1、,第三章 扭 轉,材料力學,31 扭轉的概念和實例 32 外力偶矩的計算 扭矩和扭矩圖 33 純剪切 34 圓軸扭轉時的應力 35 圓軸扭轉時的變形 36 非圓截面桿扭轉的概念,第三章 扭 轉,目錄,3-1 扭轉的概念和實例,一、工程實例,目錄,工 程 實 例,汽車傳動軸,目錄,工 程 實 例,汽車方向盤,目錄,軸：工程中以扭轉為主要變形的構件。如：機器中的傳動軸、 石油鉆機中的鉆桿等。,扭轉：外力的合力為一力偶，且力偶的作用面與直桿的軸線 垂直，桿發生的變形為扭轉變形。,二、扭轉的概念,目錄,扭轉角（）：任意兩截面繞軸線轉動而發生的角位移。 剪應變（）：直角的改變量。,目錄,直接計算,3-2

2、、外力偶矩 扭矩和扭矩圖,1.外力偶矩,3-2,目錄,按輸入功率和轉速計算,電機每秒輸入功：,外力偶作功完成：,已知 軸轉速n 轉/分鐘 輸出功率P 千瓦 求：力偶矩Me,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩圖,目錄,3-2,目錄,截 面 法 求 扭 矩,3 扭矩的符號規定： “T”的轉向與截面外法線方向滿足右手螺旋規則為正，反之為負。,扭轉,二、扭矩及扭矩圖 1 扭矩：構件受扭時，橫截面上的內力偶矩，記作“T”。 2 截面法求扭矩,目錄,3-2,目錄,扭 矩 的 符 號 規 定,扭轉,4 扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規律的圖線。,目 的,x,T,目錄,扭轉,例1已知：一傳動軸， n =3

3、00r/min，主動輪輸入 P1=500kW，從動輪輸出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試繪制扭矩圖。,解：計算外力偶矩,目錄,扭轉,求扭矩（扭矩按正方向設）,目錄,扭轉,繪制扭矩圖,BC段為危險截面。,x,T,4.78,9.56,6.37,目錄,3-2,目錄,圓 筒 變 形,33 純剪切,3-2,目錄,圓 筒 單 元 體,扭轉,一、實驗：,1.實驗前：,繪縱向線，圓周線； 施加一對外力偶 m。,目錄,扭轉,2.實驗后：,圓周線不變； 縱向線變成斜直線。,3.結論：圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改 變，只是繞軸線作了相對轉動。 各縱向線均傾斜了同一微小角度 。

4、 所有矩形網格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。,目錄,扭轉,無正應力 橫截面上各點處，只產生垂直于半徑的均勻分布的剪應力 ，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。,4. 與 的關系：,微小矩形單元體如圖所示：,目錄,扭轉,二、薄壁圓筒剪應力 大?。?A0：平均半徑所作圓的面積。,目錄,扭轉,三、剪應力互等定理：,上式稱為剪應力互等定理。 該定理表明：在單元體相互垂直的兩個平面上，剪應力必然成對出現，且數值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。,目錄,扭轉,四、剪切虎克定律：,單元體的四個側面上只有剪應力而無正應力作用，這種應力狀態稱為純剪切應力狀態。,目錄,扭轉

5、,T=m,剪切虎克定律：當剪應力不超過材料的剪切比例極限時（ p)，剪應力與剪應變成正比關系。,目錄,五、剪切變形能 由純剪切單元體：,扭轉,目錄,扭轉,式中：G是材料的一個彈性常數，稱為剪切彈性模量，因 無量綱，故G的量綱與 相同，不同材料的G值可通過實驗確定，鋼材的G值約為80GPa。,剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質的三個常數。對各向同性材料，這三個彈性常數之間存在下列關系（推導詳見后面章節）：,可見，在三個彈性常數中，只要知道任意兩個，第三個量就可以推算出來。,目錄,扭轉,34 等直圓桿在扭轉時的應力 強度條件,1. 橫截面變形后 仍為平面； 2. 軸向無伸縮； 3.

6、縱向線變形后仍為平行。,一、等直圓桿扭轉實驗觀察：,目錄,目錄,扭轉,二、等直圓桿扭轉時橫截面上的應力：,1. 變形幾何關系：,距圓心為 任一點處的與到圓心的距離成正比。, 扭轉角沿長度方向變化率。,目錄,扭轉,2. 物理關系：,虎克定律： 代入上式得：,目錄,扭轉,3. 靜力學關系：,令,代入物理關系式 得：,目錄,扭轉,橫截面上距圓心為處任一點剪應力計算公式。,4. 公式討論： 僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截面 直桿。, 式中：T橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。 該點到圓心的距離。 Ip極慣性矩，純幾何量，無物理意義。,目錄,扭轉,單位：mm4，m4。, 盡管由

7、實心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿， 只是Ip值不同。,目錄,扭轉,目錄,扭轉, 應力分布,T,t,max,t,max,t,max,T,（實心截面）,（空心截面）,工程上采用空心截面構件：提高強度，節約材料，重量輕， 結構輕便，應用廣泛。,目錄,扭轉, 確定最大剪應力：,Wt 抗扭截面系數（抗扭截面模量）， 幾何量，單位：mm3或m3。,目錄,四、圓軸扭轉時的強度計算,強度條件：,對于等截面圓軸：,( 稱為許用剪應力。),強度計算三方面：, 校核強度：, 設計截面尺寸：, 計算許可載荷：,目錄,扭轉,例2 功率為150kW，轉速為15.4轉/秒的電動機轉子軸圖， 許用剪應力 =30M

8、Pa, 試校核其強度。,T,m,解：求扭矩及扭矩圖,計算并校核剪應力強度,此軸滿足強度要求。,x,目錄,35 圓軸扭轉時的變形,一、扭轉時的變形,由公式,知：長為 l一段桿兩截面間相對扭轉角 為,目錄,二、單位扭轉角 ：,或,三、剛度條件,或,GIp反映了截面抵抗扭轉變形的能力，稱為截面的抗扭剛度。, 稱為許用單位扭轉角。,目錄,剛度計算的三方面：, 校核剛度：, 設計截面尺寸：, 計算許可載荷：,有時，還可依據此條件進行選材。,目錄,例3長為 L=2m 的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如圖，若桿的內外徑之比為 =0.8 ，G=80GPa ，許用剪應力 =30MPa，試設計桿的外徑

9、；若=2/m ，試校核此桿的剛度，并求右端面轉角。,解：設計桿的外徑,目錄,扭轉,40Nm,x,T,代入數值得：,D 0.0226m。, 由扭轉剛度條件校核剛度,目錄,扭轉,40Nm,右端面轉角為：,目錄,例4 某傳動軸設計要求轉速n = 500 r / min，輸入功率N1 = 500 馬力， 輸出功率分別 N2 = 200馬力及 N3 = 300馬力，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，試確定： AB 段直徑 d1和 BC 段直徑 d2 ？ 若全軸選同一直徑，應為多少？ 主動輪與從動輪如何安排合理？,扭轉,解：圖示狀態下,扭矩如 圖，由強度條件得：,T,x,7.024,

10、 4.21,(kNm),目錄,扭轉,由剛度條件得：,T,x,7.024,4.21,(kNm),目錄,扭轉,綜上：,全軸選同一直徑時,目錄,扭轉, 軸上的絕對值最大的扭矩越小越合理，所以，1輪和2輪應 該換位。換位后,軸的扭矩如圖所示,此時,軸的最大直徑才 為 75mm。,T,x, 4.21,(kNm),2.814,目錄,扭轉,解決扭轉超靜定問題的方法步驟：,平衡方程；,幾何方程變形協調方程；,補充方程：由幾何方程和物理方程得；,物理方程；,解由平衡方程和補充方程組成的方程組。,四、圓軸扭轉超靜定問題,目錄,扭轉,例5長為 L=2m 的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如圖，若桿的內外徑

11、之比為 =0.8 ，外徑 D=0.0226m ，G=80GPa，試求固端反力偶。,解：桿的受力圖如圖示， 這是一次超靜定問題。 平衡方程為：,目錄,扭轉,幾何方程變形協調方程, 綜合物理方程與幾何方程，得補充方程：, 由平衡方程和補充方程得：,另:此題可由對稱性直接求得結果。,目錄,扭轉,36 非圓截面等直桿在自由扭轉時的應力和變形,非圓截面等直桿：平面假設不成立。即各截面發生翹曲不保持平面。因此，由等直圓桿扭轉時推出的應力、變形公式不適用，須由彈性力學方法求解。,目錄,扭轉,一、自由扭轉：桿件扭轉時，橫截面的翹曲不受限制，任意兩相 鄰截面的翹曲程度完全相同。,二、約束扭轉：桿件扭轉時，橫截面的翹曲受到限制，相鄰截面 的翹曲程度不同。,三、矩形桿橫截面上的剪應力:,1. 剪應力分布如圖： （角點、形心、長短邊中點）,目錄,扭轉,2. 最大剪應力及單位扭轉角,其中：,其中：It相當極慣性矩。,目錄,扭轉,注意！ 對于W t 和 It ，多數教材與手冊上有如下定義：,查表求 和 時一