1、2.2.1函數的單調性(一),第2章2.2 函數的簡單性質,學習目標 1.理解函數單調區間、單調性等概念. 2.會劃分函數的單調區間，判斷單調性. 3.會用定義證明函數的單調性.,題型探究,問題導學,內容索引,當堂訓練,問題導學,函數f(x)x的圖象由左到右是上升的；函數f(x)x2的圖象在y軸左側是下降的，在y軸右側是上升的.,思考,知識點一函數的單調性,畫出函數f(x)x、f(x)x2的圖象，并指出f(x)x、f(x)x2的圖象的升降情況如何？,答案兩函數的圖象如下：,答案,一般地，單調性是相對于區間來說的，函數圖象在某區間上上升，則函數在該區間上為單調增函數，該區間稱為單調增區間.反之則

2、為單調減函數，相應區間稱為單調減區間.因為很多時候我們不知道函數圖象是什么樣的，而且用上升下降來刻畫單調性很粗糙.所以有以下定義： 設函數yf(x)的定義域為A，區間IA.,梳理,(1)如果對于區間I內的任意兩個值x1，x2，當x1f(x2)，那么就說yf(x)在區間I上是單調減函數，I稱為yf(x)的單調減區間. 單調增區間和單調減區間統稱為單調區間.,思考,知識點二函數的單調區間,我們已經知道f(x)x2的單調減區間為(，0，f(x) 的單調減區間為(，0)，這兩個單調減區間的書寫形式能不能交換？,答案,答案f(x)x2的單調減區間可以寫成(，0)，而f(x) 的單調減區間(，0)不能寫成

3、(，0，因為0不屬于f(x) 的定義域.,梳理,一般地，有下列常識 (1)函數單調性關注的是整個區間上的性質，單獨一點不存在單調性問題，所以單調區間的端點若屬于定義域，則該點處區間可開可閉，若區間端點不屬于定義域則只能開. (2)單調區間D定義域I. (3)遵循最簡原則，單調區間應盡可能大.,題型探究,例1如圖是定義在區間5,5上的函數yf(x)，根據圖象說出函數的單調區間，以及在每一單調區間上，它是單調增函數還是單調減函數？,類型一求單調區間并判斷單調性,解yf(x)的單調區間有5，2，2,1，1,3，3,5，其中yf(x)在區間5，2，1,3上是單調減函數，在區間2,1，3,5上是單調增函

4、數.,解答,函數的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，單調區間是定義域的子集；當函數出現兩個以上單調區間時，單調區間之間可用“，”分開，不能用“”，可以用“和”來表示；在單調區間D上函數要么是單調增函數，要么是單調減函數，不能二者兼有.,反思與感悟,所以y|x22x3|的單調區間有(，1，1,1，1,3，3，)，其中單調減區間是(，1，1,3；單調增區間是1,1，3，).,跟蹤訓練1寫出函數y|x22x3|的單調區間，并指出單調性.,解答,命題角度1證明具體函數的單調性 例2證明f(x) 在其定義域上是單調增函數.,類型二證明單調性,證明,設x1，x2是定義域0，)上的任意兩個實數，且x1x

5、2，,f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，,運用定義判斷或證明函數的單調性時，應在函數的定義域內給定的區間上任意取x1，x2且x1x2的條件下，轉化為確定f(x1)與f(x2)的大小，要牢記五大步驟：取值作差變形定號小結.,反思與感悟,跟蹤訓練2求證：函數f(x)x 在1，)上是單調增函數.,證明,證明設x1，x2是實數集R上的任意實數，且1x1x2，,1x1x2，x1x20,1x1x2，,即f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).,命題角度2證明抽象函數的單調性 例3已知函數f(x)對任意的實數x、y都有f(xy)f(x)f(y)1，且當x0時，f(x)1.求證：函數f(

6、x)在R上是單調增函數.,證明,證明方法一設x1，x2是實數集上的任意兩個實數，且x1x2.令xyx1，yx2，則xx1x20. f(x1)f(x2)f(xy)f(y)f(x)f(y)1f(y)f(x)1. x0，f(x)1，f(x)10， f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2). 函數f(x)在R上是單調增函數. 方法二設x1x2，則x1x20， 從而f(x1x2)1，即f(x1x2)10. f(x1)fx2(x1x2)f(x2)f(x1x2)1f(x2)，故f(x)在R上是單調增函數.,因為抽象函數不知道解析式，所以不能代入求f(x1)f(x2)，但可以借助題目提供的函數性質來確定

7、f(x1)f(x2)的大小，這時就需要根據解題需要對抽象函數進行賦值.,反思與感悟,跟蹤訓練3已知函數f(x)的定義域是R，對于任意實數m，n，恒有f(mn)f(m)f(n)，且當x0時，0f(x)1.求證：f(x)在R上是單調減函數.,證明,證明對于任意實數m，n，恒有f(mn)f(m)f(n)，令m1，n0，可得f(1)f(1)f(0)， 當x0時，0f(x)1，f(1)0，f(0)1. 令mx0，nx0，則f(mn)f(0)f(x)f(x)1，f(x)f(x)1，,對任意實數x，f(x)恒大于0. 設任意x10， 0f(x2x1)1，,f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)f(

8、x2x1)f(x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)10， f(x)在R上是單調減函數.,命題角度1利用單調性求參數范圍,類型三單調性的應用,則a的取值范圍為_.,答案,解析,分段函數在定義域上單調，除了要保證各段上單調外，還要保證在接口處不能反超.另外，函數在單調區間上的圖象不一定是連續不斷的.,反思與感悟,跟蹤訓練4已知函數f(x)x22ax3在區間1,2上單調，則實數a的取值范圍為_.,解析由于二次函數開口向上，故其單調增區間為a，)，單調減區間為(，a，而f(x)在區間1,2上單調，所以1,2a，)或1,2(，a，即a1或a2.,(，12，),答案,解析,命題角度2用單調性解不等式

9、例5已知yf(x)在定義域(1,1)上是單調減函數，且f(1a)f(2a1)，求a的取值范圍.,解答,若已知函數f(x)的單調性，則由x1，x2的大小，可得f(x1)，f(x2)的大小；由f(x1)，f(x2)的大小，可得x1，x2的大小.,反思與感悟,跟蹤訓練5在例5中若函數yf(x)的定義域為R，且為單調增函數，f(1a)f(2a1)，則a的取值范圍又是什么？,解答,解yf(x)的定義域為R，且為單調增函數， f(1a)f(2a1)，1a2a1，,當堂訓練,1.函數yf(x)在區間2,2上的圖象如圖所示，則此函數的單調增區間是_.,答案,2,3,4,5,1,2,1,答案,2,3,4,5,1

10、,(，0)，(0，),3.在下列函數f(x)中，滿足對任意x1，x2(0，)，當x1f(x2)的是_.(填序號) f(x)x2； f(x) ； f(x)|x|； f(x)2x1.,答案,2,3,4,5,1,4.給出下列說法： 若定義在R上的函數f(x)滿足f(3)f(2)，則函數f(x)在R上為單調增函數； 若定義在R上的函數f(x)滿足f(3)f(2)，則函數f(x)在R上不可能為單調減函數；,2,3,4,5,1,其中說法正確的是_.(填序號),答案,解析,2,3,4,5,1,解析由單調增函數的定義，可知錯誤； 由單調減函數的定義，可知正確；,5.若函數f(x)在R上是單調減函數，且f(|x|)f(1)，則x的取值范圍是_.,答案,2,3,4,5,1,(1,1),規律與方法,1.若f(x)的定義域為D，AD，BD，f(x)在A和B上都為單調減函數，未必有f(x)在AB上為單調減函數. 2.對單調增函數的判斷，對任意x10或 0.對單調減函數的判斷，對任意x1f(x2)，相應地也可用一個不等式來替代：(x1x2)f(x1)f(x2)0或 0.,3.熟悉常見的一些函數的單調性，包