1、重點難點第一篇 復變函數論本篇重點：解析函數、復變函數的積分與留數定理.本篇特色：通過一典型環路積分，將各章節有機聯系起來，使復變函數理論成為一個系統的有機整體，并加強了各部分內容之間的相互聯系.注重培養創新思維、計算機仿真和解決實際問題的能力. 第一章復數與復變函數本章重點：復數的基本知識和復變函數區域的基本概念及其判斷方法； 復變函數連續和極限的概念； 區域概念及其判斷；復變函數的極限和連續。 本章難點：涉及到計算機編程實踐, 以培養讀者的計算機仿真能力. 讀者可以利用Matlab ,Mathcad,Mathmatic 等數學工具軟件直接進行復數及復變函數的基本運算, 詳細參考第四篇：計算

2、機仿真編程實踐部分本章知識點摘要：1.復數的概念定義形如的數為復數，記作.其中、分別稱為復數的實部、虛部，記作，稱為虛數單位，它滿足.與實數不同，兩個復數之間一般不能比較大小.2.復數的表示法（1）幾何表示：對于復數可以用平面上起點在，終點在的矢量（或向量）表示；（2）代數表示：對于平面上的點可用代數形式表示復數，這種表示法稱為代數表示，也可稱為直角坐標表示；（3）三角表示：當時，復數可用三角函數形式表示.其中稱為復數的模；（取整數）稱為的輻角.當時，對應于輻角的主值，在本書中規定為；3.復數的運算（1）復數滿足常規的四則運算規律.（2）若，則 （3）方根：設，則 關于復數的模和輻角有以下運算

3、公式；4.區域和平面曲線本章我們給出了系統的有關區域和平面曲線的概念.（1）區域：嚴格的定義是指同時滿足下列兩個條件的點集D：(i) 全由內點組成；(ii)具有連通性: 即點集中的任意兩點都可以用一條折線連接起來，且折線上的點全都屬于該點集；滿足這兩個條件的點集D稱為區域.連通的開集稱為區域，區域與它的邊界一起構成的點集稱為閉區域.區域可分為有界區域和無界區域，區域還有單連通區域與復連通區域之分.（2）簡單曲線:沒有重點的連續曲線,稱為簡單曲線.簡單閉曲線: 如果簡單曲線的兩個端點重合，則稱為簡單閉曲線.5.復變函數極限與連續函數的極限等價于兩個二元實函數和的極限.函數在點處的連續性等價于兩個

4、二元實函數和在該點的連續性.解題思路:例 研究什么原像通過映射后變為相互垂直的直線.【解】 由，可以視為從xy平面到平面的映射，即為從z平面(原像)到平面（像）的映射，易得 我們具體考察在平面的像為相互垂直的直線,原像應該是什么？由題得到 即有 顯然原像為雙曲線，如圖1.11(a)實線所示；即有 顯然原像為雙曲線，如圖1.11(a)虛線所示.另外我們還可以進一步觀察雙曲線對應的變化關系.特別地，當原像點在如圖1.11(a)的雙曲線右分支實線上時，由且，得到，.因此雙曲線的右分支的像可以表示為參數形式： 很明顯，當點沿著右分支實線向上運動時，它的像如圖1.11(b)沿直線向上運動.同樣，雙曲線左

5、分支的像的參數形式表示為 當左分支上的點沿曲線向下運動時，它的像也沿直線向上運動.同樣地可以分析：另一雙曲線 映像到直線.變化趨勢如圖1.11(a),(b)虛線所示，讀者可自行分析.重點難點第二章 解析函數重點：復變函數導數的定義、求導法則及可微性概念； 解析函數的概念； 保角映射的概念； 常用的初等解析函數； 解析函數與調和函數的關系難點：多值函數產生多值性的原因；如何找出支點以及在什么樣的區域內多值函數可以劃分為單值的解析分支；從幾何意義上描述解析函數的特征.特色：（Matlab，Mathcad，Mathmatic）編程計算簡單的復數方程本章知識點摘要：1.復變函數的導數與微分復變函數的導

6、數定義在形式上和一元實函數的導數定義是類似的：微分的定義和高等數學里面一元實函數的微分定義也相似，而且可導和可微是等價的，.2.解析函數的概念解析函數是復變函數中一個十分重要的概念，它是用復變函數的可導性來定義的，若在及其一個鄰域內處處可導，則稱在解析.函數在某一點可導，在這點未必解析，而在某一點解析，在這點一定可導.函數在一個區域內的可導性和解析性是等價的.3.柯西黎曼條件方程 復函數的解析性除了要求其實部和虛部的可微性外，還要求其實部和虛部滿足柯西黎曼方程（即C-R方程）. 函數在區域D內解析在D內可微，且滿足C-R條件：. 4.關于解析函數的求導方法(1) 利用導數的定義求導數(2) 若

7、已知導數存在，可以利用公式 求導.5初等復變函數初等復變函數的解析性：初等函數解析性的討論是以指數函數的解析性為基礎的，因此在研究初等解析函數的性質時，都可歸結到指數函數來研究.6解析函數與調和函數的關系區域D內的解析函數的實部和虛部都是D內的調和函數.要想使得在區域D內解析，和還必須滿足C-R條件. 因此若己知一調和函數，可由它構成某解析函數的實部（或虛部），并可相應地求出該解析函數的虛部（或實部），從而求出該解析函數. 平面穩定場求復勢就是其典型應用，也是解析函數物理意義的體現.解題思路例 已知 等勢線的方程為，求復勢. 【解】若設 ，則，故不是調和函數.因而不能構建為復勢的實部（或虛部）

8、.若令 ，采用極坐標有，故把極坐標系中的拉普拉斯方程 簡化為，即為根據極坐標C-R條件的得到 ，故復勢為 我們可以總結出，當具有的函數形式時，一般采用極坐標運算較為方便.重點難點第三章 復變函數的積分重點：復變函數積分的概念、性質及計算方法；解析函數積分的基本定理柯西積分定理；推廣得到的復合閉路定理，閉路變形定理； 由柯西積分定理推導出一個基本公式柯西積分公式.難點：理解分別以有界單連通域、有界復連通域、無界區域對柯西積分公式進行的證明；理解復變函數積分理論既是解析函數的應用推廣特色：嘗試計算機仿真計算積分的值。本章知識點摘要1本章所涉及的典型實例類型總結第一類典型實例：給出了不同于常規教材的

9、重要典型實例，即計算環路積分，它可以分別用復變函數論中的理論進行求解由此讀者能應用柯西積分定理、柯西積分公式、以及即將學習的級數展開法、留數定理以及留數和定理進行求解. 由此加強各章節之間的有機聯系, 使讀者充分理解各定理的區別和聯系第二類典型實例：復變函數模的積分（如）的計算方法，取模后該積分與二元實函數的環路積分類似，故為高等數學中的環路實積分提供了新的計算方法第三類典型實例：若要使閉合環路積分中換元法仍然有效，則必須考慮積分變換后輻角的改變. 2本章系統知識概述1）復變函數的積分復變函數積分的概念是這一章的主要概念，它是定積分在復數域中的自然推廣，和定積分在形式上也是相似的只是把定積分的

10、被積函數換成了復函數，積分區間換成了平面上的一條有向曲線復積分實際上是復平面上的線積分，它們的許多性質是相似的如果，則即復變函數的積分可以化為兩個二元函數的曲線積分2）柯西定理與柯西公式（1）柯西定理 如果函數在單連通域內處處解析，那么函數沿內任意一條閉曲線的積分值為零，即推論 如果函數在單連通域內處處解析，則積分與連結起點與終點的路徑無關（2）牛頓萊布尼茲公式 若在單連通域內處處解析，為的一個原函數，那么 其中、為中任意兩點（3）復合閉路定理 設為復連通域內的一條簡單閉曲線，是在內的簡單閉曲線，且中的每一個都在其余的外部，以為邊界的區域全含于如果在內解析，那么有(i) ，其中為由L以及（）所

11、組成的復合閉路正方向(ii)，其中L及所有的都取逆時針正方向（4）閉路變形原理 在區域內的一個解析函數沿閉曲線的積分，不因閉曲線在內作連續變形而改變積分的值，只要在變形過程中曲線不經過函數不解析的點3）.柯西積分公式的幾個重要推論（1）高階導數公式 解析函數的導數仍為解析函數，它的階導數為:其中為的解析區域內包含在其內部的任意一條正向簡單閉曲線，且內部全屬于； （2）解析函數的平均值公式; (3) 柯西不等式; (4）劉維爾定理; （5）莫勒納定理; 解題思路 例 試根據復變函數環路積分討論公式的物理意義【解】設在點有電量為的點電荷, 在復平面上形成二維靜電場（向量場） ,我們知道在點處的場強

12、為：其中分別代表徑向,方向的單位矢量于是電場強度的分量為：我們注意到函數 易見向量場（電場）正好與這個函數的共軛相對應，因此上式中矢量含義與復變函數環路積分物理意義中的含義相同。其物理意義【7】：由場論知電場是無旋的場，則電場強度沿著的環量另外，如果包含點，則通量 ；如果不包含點，則通量 .重點難點第四章 解析函數的冪級數表示重點：復級數的基本概念及其性質；如何將解析函數展開成泰勒級數及羅朗級數；解析函數的重要性質。難點：理解一個函數的解析性與一個函數能否展為冪級數是等價的. 特色：嘗試用計算機仿真編程方法(Matlab，Mathematic ，Mathcad)進行級數展開。本章知識點摘要：1

13、.復數項級數數列和級數的收斂定義與實數域內數列和級數的收斂定義類似.數列收斂的充要條件是實數列和同時收斂.級數收斂的充要條件是實級數和同時收斂.是級數收斂的必要條件.2.函數項級數 冪級數函數項級數中的各項如果是冪函數或，那么就得到冪級數或.冪級數的收斂域為一圓域，其邊界稱為收斂圓. 在圓的內部冪級數絕對收斂；在圓的外部冪級數發散，在圓周上冪級數可能處處收斂，也可能處處發散，或在某些點收斂，在另一些點發散.收斂圓的半徑稱為冪級數的收斂半徑，求冪級數或的收斂半徑的公式有比值法或根值法或 3.泰勒級數形如的冪級數稱為泰勒級數，若，則為麥克勞林級數.定理 若函數在圓域內解析，則在此圓域內，可展開成泰

14、勒級數.且展開式是唯一的.但需要特別說明的是： 盡管上式右端的冪級數可能在收斂圓周上處處收斂，也可能處處發散，或在某些點收斂，在另一些點發散. 但冪級數的和函數在收斂圓周上至少有一個奇點. 4.羅朗級數形如的級數稱為羅朗級數，它是一個雙邊冪級數.定理 若函數在圓環域內解析，則在此圓環域內，可展開成羅朗級數，其中，L為圓環域內繞的任一正向簡單閉曲線.5.本章主要題型及解題方法(1)討論復數列的斂、散性可通過討論它的實部數列和虛部數列的斂、散性進行判斷.(2)討論復級數的斂散性可通過討論它的實部數列和虛部數列的斂、散性進行判斷.對于有些級數，若當時，通項不趨于零，則級數發散.通過討論的斂散性來獲得

15、的斂散性.(3)求冪級數的收斂半徑及在收斂域內的和函數解題思路：例 函數在平面上有兩個奇點：與. 平面可以被分成如下三個互不相交的的解析區域：(1)圓；(2)圓環；(3)圓環，試分別在此三個區域內求的展開式.【解】 首先將分解成部分分式(1) (1) 在圓域內，因為，故，于是有為在圓域內的泰勒展開式.(2) (2) 在圓環域內，有，故(3)在圓環域內，這時，故另外，對函數還可以求它在奇點2的去心鄰域的羅朗展開式這是同一個函數在不同的圓環域中的羅朗展開式. 顯然在不同的展開區域有不同的展開式，這與羅朗展開式的唯一性并不矛盾.重點難點第五章 留數定理重點：利用留數定理轉化為留數計算問題.難點：選好

16、復變量積分的被積函數和積分圍線；確定積分區域和奇點。特色：利用計算機仿真計算留數積分。本章知識點摘要：1孤立奇點概念及其類型若函數在處不解析，但在的某一去心鄰域內處處解析，則稱為的一個孤立奇點.孤立奇點可按函數在解析鄰域內的羅朗展開式中是否含有的負冪項及含有負冪項的多少分為三類如果展開式中不含、或只含有限項、或含無窮多個的負冪項，則分別稱為的可去奇點、極點、本性奇點.孤立奇點類型的極限判別法：1） 1） 若（為有限值），則為的可去奇點；2） 2） 若，則為的極點。進一步判斷，若（為有限值且不為0），則為的階極點；2留數的定義、計算方法留數定義：設為函數的孤立奇點，那么在處的留數其中為去心鄰域內

17、任意一條繞的正向簡單閉曲線.有限遠點留數的計算方法：（1）用定義計算留數. 即求出羅朗展開式中負冪項的系數或計算積分.這是求留數的基本方法.（2）若為函數的可去奇點，則.（3）若為的一階極點，則 .無限遠點的留數計算方法 定理 若，則3留數定理、留數和定理及其應用留數定理 設函數在區域內除有限個孤立奇點外處處解析，為內包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線，則 .留數和定理 設函數在擴充復平面上除了以及以外處處解析，則計算三種類型的實變量積分：（i）；（ii），分母比分子至少高兩階；（iii），分式多項式，即分母比分子至少高一階. 解題思路：例： 計算積分（為正整數）.【解】 以為一階極點，故得于是由

18、留數定理得2：求的值.【解】 令，由于，因此設 在積分區域內函數有二個極點，其中為二階極點，為一階極點，而 因此重點難點第六章 保角映射重點：復習導數解析函數的幾何意義，了解保角映射的概念；掌握分式線性映射的保角性、保圓周性和保對稱性；熟練掌握利用分式線性映射求一些簡單區域（半平面、圓、二圓弧所圍區域、角形域）之間的保角映射掌握冪函數、指數函數以及它們的復合函數所構成的映射；掌握給定三對對應點決定分式線性映射的方法難點：學會利用復變函數（特別是解析函數）所構成的映射來實現復雜區域的簡單化特色：計算機仿真繪出等值線圖形和其他曲線圖形本章知識點摘要：1保角映射保角映射：具有保角性且伸縮率不變性的映

19、射定理若函數在區域內解析，且對任意的，有，則必是內的一個保角映射2分式線性映射（1）形如的映射統稱為分式線性映射它可以看成是由下列各映射復合而成：(i），這是一個旋轉伸縮平移映射，也稱為整式線性映射；(ii），稱為倒數映射或反演映射由于他們在擴充的復平面上都是一一對應，且具有保角性、保圓周性與保對稱性，因此，分式線性映射也具有保角性、保圓周性與保對稱性（2）平面和平面上的三對點可唯一確定一個分式線性映射即設平面上的三個相異點對應于平面上的三個相異點，則唯一確定一個分式線性映射：（3）三類典型的分式線性映射 (i）把上半平面映射成上半平面的映射為：，其中a,b,c,d都是實數，且（ii）把上半平

20、面映射為單位圓內部的映射為 (iii）把單位圓內部映射成單位圓內部的映射為3幾個初等函數所構成的映射(1）冪函數這一映射的特點是：把以原點為頂點的角形域映射為角形區域（包括半平面及全平面），其張角的大小變成了原來的倍(2）指數函數這一映射的特點是：把水平的帶形域映射成角形域（時，此角形域為上半平面）把這兩個函數構成的映射與分式線性映射聯合起來可以進一步解決某些區域之間的變化問題 4. 本章主要題型（1）判別一個映射，是否是保角映射（2）已知映射及一個區域，求像區域（3）已知兩個區域，求映射以上（2），（3）題目較為靈活故必須熟練掌握各種基本映射（整式線性映射、冪函數映射、指數函數映射等）的特點

21、及一些基本區域之間的映射（或變換）例 求一個保角映射，將平面上的弓形域，映射成的上半平面【解】如圖6.14，經計算交點為，其中處圓弧的方向角為可考慮先將平面上的弓形域映射成平面（注意圖中未畫出平面）的角形域，再將角形域映射成平面的上半平面設分式線性映射將映射成平面上的點0. 而映射成平面上的，于是該映射可寫為當時；當時，所以映射將弓形域映射成角形域：即為平面上的頂點在原點，且以射線和為兩邊的角形域（讀者可自行驗證)再對施以旋轉變換，它將平面上的角形域順時針旋轉而成為平面上的角形域最后，再令，它將平面上的角形域映射成平面上的上半平面復合映射，便得到即映射把平面上的弓形域映射成平面上的上半平面 重

22、點難點第七章 傅里葉變換重點：復數形式的傅里葉級數；傅里葉變換的性質；相關函數難點：靈活運用傅里葉變換的性質進行傅里葉變換特色：學習用Matlab提供的現成函數和直接積分的方法分別求解傅氏變換本章知識點摘要：1.傅里葉級數（1）周期函數的傅里葉展開 若函數以為周期的光滑或分段光滑函數，且定義域為，則式稱為周期函數的傅里葉級數展開式，其中的展開系數稱為傅里葉系數（2）復數形式的傅里葉級數以為周期的函數，則在的連續點處可將它展開成復指數形式（即復數形式）的傅里葉級數 ，其中.2傅里葉變換的定義傅里葉變換 若 滿足傅氏積分定理條件，稱表達式 為的傅里葉變換式,記作 傅里葉逆變換 如果 則上式為的傅里

23、葉逆變換式，記為 3傅里葉變換的性質性質1 線性定理 函數的線性組合的傅氏變換等于函數的傅氏變換的線性組合即是說，如果為任意常數，則對函數有 性質2 對稱定理 若已知 ，則有 這反映出傅氏變換具有一定程度的對稱性，若采用第一種定義，則完全對稱 性質 3 位移定理 若已知 ，則有 性質4坐標縮放定理設是不等于零的實常數，若，則有性質5 卷積定理和頻譜卷積定理 （1）卷積概念：已知函數 則積分稱為函數與的卷積，記作 ，即有(2)卷積定理 設 ，則 成立這個定理說明了兩個函數卷積的傅氏變換等于這兩個函數傅氏變換的乘積 性質6 乘積定理設 則 其中 為的實函數，而代表對應函數的共軛4相關函數（1）互相

24、關函數對于兩個不同的函數 和積分稱為兩個函數和的互相關函數，用記號表示互相關函數滿足性質：（2）自相關函數當 時，積分稱為函數的自相關函數（簡稱相關函數），用記號表示，即為易見，自相關函數是偶函數，即解題思路：例 求三角脈沖函數的傅氏變換及其傅氏積分表達式，其中本題的目的在于比較傅氏變換和傅氏積分表達式，及其綜合應用【解】 根據傅氏變換的定義，且注意到三角脈沖函數是偶函數，所以這就是三角脈沖函數的傅氏變換下面我們通過其傅氏變換來求三角脈沖函數的積分表達式 根據傅氏逆變換的定義，并利用奇、偶函數的積分性質，可得重點難點第八章 拉普拉斯變換重點：了解怎樣從傅里葉變換的定義出發，導出拉普拉斯變換的定

25、義； 拉普拉斯變換的一些基本性質； 其逆變換的積分表達式復反演積分公式； 像原函數的求法難點：拉普拉斯變換的靈活應用特色：試用計算機仿真求解其拉氏變換，并對結果進行反演變換，驗證是否能變換為原函數本章知識點摘要：1拉氏變換的概念(1)定義 設函數當時有定義，而且積分（是一個復參量）在的某一區域內收斂，則將函數稱為的拉氏變換（像函數），記為.（2）一些常用的函數的拉氏變換 ； ； ； （為正整數） ； ； .2 .拉氏逆變換概念若滿足式：，我們稱為的拉普拉斯逆變換，簡稱拉氏逆變換（或稱為原函數），記為 .3.拉氏變換的性質性質1 線性定理 若為任意常數，且，則 性質2 延遲定理若設為非負實數，又

26、當時，則 性質3 位移定理 若，則有性質4 相似定理 設，對于大于零的常數，則有性質5 微分定理 設，設存在且分段連續，則 性質6 像函數的微分定理 4 拉普拉斯變換的反演求拉普拉斯變換的反演即已知像函數求原函數（即為求反演積分）。按下述方法求得：（1） 有理分式反演法 若像函數是有理分式，只要把有理分式分解為分項分式之和，然后利用拉氏變換的基本公式，就能得到相應的原函數.（2） 查表法許多函數的拉普拉斯變換都制成了表格，可直接從表中查找。 (3) 黎曼梅林反演公式 若函數滿足拉氏變換存在定理中的條件， 如果為的連續點，則該式即為黎曼梅林反演公式5拉氏變換的應用拉氏變換的應用非常廣泛，本章主要

27、討論了拉氏變換求積分，以及求解線性常微分方程.的方法. 解題思路例 求 的拉氏逆變換.【解】 和分別是的三階和二階極點，故用留數的計算方法得于是有當是有理函數時，還可以采用部分分式分解的方法把分解為若干個拉氏變換附表中的簡單函數之和，逐個求得逆變換重點難點第九章 數學建模-數學物理定解問題重點：掌握掌握常用的定解條件分類及其求法；三類典型數學物理方程；定解問題的提法。難點：掌握數學建模的基本思想；本章知識點提要：1主要討論的物理模型包括：（1）描述波動方程的建立（波動方程類型 ）1). 弦的微小橫振動 ；2).均勻桿的縱振動；（2）熱傳導方程的建立 （熱傳導方程類型 ）(3) 穩定場方程的建立

28、 （泊松方程 或拉普拉斯方程）2 .定解條件包括初始條件和邊界條件。（1）初始條件：說明物理現象初始狀態的條件；（2）邊界條件: 說明邊界上的約束狀況的條件常見的線性邊界條件分為三類： 第一類 ;第二類，第三類除上述三類常見的邊界條件外，還有自然邊界條件，銜接條件，周期性條件等。3定解問題的提法：初值問題 、 邊值問題 、 混合問題。4定解問題的主要解法概括如下：1.行波法：先求出滿足定解問題的通解，再根據定解條件確定其特解.行波解是通解法中的一種特殊情形,行波法又稱為達朗貝爾解法.2.分離變量法：先求出滿足一定條件（如邊界條件）的特解，然后再用線性組合的辦法（組合成級數或含參數的積分）構成通

29、解，最后求出滿足定解條件的解.3.冪級數解法：就是在某個任選點的鄰域上，把待求的解表示為系數待定的級數，代入方程以逐個確定系數勒讓德多項式、貝塞爾函數就是通過冪級數解法求得其解的.4.格林函數法：又稱為點源影響函數法，把產生某種現象或過程的分布干擾分解為一系列離散的點干擾的影響，再利用線性疊加原理把這些點干擾影響疊加起來，從而獲得整個過程的分布干擾所產生的影響.5.積分變換法：（包括傅里葉積分變換法和拉普拉斯積分變換法）把偏微分方程化為像空間上的常微分方程，然后求逆變換即得所求的解.6.保角變換法：利用解析函數將邊界形狀復雜的區域變換到某些邊界形狀簡單的區域，從而使后一區域上的拉普拉斯邊值問題

30、易于求解.解題思路設有一長為的理想傳輸線，遠端開路. 先把傳輸線充電到電位為，然后把近端短路，試寫出其定解問題. 【解】 （1）泛定方程：由于理想傳輸線仍然滿足波動方程（數學物理方程）類型.（2）邊值條件：至于邊界條件，遠端開路，即意味著端電流為零，即，根據(9.1.13)公式得到 且注意到理想傳輸線，故，代入條件有 而近端短路，即意味著端電壓為零，即（3）初始條件：而開始時傳輸線被充電到電位為，故有初始條件，且此時的電流，根據(9.1.14)公式， 且注意到理想傳輸線，故 ，因而有綜上所述，故其定解問題為 重點難點第十章二階線性偏微分方程的分類重點：二階線性偏微分方程的基本概念；分類方法和偏

31、微分方程的標準化.難點：常系數的二階線性偏微分方程的化簡方法；偏微分方程求解 。本章知識點提要：1本章主要描述了二階線性偏微分方程的分類方法.從理論上證明了，對于二階線性偏微分方程 若設判別式為 ，則二階線性偏微分方程分為三類：當 時，方程稱為雙曲型;當 時，方程稱為拋物型;當 時，方程稱為橢圓型; 2二階線性偏微分方程的標準化通過自變量變換使得二階線性偏微分方程轉化為標準類型. 其變換對應于特征線方程： 該常微分方程的特征曲線族分別對應于（1）兩個實函數族；（2）一個實函數族；（3）一對共軛復函數族 （1）雙曲型偏微分方程 因為雙曲型方程對應的判別式，所以特征曲線是兩族不同的實函數曲線，通過

32、自變量變換，則原偏微分方程變為下列形式 稱為雙曲型偏微分方程的第一種標準形式. （2）拋物型偏微分方程：判別式，特征曲線是一族實函數曲線通過自變量變換，則原偏微分方程變為 上式稱為拋物型偏微分方程的標準形式（3）橢圓型偏微分方程橢圓型偏微分方程的判別式，特征曲線是一組共軛復變函數族通過自變量變換，則偏微分方程變為 稱為橢圓型偏微分方程的標準形式3.二階線性常系數偏微分方程的進一步化簡 (1)雙曲型 (2)拋物型 (3)橢圓型 解題思路求方程的通解【解】此方程是雙曲型的第二標準形，我們可將其化成第一標準形的形式，由特征方程求特征線于是： 即 有 由復合函數求導法則 所以方程可以化簡為，從而解得

33、，其中為任意函數。原方程的通解為 重點難點第十一章 行波法與達朗貝爾公式重點：二階線性偏微分方程的行波解法；達朗貝爾公式的應用難點：理解定解問題適定性； 非齊次偏微分方程的求解本章知識點提要：1 1 求二階線性偏微分方程的通解.2 2 二階線性偏微分方程的行波解法(行波解法是通解法中的一種特殊的情形，行波法又稱為特征線法). (1) 簡單的含實系數的二階線性偏微分方程的求解 (2) 更為一般的含實常系數的偏微分方程的求解 3 達朗貝爾公式（1） 達朗貝爾公式無界弦自由振動問題其解為稱解的這種表達式為達朗貝爾(D.Alembert)公式.（2）達朗貝爾公式的物理意義 由任意初始擾動引起的自由振動

34、弦總是以行波的形式向正、反兩個方向傳播出去，傳播的速度恰好等于泛定方程中的常數a，這就是達朗貝爾公式的物理意義4非齊次偏微分方程的求解 (i ) 純強迫振動的解 由沖量原理法求解 根據沖量原理，對于純強迫力所引起振動的定解問題：其解為(ii) 一般的強迫振動根據疊加原理得到其解為注： 這是求解無界區域強迫振動問題的一種比較簡單的方法5 定解問題的適定性驗證 對無界振動定解問題的達朗貝爾解進行解的適定性驗證.解題思路例 求解半無界弦的強迫振動問題【解】 前面我們介紹了沖量原理法求解強迫振動，下面我們以另一特征線法求解. 作特征變換，則方程化為分別對積分，并代入原變量，求得通解 （11.6.7）由

35、初值條件得 （11.6.8） （11.6.9）由（11.6.9）式得 （11.6.10）聯立（11.6.8）式和（11.6.10）式解得 （11.6.11） （11.6.12）為了利用通解（11.6.7），還必須求出在時的表達式為此，利用邊界條件，有即所以 （11.6.13）把（11.6.11），（11.6.12），（11.6.13）代入通解（11.6.7），得所求定解問題的解為重點難點第十二章 分離變量法重點：（1）掌握分離變量法的適用范圍及解題步驟（2）掌握齊次一維波動方程與熱傳導方程在各類齊次邊界條件下對應的本征值問題、本征值、本征函數系及形式解的結構（以第一、二類邊界條件為主）（3）掌

36、握圓域、圓環域、扇形域、部分圓環域及矩形區域上拉普拉斯方程邊值問題的本征值問題、本征值、本征函數系及形式解結構難點：理解分離變量法的基本思想；學習用計算機仿真方法將結果以圖形表示出來.本章知識點摘要：1. 分離變量理論(1)定解問題實施變量分離的條件 對于常系數二階偏微分方程，總是能實施變量分離的但對于變系數的二階偏微分方程則需要滿足一定的條件，即必須找到適當的函數，才能實施變量分離邊界條件可實施變量分離的條件:進行分離變量時，需適當根據邊界情況選擇直角坐標系（二、三維）、極坐標系（二維）、柱坐標系（三維）、球坐標系（三維）等2分離變量解法: 分離變量法(傅里葉級數法)的實質即為將時間變量(在

37、穩恒方程中為部分空間變量)視為參變量、將解展為空間變量（穩恒方程中為某一空間變量）的傅里葉級數，或者說將解按本征函數系展開，展示中每項為變量分離形式；3. 直角坐標系中的分離變量法常規的分離變量法步驟：第一步：分離變量;第二步：求解本征值（或稱為固有值）問題;第三步：求特解，并進一步疊加求出一般解;第四步: 利用本征函數的正交歸一性確定待定系數.4. 二維極坐標系下拉普拉斯方程分離變量 5. 球坐標系下分離變量 與時間無關的拉普拉斯方程的變量分離分解為歐拉型方程: ，球函數方程: 6. 柱坐標系下的分離變量(1).與時間無關的拉普拉斯方程在柱坐標系下的變量分離，對于方程下面區分，和三種情況（i

38、）該方程是歐拉型方程（ii）對于方程，令，方程化為，叫作階貝塞爾方程（iii）以代入，令，則方程化為,叫作虛宗量貝塞爾方程 (2)亥姆霍茲方程的變量分離7非齊次偏微分方程與非齊次邊界條件對于更一般的非齊次方程和非齊次邊界條件的解法是首先通過變量代換將邊界條件轉化為齊次的，然后再對非齊次方程求解目前已經介紹的方法有沖量法、特解法和傅里葉級數法. 但需注意穩定場問題，不能用沖量法，因為它與時間變化無關. 解題思路例 求解三維靜電場的邊值問題： 【解】 設，將變量分離，并由邊界條件（19.8.20），得： 相應的本征值和本征函數系為 和 這里，且 于是，得到滿足泛定方程和邊界條件的特解：把各特解疊加

39、，得級數解：再由邊界條件（12.8.21），又得 及 把這兩個式子的兩端分別乘以，并在矩形，內積分，注意到函數系和的正交性，比較兩邊的系數，可以得到：這里，解出和，代入級數解，得所求解為：重點難點第十三章 冪級數解法 本征值問題重點：二階常微分方程的冪級數解法難點：深入理解冪級數解法理論及其普適性；認識復數的本征函數族并練習仿真其正交性。本章知識點摘要:1常點鄰域上的冪級數解法：具體以階勒讓德方程：的級數解法進行了討論，給出了勒讓德方程的解具體描述為: （1）當不是整數時，勒讓德方程在區間上無有界的解（2）當為整數時，勒讓德方程的通解為，其中稱為第一類勒讓德函數（即勒讓德多項式），稱為第二類勒

40、讓德函數. 2奇點鄰域的級數解法 ：階貝塞爾方程： 的通解綜述：（1）當，即不取整數時，通解可表示為 （2）不論是否為整數，通解都可表示為,其中為任意常數，為任意實數其中稱為階第一類貝塞爾函數，定義為. 定義第二類貝塞爾函數（又稱為諾依曼函數）為 3. 施圖姆劉維爾本征值問題（1）施圖姆劉維爾型方程: （2）施圖姆劉維爾本征值問題的性質（3）廣義傅里葉級數 廣義傅里葉系數對于，稱右邊的級數為廣義傅里葉級數，系數叫作的廣義傅里葉系數函數族叫作這級數展開的基廣義傅里葉系數的計算公式：解題思路例 將勒讓德方程化成施劉型方程【解】由施劉型方程的標準形式令， ，即可將勒讓德方程轉化為施劉型方程. 重點難

41、點第十四章 格林函數法重點：理解格林函數的基本原理；掌握各區域內格林函數的構建方法難點：圓形區域第一邊值問題的格林函數構建本章知識點摘要1. 格林公式 第一格林公式： 第二格林公式： 2. 泊松方程方程的格林函數法 （1）定解問題 泊松方程 邊值條件 （2）格林函數的引入及其物理意義（3）互易定理： （4）泊松方程的基本積分公式 3.無界空間的格林函數 二維軸對稱情形的格林函數可選為： 三維無界球對稱情形的格林函數可選為： 4. 用電像法確定格林函數電像法： 基于靜電學的鏡像原理來構建格林函數，故稱這種構建方法為電像法（也稱為鏡像法）（1）上半平面區域第一邊值問題的格林函數構建格林函數為即或(

42、2)半空間內求解拉普拉斯方程的第一邊值問題的格林函數構建 格林函數為即 (3) 圓形區域第一邊值問題的格林函數構建 即為 解題思路我們總結得出格林函數的求法如下：(1)在給定的區域內，任取一固定點，在點處放上適當的正電荷；(2) 以區域劃分空間為若干部分（有限個或無窮多），在這樣的每一個部分內求出點關于圍成區域的所有邊界的某種對稱點或對稱點關于邊界的對稱點：.在這些對稱點上放上相應的點電荷. (3)求這些點電荷，在區域內任意一點處產生的電位，其中的正負取決于點所帶電荷的正負 注意，對于每一邊界的像（映射），電荷反號. 如上例中，設為正電荷，則關于一個邊界的像點：為負電荷。關于另一個邊界的像點也

43、為負電荷。而是負電荷關于邊界的像或是負電荷關于邊界的像，故為正電荷. (4)區域內的格林函數就是這些電位之和,即.重點難點第十五章積分變換法求解定解問題重點：傅里葉變換法解數學物理定解問題；拉普拉斯變換解數學物理定解問題；比較積分變換法與分離變量法相比的優越性所在。難點：學習應用Matlab中的傅里葉變換法和拉普拉氏變換法；區分兩種變換法的不同應用范圍。理解不同多個自變量的線性偏微分方程解決方法的交叉點本章知識點摘要:1傅里葉變換法解數學物理定解問題（1）弦振動問題（2）熱傳導問題（3）穩定場問題2拉普拉斯變換解數學物理定解問題（1）無界區域的問題（2）半無界區域的問題解題思路：用積分變換求解

44、定解問題的步驟為：第一：根據自變量的變化范圍和定解條件確定選擇適當的積分變換；對于自變量在內變化的定解問題（如無界域的坐標變量）常采用傅氏變換，而自變量在內變化的定解問題（如時間變量）常采用拉氏變換第二：對方程取積分變換，將一個含兩個自變量的偏微分方程化為一個含參量的常微分方程；第三：求解常微分方程的解，即為原定解問題的變換；第四：對所得解取逆變換，最后得原定解問題的解例 求解無限長弦的自由振動定解問題（假定：函數及其一階導數是有限的，以后不再特別指出這一定解問題在行波法中已經介紹，讀者可以比較行波解法和傅氏解法） 【解】 應用傅里葉變換，即用遍乘定解問題中的各式，并對空間變量x積分（這里把時

45、間變量看成參數），按照傅里葉變換的定義，我們采用如下的傅氏變換對： 簡化表示為 對其它函數也作傅氏變換，即為于是原定解問題變換為下列常微分方程的定解問題上述常微分方程的通解為代入初始條件可以定出 這樣 最后，上式乘以并作逆傅氏變換應用延遲定理和積分定理得到這正是前面學過的的達朗貝爾公式.。重點難點第十六章 保角變換法求解定解問題重點：學會用保角變換法求解復雜邊界的定解問題；保角變換與拉普拉斯方程邊值問題的關系難點：學習使用計算機仿真來求解相同的定解問題；保角變換在不同邊界條件下的靈活運用本章知識點摘要：1 保角變換與拉普拉斯方程邊值問題的關系定律16.1.1 如果將由到的保角變換看成為二元（實

46、變）函數的變換由到的變量代換，則平面上的邊界變成了平面上的邊界我們能證明，如果滿足拉普拉斯方程，則經過保角變換后得到的也滿足拉普拉斯方程2保角變換法求解定解問題解題思路：例16.2.2 試求平面靜電場的電勢分布，其中 （16.2.8） (16.2.9)【解】 變換使上半平面變成平面上的帶形域（圖16.2）,而在帶形域上的解是顯然的，類似于上面定解問題(16.2.6)的結果(16.2.7),則本定解問題可歸結為 (16.2.10)而 所以 于是，作反變換便可求得所求問題的解為 進一步討論：（1）同理可證 是下列定解問題的解 （說明：這里的和下面的不代表求導，是指彼此不同的值）(2) 同理可證 是

47、下列定解問題的解 (3)可證 是下列定解問題的解： 其中而又可改寫成（4）進一步推廣是下列定解問題的解 3.保角變換法解定解問題的基本思想通過解析函數的變換（或映射，這部分知識在復變函數論中已經學習過）將平面上具有復雜邊界形狀的邊值問題變換為平面上具有簡單形狀（通常是圓、上半平面或帶形域）的邊值問題，而后一問題的解易于求得于是再通過逆變換就求得了原始定解問題的解重點難點第十七章 變分法重點：討論泛函的極值問題；里茨方法的基本要點難點：計算機仿真求泛函的極值曲線； 歐拉拉格朗日方程的靈活運用本章知識點摘要：變分法就是求泛函極值的方法變分問題即是求泛函的極值問題1泛函泛函定義為，其中 稱為泛函的核

48、泛函的變分定義為 2 泛函的極值（1）泛函極值的必要條件：歐拉拉格朗日方程 (i).泛函表示為一個自變量，一個函數及其一階導數的積分形式,即 歐拉拉格朗日（Euler-Lagrange）方程，簡稱為E-L方程 (ii)泛函表示為多個函數的積分形式 (iii)泛函的積分形式中含有高階導數 由此可見僅為的函數 (2) 泛函的條件極值問題3 泛函極值問題的典型應用4泛函極值的直接方法里茨Ritz方法里茨方法就是比較典型的直接方法：其基本要點是，不把泛函放在它的全部定義域內來考慮，而把它放在其定義域的某一部分來考慮5 用變分法解數學物理定解問題 變分法解數學物理定解問題的基本原理： 對于二階常微分方程（施劉型）的本征值問題 該本征值問題可歸結為在歸一化附加約束條件，和相應邊界條件下求泛函 的極值問題解題思路例 用變分法求邊界固定半徑為的圓膜振動的本征振動