6而恩格斯則認為，“純數學的對象是現實世界的空間形式和數量關系，所以是非常現實的材基金項目：全國教育科學“十五”規劃重點課題（BHA010079）作者簡介：徐文彬（1966），男，安徽宣城人，南京師范大學教育科學學院副教授，主要從事數學課程與教學論研究。2料”7由此可見，哈代的觀點與恩格斯的看法不無一致之處：（純）數學的對象是外在于我們的（現實世界的）存在，即事物的量任何事物都是質與量的統一體，既沒有離開量的質，也沒有脫離質的量；如同事物的質一樣，事物的量也是豐富和多樣的而這種豐富多樣的事物的量正是數學的對象從數學發展史的角度來看，隨著人類數學思維水平的不斷提升，數學對事物的量的揭示經歷了以下幾個階段：名數、常數、變數和關系結構（至于“空間形式和數量關系”，本質上它們都屬于事物的量，是量的兩種不同表現形式）8名數（約公元前3000年以前），與具體事物的質緊密相連，具有多少的意思，即“具體的不同質的表達多寡的（數）概念”9常數（約公元前3000年16世紀），與具體事物的質相脫離，表示單個的數，具有多少的含義懷特海曾高度評價“常數”概念在人類思想史上的重大意義：“首先注意到7條魚和7天的共同點的人必然使（人類）思想史前進了一大步他是第一個具有純數學觀念的人”10變數（1718世紀），表示一類的數或一定取值范圍內的數及其關系對此，恩格斯給予了極其肯定和積極的評價：“數學中的轉折點是笛卡兒的變數有了變數，運動進入了數學；有了變數，辯證法進入了數學；有了變數，微分和積分也就立刻成為必要的了”11關系結構（19世紀），是對變數及其關系的揚棄，否定了其中的“數”，而保留了具有一定性質的特定“關系”，即結構12布爾巴基學派對數學結構的揭示，充分體現了該階段數學的“自由的”創造性，而“希爾伯特計劃”13則充滿著對這種自由創造的自信，可是歌德爾等人的“數學結論”14卻很可能反映了對這種自由創造的某種限制或約束或界限那么，純數學的對象是否就是“非常現實的材料”呢？關于這個問題，哈代認為，數學的對象是一種獨立的客觀實在，因此我們只能“觀察”與“記錄”，而不能創造與發明其實，任何理論學科（比如，物理學、宇宙學、社會學、歷史學、教育學，甚至課程理論與教學理論等），都不是以“非常現實的材料”為其直接的研究對象，而是以“思想事物（雖然它們是現實的摹寫）”15為其直接的研究對象數學也絲毫不例外因此，數學的對象就有兩個：一個是直接對象，即像“數”、“序”、“空間”、“關系”、“結構”等思想事物，另一個則是這些思想事物所反映的現實事物的量，即間接對象因為如同所有的其他學科一樣，數學的最終目的也不是研究這些思想事物，而是要反映現實事物的某個側面或某類特性（就數學而言，這個側面或這類特性就是客觀現實事物的質的量）由此可見，哈代混淆了數學的直接對象與間接對象，把間接對象視為直接對象，因而就必然得出：我們只能觀察與記錄數學對象、而不能創造與發明它們事實上，“思想事物”都是我們人類的創造與發明，只是有些思想事物一經創造與發明，就獲得了某種“外在于我們的”特性，即（“主觀的”）客觀實在性，而源自這些思想事物的其他思想事物仿佛就成了“僅僅是我們觀察的記錄”：“也許可以說，一個數系是人的創造或發明但是奇數和偶數、可除數和素數之間的區別是一個發現：一旦數系存在，作為構成這個系統的（意想不到的）結果，客觀上就有這些獨特數字集合；而它們的性質就會被人發現”163數學，作為學校教育課程的數學，在某種程度上肯定是“外在于我們的”學生甚至教師的因而這種數學也就必然具有上述所謂的“主觀的”客觀實在性所以，正是在這個意義上，我們完全贊同并欣賞荷蘭學者弗賴登塔爾所倡導的關于數學學習的“再創造”或“數學化”理論但是，這是研究的學術結論，而非教學的實踐結果因此，這里的關鍵問題不是要不要“再創造”或“數學化”，而是如何進行“再創造”或“數學化”而這正是數學教學論所要著力思考與解決的問題弗賴登塔爾對此所給出的答案是，“數學的根源是常識，人們通過自己的實踐把這些常識通過反思，組成起來，不斷地進行系統化（橫向的或縱向的）”17，以及“有指導的”和“結合現實”的“再創造”18我國中、小學新的國家數學課程標準都在不同程度上吸收了弗賴登塔爾的思想，十分強調“數學化”過程：“經歷（感受）、體驗（體會）和探索”19，“經歷模仿、發現探索、反應認同和領悟內化”20，但是卻都沒有設計相對應的范例，只給出了內容（參考）案例這顯然需要改進此外，作為“數學化”理論的前提之一，即生物學上的“個體發展過程是群體發展過程的重現”在數學學習上的體現“數學發展的歷程也應在個人身上重現”是否真的成立？還僅僅是一個假說或猜測！即使成立，它也只具有發生學和統計學的意義倒是哈代的“僅僅是我們觀察的記錄”對“數學化”之后具有一定的啟發意義數學對象的“主觀的”客觀實在性應在數學學習和教學中有所反映也就是說，我們新的國家數學課程標準過于強調了數學的間接對象，而忽視了它的直接對象我們認為，在這個問題上，每一次數學課程改革都應該尋求或重新尋找數學的直接對象和間接對象兩者間的和諧關系，在它們之間保持必要的張力關于數學的本質哈代認為，純數學是無用和無害的，是“真正的”和“好的”數學，而應用數學則是有用和有害的，因而是“不足稱道的”或“壞的”數學其實，純數學和應用數學之間的必要張力是數學科學發展的不竭動力和源泉哈代之所以有如此看法，是與他關于數學的本質、目的、意義和價值的觀點分不開的首先，他認為，“數學家跟畫家或詩人一樣，也是造型家，如果說數學家的造型比畫家和詩人的造型更能經受時間的考驗，這是因為前者是由概念塑造的畫家造型用形與色，詩人則用語言一幅畫可以表示一種意境，但畫意通常是老生常談，無足輕重，相比之下詩意則重要得多然而，詩意的重要性往往言過其實，這是豪斯曼（18561936，英國古典文學家和詩人）堅定不移的看法，他說：我無法確信竟然存在詩意這樣的東西詩歌不在于表達了什么，而在于怎樣表達”“另一方面，數學家除了概念之外不與任何東西打交道，因此數學家的造型可能更持久因為概念不會像語言那樣快地變成陳詞濫調”“數學家的造型與畫家或詩人的造型一樣，必須美；概念也像色彩或語言一樣，必須和諧一致美是首要的標準；不美的數學在世界上是找不到容身之地的”21其次，他還認為，“最好的數學既是美的，同時又是嚴肅的”22，即數學定理要具有4一定的普遍性和深刻性，也即，“數學定理的嚴肅性在于它所涉及的那些數學概念的意義，（）而一個數學概念有意義，如果它同形形色色的其他數學概念有一種自然而鮮明的聯系因此，嚴肅的數學定理，即是把有意義的概念聯系起來的定理，很可能在數學本身以及其他科學領域內產生重大進展”23應該說，這一點對我們選擇什么樣的數學材料以構成課程內容、以及怎樣編排這些材料以形成教材等，都具有一定的借鑒或指導意義關于數學美，哈代認為，并不像人們普遍認同的那樣，很少有人能夠欣賞它其實，“現在也許很難找到一個受過教育的人對數學美的魅力全然無動于衷”24，不僅如此，而且“大多數人都能欣賞一點數學，正如多數人能欣賞一支令人愉快的曲調一樣對數學真正有興趣的人很可能比對音樂有興趣的人要多表面看來可能與此相反，但這是很容易理解的音樂可用來激發群眾的情緒，而數學卻不能；音樂上缺乏才能是公認為不太體面的事（這無疑是正確的），而大多數人一聽到數學就害怕，所以他們隨時都會由衷地強調自己在數學上不高明”25就“對數學美的欣賞”而言，哈代的看法的確反映出他對普通人心理的敏銳感悟和深刻洞察26由此可以看出，我們的數學新課程標準在有意或無意之間表現出與哈代看法的某種程度的一致性：“人人學有價值的數學”、“人人都能獲得必需的數學”和“不同的人在數學上得到不同的發展”27然而，龐加萊卻認為，數學的本質命系“三重目的”，即“數學的目標和意義有三個方面：首先，數學提供了研究自然界的有力工具；其次，數學的研究有重要的哲學意義；再則，我敢冒昧地說，數學的探索還有深刻的美學原則毫無疑問，數學的發展充分地激勵著哲學家們去探索數量、空間和時間的概念因此，我毫不猶豫地認為，任何一個人要想有教養，就要去學習數學，即使是那些在物理學或其他學科中暫無任何應用的數學理論，也是值得去學習和探索的”28由此可見，哈代關于數學本質的看法是極端的完美主義，而龐加萊的看法則顯得更為全面和合理但是，哈代的這種“為藝術而藝術”或“為數學而數學”的精神與傾向對于排除數學及數學研究中的功利主義和實用主義觀點、推動20世紀上半葉純數學的獨立發展，起到了積極的作用不僅如此，我們還認為，在實用主義（為了考試、職業、利益、權力）泛濫的當代中國數學教育領域急需引進并培植一種哈代式的“為數學而數學”的精神與傾向在這灼熱的實用主義氛圍中，它無疑是一副涼爽的清潔劑！當然，如果數學的“重要的哲學意義”能夠貫徹數學教育教學的始終，那么，通過數學，我們就不僅能夠“形成理性思維”29的基礎，而且還能夠養成追尋理性并批判、反思理性的哲學精神！我們認為，所有這一切都應該在新課程標準中有所體現，并切實落實于教材和課程與教學的評價之中關于數學證明關于數學證明，G.H.哈代認為，它至少有兩種不同含義：首先是數學系統內部的證明（demonstration），其次是數學系統外部的證明（proof）30我們認為，前者意味著某種5數學能力，而后者則意味著某種數學智慧因為數學系統外部的證明是以數學內部的所有證明為其研究對象，并追求一種無矛盾的信念；盡管這種追求的結果往往都是一些否定性的結論，比如，歌德爾不完全性定理、歐幾里得第五公設的不可證明或獨立性及非歐幾何的確立這好象又是一種“肯定”性的結論，等等為了便于理解，我們試做一個不太恰當的比喻：如果“數學如下棋”，那么“單車難破士象全”就是一個下棋系統外部證明的結論前者是數學的證明，而后者則是關于數學的證明；前者是內在的，而后者則是外在的；前者是數學研究，而后者則是研究數學“注重聯系，提高（學生）對數學整體的認識”是普通高中數學課程標準（實驗）中的教學建議之一它不僅強調數學的發展既有內在的需要、又有外在的推動，而且還認為，在教學中，“要注重數學的不同分支和不同內容之間的聯系，數學與日常生活的聯系，數學與其他學科的聯系”31但是，我們認為，如果要想真正提高學生（甚至教師）對數學整體的認識，只靠上述“三重聯系”是遠遠不夠的，還非得考慮哈代所謂的“數學系統的外部證明”不可因為“任何水平的數學教學的最終目的無疑是使學生對他所要處理的數學對象有一個可靠的直覺”32否則，“對數學整體的認識”最多只能停留在“某種數學能力”的水平上，而不可能達到“某種數學智慧”的層次此外，包括“了解數學真理的相對性”在內的“正確的數學觀”（這些都是普通高中數學課程標準（實驗）基本理念中的“體現數學的文化價值”和滲透于各模塊之中的“數學文化內容”的有機構成）的“逐步形成”是非得有這種數學智慧的“攪和”或引領不可這是毫無疑問的至于如何在課標中陳述、如何在教材中呈現、以及如何在課程、教學和評價中貫徹，都是一些很值得我們做專題研究的G.H.哈代關于數學證明的認識與他關于數學的對象和數學的本質的認識不無一致：“我本人常常認為數學家首先是一個觀察家，凝視著遠處的山脈，寫下觀察的記錄他的目的是盡可能清楚地識別出不同的山峰，并向他人報告有一些山峰他很容易就能識別，其他有些山峰就顯得模糊不清山峰A他看得很清楚，山峰B卻只能瞥見隱約的輪廓終于他辨認出一條山脊，由A出發延伸到頭，在B處達到頂峰現在B被固定在他的視野，從這一點出發他又可以做出進一步的發現在其他情形，他也許能識別出一條消失在遠方的山脊，并猜測它通向一座隱沒在云海中或地平線下的山峰但當他看見一座山峰，他相信它在那兒無非是因為他看見了它如果他希望別的人也能看見這座山峰，他就直接指出它來，或者通過那條幫助他自己認出山峰的山脊來指點當他的學生也看見了這座山峰，那么他的研究，他的論證與證明也就大功告成”33我們認為，在這個過程中，還必定充滿著對數學美、以及數學的普遍性和深刻性的追求與欣賞關于上述比喻，正如G.H.哈代自己所言：如果我們把它推向極端，就會得出非常矛盾的結論嚴格地說，并沒有數學證明這樣的東西但是，這個比喻卻能賦予我們三個方面的想象一是對數學教學過程的想象，二是對數學發現過程的很好近似，三是對數學外部6證明的粗略圖像34從某種角度來看，這“三種想象”正是我們新課程標準及其指導下的教材編寫、課堂教學、課程與教學評價等所需要的指引和方向批判地理解G.H.哈代關于數學的對象、數學的本質和數學證明的認識，對于重新審視我們這個時代的數學教育研究和當前的數學課程改革，具有非常積極的意義。從某種意義上來說，這個時代并不缺少新念頭、新理念、新思想、新方法和新理論，所缺少的是如何從不同角度吸收大數學家們的思想的合理性、所缺少的是類似于G.H.哈代擁有的“為數學而數學”或“為藝術而藝術”的一以貫之的精神、思想和踐行注釋：1另一個領袖人物是利特爾伍德；“劍橋分析學派”前期的“數學物理學派”主要以分析為工具，其代表人物是巴貝奇和麥克斯韋.2如，哈代元法、哈代定理和哈代空間等.3影響或促進數學教育發展的主要因素，除了數學本身之外，還有社會、政治、經濟、科技、文化，以及教育方面等.4這是人類思想史上最著名的哲學爭論之一，爭論的另一方是唯名論.唯名論者僅僅承認殊相的存在，而實在論或柏拉圖主義者還承認共相的實在性.5（英）.哈代.一個數學家的辯白M.李文林等編譯.南京：江蘇教育出版社，1996.P47.括號內的文字由引者所加.6（英）.哈代.一個數學家的辯白M.李文林等編譯.南京：江蘇教育出版社，1996.P67.7恩格斯.反杜林論M.北京：人民出版社，1970.P35.8可參見：林夏水.數學的對象與性質M.北京：社會科學文獻出版社，1994.括號內的文字由引者所加.9（美）.丹齊爾.數科學的語言M.蘇仲湘譯.北京：商務印書館，1985.P5.括號內的文字由引者所加.10（英）.懷特海.科學與近代世界M.北京：商務印書館，1989.P20.括號內的文字由引者所加.11恩格斯.自然辯證法M.北京：人民出版社，1971.P236.12可參見：胡作玄（編著）.布爾巴基學派的興衰現代數學發展的一條主線M.上海：知識出版社，1984；布爾巴基等.數學的建筑M.胡作玄等編譯.南京：江蘇教育出版社，1999.13“希爾伯特計劃”是指，用有窮方法去論證具有無窮對象域的古典數學的形式系統不可能導致邏輯矛盾.具體來說就是，為了證明整個數學的和諧性或一致性或無矛盾，首先把古典數學的某一基本理論嚴格形式化，再加上邏輯演算，并把這兩部分綜合起來，整理為一個形7式公理系統，然后再進一步形式化，構成一個相當于以上公理系統的形式語言系統；其次從不假定實無窮的有窮觀點出發，建立一個邏輯系統作為研究上述形式語言系統的工具（由于研究形式語言系統的邏輯性質需要用到數論，因此也要建立一個不假定實無窮的初等數論.這樣建立起來的邏輯和數論就是通常我們所謂的“元數學”或“有窮邏輯”）；最后運用元數學來研究形式語言系統的邏輯性質，特別是其中的證明，這也就是所謂的“證明論”（其目的是論證某一形式語言系統不包含邏輯矛盾.如果這個目的達到了，我們就可以保證那個形式語言系統所表達的數學理論是不會產生矛盾的）.14歌德