1、自適應控制與應用,本 課 程 在 控 制 學 科 中 的 地 位,第一章 自適應控制基本概念,第二章 模型參考自適應系統設計初步,第三章 用李亞普諾夫穩定性理論設計MRAC,自適應控制與應用,第四章 用波波夫超穩定性理論設計MRAC,第五章 自校正技術及自校正控制器調節器的設計,第六章 極點配置的自校正技術,第一章 自適應控制的基本概念,1-1 自適應控制的產生,1-2 自適應控制的定義,1-3 自適應控制的基本原理,1-4 自適應控制系統的主要類型,1-5 自適應控制的應用,傳統的控制系統設計方法，通常是首先建立被控對象的數學模型，然后根據所建數學模型的特性設計控制器（控制律），實施控制。,

2、為了要成功的設計一個控制系統，無論是常規的反饋控制系統還是最優控制系統，都必須要設計者事先知道被控對象的所有特征，及其結構和參數。,設計都要求事先掌握被控對象或被控過程的數學模型。然而有些數學模型是很難事先確知的，或者由于種種原因,一些系統的數學模型會在運行過程中發生較大范圍的變化,這就是說，設計者對系統的特性并不是完全掌控的，或者說系統的特性是不肯定的。 在這些情況下，常規控制就往往達不到預定的控制要求。,引起被控對象特性發生變化的主要原因有:,（1）由于系統所處環境的變化而引起的被控對象的參數值的變化。,許多控制對象的數學模型隨著時間或工作環境的改變而發生變化，而變化規律往往事先不知道。,

3、例如 ：,引起被控對象特性發生變化的主要原因有:,（1）由于系統所處環境的變化而引起的被控對象的參數值的變化。,許多控制對象的數學模型隨著時間或工作環境的改變而發生變化，而變化規律往往事先不知道。,（2）系統本身由于工作情況的變化而引起自身參數值的改變.,當被控對象的數學模型參數在小范圍內變化時，可用一般的反饋控制、最優控制或補償控制等方法使得系統對外部的擾動或內部參數的小范圍變動不很敏感，以達到預期性能。,而當被控對象的數學模型參數在大范圍內變化時，上述方法就不能圓滿解決問題了，為了使控制對象的參數在大范圍變化時，系統仍能自動的工作于最優或次優狀態，因而提出了自適應控制的問題。,自適應控制也

4、是一種反饋控制，但它不是一般的系統狀態反饋或系統輸出反饋，而是一種比較復雜的反饋控制，所以，自適應控制的設計比一般的反饋控制要復雜很多。,第一章 自適應控制的基本概念,1-1 自適應控制的產生,1-2 自適應控制的定義,1-3 自適應控制的基本原理,1-4 自適應控制系統的主要類型,1-5 自適應控制的應用,自適應的主要思路：隨機應變，以變制變,直觀地講，自適應控制器應當是這樣一種控制器，它能修正自己的特性以適應對象和擾動的動態特性的變化。 自適應控制的研究對象是具有一定程度不確定性的系統，這里所謂的“不確定性”是指描述被控對象及其環境的數學模型不是完全確定的，其中包含一些未知因素和隨機因素。

5、,目前，關于自適應控制有許多不同的定義，不同的學者根據各自的觀點，提出了自己的有關自適應控制的定義，其定義仍然是一個有很大爭議的問題，下面列舉一些比較流行的自適應控制系統的定義：,1.其中含義最廣泛的，是1961年特魯克薩而Truxal所提出的定義：即“任何按自適應觀點設計的物理系統均為自適應系統”。,按照這個定義，許多控制系統都可包括在自適應系統 這一范疇內。,比如：噴氣式飛機的燃料控制是采用溫度補償的，那么它也可以算是自適應系統，然而，實際上它屬于常規反饋控制。 因為它對系統的參數改變不是根據當時的特性、性能和參數變動的實際情況做出決策的，而是實現確定下來的，不符合測量辨識，決策改造的過程

6、。,1962年Gibson提出了一個比較具體的自適應控制的定義：,一個自適應控制系統必須提供出被控對象的當前狀態的連續信息，也就是要辨識對象，它必須將當前的系統性能與期望的或者最優的性能相比較，并作出使系統趨向期望或最優性能的決策，最后，它必須對控制器進行適當的修正以驅使系統走向最優狀態。,這三方面的功能使自適應控制系統所必須具有的功能。,定義： 自適應系統在工作過程中，利用可調系統的輸入量、輸出量及狀態測量某種性能指標，根據測得的指標與給定的指標進行比較，修改可調系統的參數或者輔助輸入量，以保持測得的性能指標接近于給定的性能指標。,還有一類定義給包含了更具體的自適應控制思想的內容：,第一章

7、自適應控制的基本概念,1-1 自適應控制的產生,1-2 自適應控制的定義,1-3 自適應控制的基本原理,1-4 自適應控制系統的主要類型,1-5 自適應控制的應用,根據Gibson的定義，我們可以獲取自適應控制的基本原理。,在自適應控制系統中,根據被控對象的輸入輸出信號對對象的參數或性能指標連續地或周期地進行在線辨識,然后根據所獲得的信息并按照一定的評價系統優劣的性能準則,判斷決定所需的控制器參數或所需的控制信號,最后通過修正裝置實現這項控制決策,使系統趨向所期望的性能。,必須指出,在自適應控制系統的設計過程中最重要的決策之一是選擇一個合適的系統性能指標.用這個指標將系統性能的優劣用單獨一個量

8、綜合地表示出來,并以這個量的極值(極大或極小)作為設計系統的依據. 。,性能指標,選擇合適的性能指標后,系統的自適應控制過程將由下列三方面的作用在描述.,a 辨識被控對象的特性,b 在辨識的基礎上作出控制決策,c 按照決策對可調系統實行修正,By the way,自適應控制系統比常規反饋控制系統要復雜得多，因而成本也較高，并且常常需要借助計算機才能夠實現。,所以自適應控制方案只是在常規反饋控制達不到期望的性能指標使才考慮使用。,第一章 自適應控制的基本概念,1-1 自適應控制的產生,1-2 自適應控制的定義,1-3 自適應控制的基本原理,1-4 自適應控制系統的主要類型,1-5 自適應控制的應

9、用,有許多準則可以用來對自適應系統進行分類。,1.按照所用性能指標分為： （1）靜態性能指標 （2）動態性能指標 （3）參數性能指標 （4）狀態變量和輸入量的泛函,由于性能指標的類型將決定性能指標測量方塊的特點，所以可從性能指標對自適應系統進行分類。,2.按照比較判定方塊的特點分類： （1）減法器 （2）決定一個規定性能指標變量的極大值化或極小值化 （3）屬于某個數域,有許多準則可以用來對自適應系統進行分類。,有許多準則可以用來對自適應系統進行分類。,3.按照自適應機構對可調系統的作用分類： （1）參數自適應：主要是修正控制器中有關參數。 （2）信號綜合自適應：根據需要綜合出控制信號，直接加到

10、被控對象上。,（1）參數自適應,(1)由辨識裝置所提供的當前被控對象的特性；,(2)所期望的性能指標；,(3)系統實際輸出響應；,(4)給定的正常輸入信號,（2）信號綜合自適應,（2）信號綜合自適應,有許多準則可以用來對自適應系統進行分類。,4.按照自適應技巧，即按照各個部分的工作模式分類： （1）確定性的 （2）隨機性的 （3）學習性的,有許多準則可以用來對自適應系統進行分類。,4.按照自適應環的運行環境來分： （1）有測試信號的 測試信號加到系統輸入的 測試信號作用于可調參數的 （2）無測試信號的,有許多準則可以用來對自適應系統進行分類。,5.除上述分類方法外，有的文獻將自適應控制系統分為

11、三大類： （1）模型參考自適應控制系統 （2）自校正控制系統 （3）其他類型的自適應控制系統 變結構控制 混和自適應 非線性控制對象的自適應控制 模糊自適應。,第一章 自適應控制的基本概念,1-1 自適應控制的產生,1-2 自適應控制的定義,1-3 自適應控制的基本原理,1-4 自適應控制系統的主要類型,1-5 自適應控制的應用,自適應控制經過近50年的發展，無論在理論上還是應用上都取得了很大的發展。近20多年來，隨著計算機技術特別是大規模集成電路和芯片的廣泛普及，為自適應控制開辟了廣闊的領域。 目前，自適應控制在：飛行器控制、深空探測器控制、衛星跟蹤系統、大型油輪控制、電子拖動、造紙過程控制

12、、冶金過程控制、化工過程控制、水泥配料控制、大型加熱爐溫控制等方面得到了應用。,自適應控制大約在上世紀五十年代即已開始發展，當時大都是針對具體對象的設計的討論，尚未形成理論體系。六十年代現代控制理論蓬勃發展所取得的一些成果，諸如狀態空間法、穩定性理論、最優控制、隨機控制、參數估計、對偶控制等等，為自適應控制理論的形成和發展準備了條件。,上世紀七十年代以來自適應控制理論有了顯著的進展，一些學者分別在確定性和隨機的、連續的和離散的系統的自適應控制理論方面，作出了貢獻。對于這類系統的控制方案、結構、穩定性、收斂性等方面都有一定的突破性的進展，從而把自適應控制理論推向一個新的發展階段，與此同時，開始出

13、現較多實際應用的例子，并取得了良好的效果。,目前自適應控制理論正在迅速發展，這反映了現代控制系統向智能化、精確化方向發展這一總的趨勢。另一方面，微處理器的迅猛發展為采用自適應控制創造了條件，反過來也促進了自適應理論的發展，總之，自適應控制理論已日益被人們重視的理論領域，其實際應用也日益廣泛。,第二章模型參考自適應系統(MRAC) 設計初步,2-2 MRAC的數學描述,2-3 MRAC的假定條件,2-4 用局部參數最優化理論設計MRAC,2-1 MRAC概述,為了使控制系統能夠“自適應”，也就是當系統的動態性能發生較大變化時，使系統仍然具有良好的性能，曾提出過許多的解決方法，其中一類模型參考自適

14、應控制就是在50年代發展起來的。,目前比較流行的自適應控制方式之一是模型參考自適應,(MODEL REFERENCE ADAPTING CONTROL) 。,所謂MRAC，就是在系統中設置一個動態品質優良的參考模型，在系統運行過程中，要求被控對象的動態特性與參考模型的動態特性相一致。,模型參考自適應控制的關鍵問題是如何選擇自適應機構的自適應算法，以確保系統有足夠的穩定性，可調系統與參考模型的特性相一致。即使得廣義誤差趨于最小。,系統調整是根據被控制對象的實際輸出與參考模型輸出之差的某個函數準則，力圖使被控對象的實際輸出與參考模型的輸出之間的誤差趨于最小，使系統接近于或者達到所期望的動態行為。,

15、第二章模型參考自適應系統設計初步,2-2 MRAC的數學描述,2-3 MRAC的假定條件,2-4 用局部參數最優化理論設計MRAC,2-1 MRAC概述,MRAC修正作用可以是參數調整式也可以用信號綜合式。,它的數學模型可以用系統的輸入/輸出方程表示，也可以系統的狀態方程來表示。,MRAC修正作用可以是參數調整式也可以用信號綜合式。,它的數學模型可以用系統的輸入/輸出方程表示，也可以系統的狀態方程來表示。,1-用狀態方程描述MRAC系統,對于參考模型，我們可以用下列線性狀態方程表示,在參數調整式的模型參考系統中，可調系統的狀態方程可表示為,在參數調整式的模型參考系統中，可調系統的狀態方程可表示

16、為,在參數調整式的模型參考系統中，可調系統的狀態方程可表示為,在參數調整式的模型參考系統中，設計的任務是確定一個具體的自適應規律，依據廣義誤差向量按照這一特定的自適應規律來調節參數矩陣 。,在系統穩定的情況下，這種調節作用將使廣義誤差向量e逐漸趨向零值。,為了能使調節的作用在廣義誤差向量逐漸趨向零時仍能維持，自適應規律一般常選為具有比例加積分的作用。,這樣，對可調參數的調節不僅取決于廣義誤差的現時值 , 而且也依賴于它的過去值 ，,式中符號F和G表示在線節上 ， 和向量e之間的函數關系。,式中符號F和G表示在線節上 ， 和向量e之間的函數關系。,自適應規律選擇為比例加積分的形式，它既起到按廣義

17、誤差向量的即時調節作用，又能具有記憶效應的調節作用。,自適應規律選擇為比例加積分的形式，它既起到按廣義誤差向量的即時調節作用，又能具有記憶效應的調節作用。,所謂線性補償器，就是為了滿足系統的穩定性條件而引入的補償環節。,在信號綜合式的模型參考系統中，,在信號綜合式的模型參考系統中，,可調系統的狀態方程可表示為,在信號綜合式的模型參考系統中，,可調系統的狀態方程可表示為,式中： 在運行過程中是可能因擾動作用而變化的，但相對于自適應過程來說，可以看成是常數矩陣。而 則是由廣義誤差e按照自適應規律綜合而成的信號。,在信號綜合式的模型參考系統中，,式中符號u表示在線節 上 與廣義誤差向量e之間的函數關

18、系。常用下面的形式來表示。,在信號綜合式的模型參考系統中，,式中符號u表示在線節 上 與廣義誤差向量e之間的函數關系。常用下面的形式來表示。,此自適應規律選擇為比例加積分的形式，它既起到按廣義誤差向量的即時調節作用，又能具有記憶效應的調節作用。,MRAC修正作用可以是參數調整法也可以用信號綜合法。,它的數學模型可以用系統的輸入/輸出方程表示，也可以系統的狀態方程來表示。,2-用輸入-輸出方程描述MRAC系統,當模型參考自適應系統用輸入-輸出方程來描述時，一般都用微分算子的形式表示，,則參考模型的方程為,式中 N(p)和M(p)都是p的多項式，,2-用輸入-輸出方程描述MRAC系統,則參考模型的

19、方程為,式中 N(p)和M(p)都是p的多項式，,則參考模型的方程為,式中 N(p)和M(p)都是p的多項式，,對參數調整式的自適應系統，并聯可調系統的輸入-輸出方程為,式中 N(p)和M(p)都是p的多項式，,對參數調整式的自適應系統，并聯可調系統的輸入-輸出方程為,式中,對參數調整式的自適應系統，并聯可調系統的輸入-輸出方程為,式中,而r為系統的標量輸入信號， 為可調系統輸出信號。,是可調系統的輸入輸出方程的時變系數。,對參數調整式的自適應系統，并聯可調系統的輸入-輸出方程為,式中,由廣義誤差按照自適應規律進行自適應修正，其中廣義誤差的定義為,式中,自適應規律的選擇與用狀態方程描述時相似；

20、,由廣義誤差按照自適應規律進行自適應修正，其中廣義誤差的定義為,式中,自適應規律的選擇與用狀態方程描述時相似；,都表示自適應規律，常常確定為比例加積分的形式。,式中,都表示自適應規律，常常確定為比例加積分的形式。,對參數調整式的自適應系統，可調系統的輸入-輸出方程為,對信號綜合式的自適應系統，可調系統的輸入-輸出方程為,式中,對信號綜合式的自適應系統，可調系統的輸入-輸出方程為,表示自適應規律，常常確定為比例加積分的形式。,式中,MRAC修正作用可以是參數調整法也可以用信號綜合法。,它的數學模型可以用系統的輸入/輸出方程表示，也可以系統的狀態方程來表示。,3- MRAC系統的誤差方程,通過前面

21、的分析，我們知道模型參考自適應系統規律的主要信息來源，是出于廣義誤差 或,3- MRAC系統的誤差方程,也表明了模型參考自適應系統的完全漸近適應，就意味著對任意初始條件都能存在,3- MRAC系統的誤差方程,由e所表示的誤差方程必須是漸近穩定的。,誤差方程是模型參考自適應系統的分析設計的重要依據。,3- MRAC系統的誤差方程,3- MRAC系統的誤差方程,3- MRAC系統的誤差方程,3- MRAC系統的誤差方程,3- MRAC系統的誤差方程,3- MRAC系統的誤差方程,3- MRAC系統的誤差方程,3- MRAC系統的誤差方程,得出的結論為：如果非線性時變部分滿足某些（波波夫積分不等式）

22、條件，則反饋系統的穩定性僅由線性部分的特征（正實性質）所決定。,3- MRAC系統的誤差方程,第二章模型參考自適應系統設計初步,2-2 MRAC的數學描述,2-3 MRAC的假定條件,2-4 用局部參數最優化理論設計MRAC,2-1 MRAC概述,（1）參考模型是一個線性定常系統 （2）參考模型與可調系統維數相同 （3）在參數自適應情況下，可調系統的所有參數對于自適應作用來說是可達的。,系統設計時常用假設：,（4）在自適應過程中可調系統參數僅依賴于自適應機構。 （5）除輸入信號r外，沒有其他外部輸入信號。 （6）廣義狀態誤差和廣義輸出誤差可測。 （7）參考模型和可調參數的初始差異未知。,系統設

23、計時常用假設：,第二章模型參考自適應系統設計初步,2-2 MRAC的數學描述,2-3 MRAC的假定條件,2-4 用局部參數最優化理論設計MRAC,2-1 MRAC概述,基于局部參數最優化的設計方法,基于穩定性理論的設計方法,關于模型參考自適應控制系統的設計主要有兩大類方法：,用局部參數最優化理論設計模型參考自適應系統是最早的一種設計方法，應用這一設計方法的要求是系統參數變化速度比系統過渡過程進行速度緩慢很多。,假定在系統的前向回路和反饋回路有若干個可調參數，當被控對象參數發生變化時，自適應機構能對這些參數進行調整，以補償被控對象參數變化對控制系統性能的影響，即使得控制系統的輸出與參考模型輸出

24、一致。,基于局部參數最優化的設計方法及MIT方案,1-最速下降法2-牛頓-拉富遜法3-共軛梯度法4-變尺度法等。,為此，用被控對象與參考模型的廣義輸出誤差 構成性能指標J，使J最小來確定自適應規律。,J是廣義輸出誤差 的直接函數，在MIT方案中，選用性能指標J為： 分析可知，J間接的也應該是可調參數的函數。,在求J最小來確定的自適應規律的方法有很多，如：,在局部參數優化法中通常采用梯度法來推導模型參考自適應規律。,基于局部參數最優化的設計方法及MIT方案,下面先介紹一下梯度和梯度法的概念。,設系統可調參數為 ，性能指標為 由于 是 的函數，因此性能指標 是的隱函數，表示為：,梯度法：,梯度,基

25、于局部參數最優化的設計方法及MIT方案,設系統可調參數為 ，性能指標為 由于 是 的函數，因此性能指標 是的隱函數，表示為：,如果將 看作是參數 空間的一個超曲面，那么 在參數空間變化率最大的方向，稱作 的梯度，記為： 。,如果將 看作是參數 空間的一個超曲面，那么 在參數空間變化率最大的方向，稱作 的梯度，記為： 。,基于局部參數最優化的設計方法及MIT方案,局部參數最優化的設計方法中認為，參數的調整量 取 ，自適應調整效果最好。,有了梯度法的概念，下面進行以梯度法為基礎的自適應規律的設計。,美國麻省理工學院科研人員首先利用局部參數最優化方法設計出世界上第一個真正意義上的自適應控制律。故又常

26、簡稱為MIT自適應規律。,基于局部參數最優化的設計方法及MIT方案,美國麻省理工學院科研人員首先利用局部參數最優化方法設計出世界上第一個真正意義上的自適應控制律。故又常簡稱為MIT自適應規律。,該系統中，理想模型的增益k為常數。被控系統的增益 在外界環境發生變化或有其他干擾出現時有可能會受到影響而產生變化，從而使其動態特征發生偏離.,該系統中，理想模型的增益k為常數。被控系統的增益 在外界環境發生變化或有其他干擾出現時有可能會受到影響而產生變化，從而使其動態特征發生偏離.,為了消除或降低由于 的變化所造成的影響，在控制系統中增加了一個可調增益 ，來補償 的變化?，F在的任務是設計自適應機構來實時

27、地調整 ，使的 與 乘積始終與理想型的 一致。,設理想模型的傳遞函數為,被控對象的傳遞函數為,定義廣義誤差為,式中 為理想模型的輸出， 為被控系統的輸出，廣義誤差e為當參考模型與被控系統的輸入信號同為 時，理想模型的響應與被控系統的響應之間的偏差。,選取性能指標泛函為,我們要通過調整可調增益 使性能指標 達到最小值。若采用梯度法尋優，則首先求出 對 的梯度。,根據梯度法可知， 值應沿梯度下降的方向移動，在一定的步距下， 的變化量 將取這樣的數值,式中r為正的常數。,根據梯度法可知， 值應沿梯度下降的方向移動，在一定的步距下， 的變化量 將取這樣的數值,式中r為正的常數。,為可調增益 的初始值。

28、,為了獲得調整 的自適應規律，對上式兩邊求時間的導數，得,為了獲得調整的自適應規律 ，必須計算,這種類型自適應系統的開環傳遞函數為,所以,這種類型自適應系統的開環傳遞函數為,將其拉氏變換表示形式轉化為微分方程的時域算子表示形式,( p為微分算子)則有,將方程兩邊對求導數得,將其拉氏變換表示形式轉化為微分方程的時域算子表示形式,( p為微分算子)則有,將方程兩邊對求導數得,而理想模型的輸出與輸入之間有下列關系,成比例關系,將方程兩邊對求導數得,而理想模型的輸出與輸入之間有下列關系,成比例關系,兩者之間僅相差一個比例常數,而理想模型的輸出與輸入之間有下列關系,成比例關系,兩者之間僅相差一個比例常數

29、,而理想模型的輸出與輸入之間有下列關系,兩者之間僅相差一個比例常數,這就是可調增益 的調節規律，也就是系統的自適應規律,式中,兩者之間僅相差一個比例常數,這就是可調增益 的調節規律，也就是系統的自適應規律,式中,兩者之間僅相差一個比例常數,這就是可調增益 的調節規律，也就是系統的自適應規律,式中,這樣綜合出來的模型參考閉環自適應系統的數學模型可用下列一組方程來描述：,這樣綜合出來的模型參考閉環自適應系統的數學模型可用下列一組方程來描述：,從前面MIT方法的推導過程來看，在尋求自適應規律的過程中，沒有考慮到系統的穩定性問題，,因此對具體系統來說，獲得上式后，為了確保廣義誤差 在自適應調節過程中能

30、逐漸地收斂到某一個允許的值，還必須進行穩定性校驗。,例1首先考慮一個一階系統，其傳遞函數為 ；根據上述MIT規律設計的閉環自適應系統為,假設在 時， 均為零， ，當輸入一個幅度為R的階躍信號，且假定 后 仍為常數，現對 進行調整，則有,假設在 時， 均為零， ，當輸入一個幅度為R的階躍信號，且假定 后 仍為常數，現對 進行調整，則有,由此兩式，可以推得廣義誤差e的動態方程,假設在 時， 均為零， ，當輸入一個幅度為R的階躍信號，且假定 后 仍為常數，現對 進行調整，則有,由此兩式，可以推得廣義誤差e的動態方程,或,當 時，式中第三項e的系數將趨向于 ，,由此兩式，可以推得廣義誤差e的動態方程,

31、或,當 時，式中第三項e的系數將趨向于 ，,則有,時， ，且 。,從例1分析，我們可以看出：,(1) 對一階系統來說，按MIT規則設計的閉環自適應系統是穩定的,(2)其跟蹤速度或自適應速度是以指數規律進行的。,從理論上講， 時， ,所以自適應的速度相對來說是比較慢的。但是在實際應用中，我們并不一定要求e完全等于零。當e進入 （ 為一個很小的選定值）的范圍后，就可認為系統已經跟上模型了。在這種意義下，自適應調整時間還是有限的。,用局部參數最優化的方法設計的MRAC系統必須經過穩定性的驗證。但是從實踐經驗來看，有些較為復雜的MRAC系統要驗證其全局穩定性是很困難的。,在二十世紀六十年代，就有人提出

32、了以穩定性理論為基礎的MRAC系統的設計方法；,1-首先是德國科學家帕克斯(Parks)提出根據李雅普諾夫穩定性理論來設計MRAC 。,即用李雅普諾夫第二法推出自適應算法來保證自適應系統的全局穩定性。,第三章用李亞普諾夫穩定性理論設計MRAC,3-3 用控制對象的輸入輸出構成自適應規律,3-2 用系統狀態變量構成自適應規律,3-1 李亞普諾夫穩定性概念及基本原理,李雅普諾夫穩定性理論是俄國學者李亞普諾夫與1892年提出的確定系統穩定性更一般理論方法。它比經典控制理論中的代數判據，奈奎斯特判據、對數判據和根軌跡判據等適用范圍更廣。,不僅適用于單變量、線性、定常系統，也適用于多變量、非線性、時變系

33、統。李亞普諾夫理論在建立一系列穩定性理論的基礎上，提出了判斷系統穩定性的兩種方法。,下面首先回顧一下關于李雅普諾夫穩定性理論的基本概念 。,李雅普諾夫穩定性理論研究的是系統受擾后能否保持平衡狀態。即穩定性是針對平衡狀態來說的。,1、平衡狀態。 2、李亞普諾夫意義下的穩定性 穩定性 漸進穩定性 全局穩定性（大范圍漸進穩定性） 不穩定,1892年李雅普諾夫提出了兩種確定動態系統穩定性的方法：,第一種方法，需要求解動態系統的微分方程，根據微分方程的解來判別系統的穩定性，稱為李雅普諾夫第一法；也稱間接法。,第二種方法，不需要求解動態系統的微分方程，而是根據經驗和技巧構造某個特定函數，并通過對它和其對時

34、間的導數的符號來判別系統的穩定性，這種方法稱為李雅普諾夫第二法，也稱為直接法。,2.李亞普諾夫穩定性定理,李亞普諾夫穩定性理論的應用,李亞普諾夫穩定性理論在系統穩定性分析和系統設計中得到了較多的應用。下面討論李亞普諾夫第二法在線性系統穩定性分析中的應用。,2.李亞普諾夫穩定性定理,李亞普諾夫穩定性理論的應用,1.線性定常連續系統穩定性的判別：,設線性定常連續系統狀態方程為：,式中，x為n維狀態向量，A陣為非奇異常值矩陣，故原點為唯一平衡狀態點，設取二次型函數 為可能的李亞普諾夫函數 ，其中P為正定矩陣。,2.李亞普諾夫穩定性定理,李亞普諾夫穩定性理論的應用,1.線性定常連續系統穩定性的判別：,

35、設線性定常連續系統狀態方程為：,對 求導，并考慮系統狀態方程，有：,令：,于是：,定理2 如果在包含原點在內的某個域s內，存在李雅普諾夫函數V(x，t)0 ，且 ,則系統的平衡狀態是漸近穩定的。,2.李亞普諾夫穩定性定理,根據定理二，,只要Q正定，則系統漸進穩定。,令：,于是：,于是，線性定常連續系統漸進穩定的充要條件是：給定一個 正定矩陣P，若在Q正定,且滿足,2.李亞普諾夫穩定性定理,根據定理二，,只要Q正定，則系統漸進穩定。,但是，按上述方法給出的步驟：先給定P陣，再驗證Q是否穩定，從而確定系統是否穩定時，若系統P陣取得不好，往往導致Q非正定，因此這樣的步驟可能會重復多次才能找到合適的P

36、陣。使用不方便。,于是，線性定常連續系統漸進穩定的充要條件是：給定一個 正定矩陣P，若在Q正定,且滿足,在應用中，往往采用如下方法：先確定Q陣為正定矩陣（一般取單位陣I），然后反推是否存在一個正定P陣，若存在，系統穩定。若不存在，則不然。,第三章用李亞普諾夫穩定性理論設計MRAC,3-3 用控制對象的輸入輸出構成自適應規律,3-2 用系統狀態變量構成自適應規律,3-1 李亞普諾夫穩定性概念及基本原理,用李雅普諾夫穩定性理論設計MRAC系統，其自適應規律既可以由系統的狀態變量構成，也可由系統的輸入輸出構成。,用李雅普諾夫穩定性理論設計MRAC系統,用系統狀態變量構成自適應規律,用控制對象的輸入輸

37、出構成自適應規律,設被控對象是結構已知參數未知的線性系統，系統的結構如圖,用系統狀態變量構成自適應規律,可調系統的狀態方程為,式中 而矩陣的元素 是受干擾影響的時變參數。通常被控系統的參數是不便于直接調整的，,給定一個參考模型，模型對輸入u的響應就代表被控對象所期望的響應。參考模型的狀態方程為,系統的廣義狀態誤差向量為,系統的廣義狀態誤差向量為,系統的廣義狀態誤差向量為,為了使可調系統對輸入u的動態響應與參考模型對輸入u的動態響應完全相一致，自適應機構對K(t)和F(t) 進行調整，使可調系統與參考模型相匹配。,為了使可調系統對輸入u的動態響應與參考模型對輸入u的動態響應完全相一致，自適應機構

38、對K(t)和F(t) 進行調整，使可調系統與參考模型相匹配。,都是對稱正定矩陣，這就保證了V0，兩邊取時間導數，有,都是對稱正定矩陣，這就保證了V0，兩邊取時間導數，有,因為 為穩定矩陣，只要選擇一個對稱正定陣Q，使得 成立，方程中右邊的第一項必定是負定的。為了保證 是負定的，,則可得自適應調節規律為,則可得自適應調節規律為,這樣確定的K(t)、F(t)參數調整的自適應規律，就保證了李雅普諾夫函數V為正定的，它對時間t的導數是負定的，從而對任意分段連續的輸入向量函數u能保證MRAC系統是全局穩定的。,用可調系統狀態變量設計MRAC,用系統狀態變量構成自適應規律,設在初始時刻,產生輸出廣義誤差e

39、,開環系統的動態方程,考慮被控系統為一階的情況,用控制對象的輸入輸出構成自適應規律,設在初始時刻,產生輸出廣義誤差e,開環系統的動態方程,考慮被控系統為一階的情況,設,選擇包含廣義誤差e和增益偏差的李雅普諾夫函數,考慮被控系統為一階的情況,設,選擇包含廣義誤差e和增益偏差的李雅普諾夫函數,取李雅普諾夫函數對時間的導數,設,選擇包含廣義誤差e和增益偏差的李雅普諾夫函數,取李雅普諾夫函數對時間的導數,設,設,定理2 如果在包含原點在內的某個域s內，存在李雅普諾夫函數V(x，t)0 ，且 ,則系統的平衡狀態是漸近穩定的。,設,可調增益的自適應規律,可調增益的自適應規律,閉環自適應系統的動態方程,閉環

40、自適應系統穩定,閉環自適應系統穩定,閉環自適應系統穩定,第四章 用超穩定性理論設計MRAC,4-1 超穩定性理論的基本概念及定義,4-2 用超穩定性理論設計MRAC,而用超穩定性理論來設計模型參考自適應系統，它可以給出一族自適應規律，并且有相當系統的一整套設計理論。因此，有利于讀者學習掌握這種自適應控制的設計方法和結合實際系統靈活選擇適當的自適應控制規律。,2-2 MRAC數學描述,3- MRAC系統的誤差方程,2-2 MRAC數學描述,3- MRAC系統的誤差方程,得出的結論為：如果非線性時變部分滿足某些（波波夫積分不等式）條件，則反饋系統的穩定性僅由線性部分的特征（正實性質）所決定。,超穩

41、定性理論：,2-2 MRAC數學描述,3- MRAC系統的誤差方程,正實性概念最先是在網絡分析與綜合中提出來的，數學上的正實函數的概念與物理上的無源網絡的概念密切相關。,由電阻、電感、電容、變壓器等組成的無源網絡總要從外界吸收能量，因而無源性表示了網絡中能量的非負性，當無源網絡中所有元件都是線性的，其相應的傳遞函數是正實的。,隨著控制理論的不斷發展，正實性概念被引入自動控制，在自適應控制研究中起著重要的作用。,下面，從正式函數的基本數學定義出發，討論有關的理論和特性。,正實性,設 是復變量 的有理函數，其中 和 都是多項式。如果當 為實數時， 也是實數，而且當 時，只要 有定義，就 那么就稱

42、為正實函數。,為實數,為實數,設 是復變量 的有理函數，其中 和 都是多項式。如果當 為實數時， 也是實數，而且當 時，只要 有定義，就有 那么就稱 為正實函數。,為實數,為實數,設 是復變量 的有理函數，其中 和 都是多項式。如果當 為實數時， 也是實數，而且當 時，只要 有定義，就有 那么就稱 為正實函數。,為實數,設 是復變量 的有理函數，其中 和 都是多項式。如果當 為實數時， 也是實數，而且當 時，只要 有定義，就有 那么就稱 為正實函數。,為實數,設 是復變量 的有理函數，其中 和 都是多項式。如果當 為實數時， 也是實數，而且當 時，只要 有定義，就有 那么就稱 為正實函數。,為

43、正實函數,設 是復變量 的有理函數，如果當 為實數時， 也是實數，而且當 時， 恒有定義，并且 ，那么就稱 為嚴格正實函數。,設 是復變量 的有理函數，其中 和 都是多項式。如果當 為實數時， 也是實數，而且當 時，只要 有定義，就有 那么就稱 為正實函數。,設 是復變量 的有理函數，其中 和 都是多項式。如果當 為實數時， 也是實數，而且當 時，只要 有定義，就有 那么就稱 為正實函數。,由于在右半開平面 上檢驗 是一項繁瑣的 運算，所以常用以下等價定義。,設 是復變量 的有理函數，如果 滿足下列條件：,1）當 為實數時， 為實數。 2） 在 右半開平面， 沒有極點。 3）在虛軸上，若存在極

44、點，則相異，其相應留數為實數，且大于等于零。 4）對于 不是 極點時，有 則稱 為正實函數。,設 是復變量 的有理函數，如果 滿足下列條件：,1）當 為實數時， 為實數。 2） 在 右半閉平面， 沒有極點。 3）對于 ，有 則稱 為正實函數。,例：試判斷下列傳遞函數的正實性。,波波夫積分不等式,第四章 用超穩定性理論設計MRAC,4-1 超穩定性理論的基本概念及定義,4-2 用超穩定性理論設計MRAC,用波波夫超穩定性理論設計MRAC系統，其自適應規律既可以由系統的狀態變量構成，也可由系統的輸入輸出構成。,用系統狀態變量構成自適應規律,用控制對象的輸入輸出構成自適應規律,用波波夫穩定性理論設計

45、MRAC系統,用狀態變量設計MRAC 步驟,(1)將模型參考自適應系統等價為非線性時變反饋系統的標準誤差模型的形式，即由一線性的前向方塊和一個非線性的反饋方塊組成。,(2)使等價系統的反饋方塊滿足波波夫積分不等式，并由此確定合適的自適應規律。,(3)確定等價系統的前向方塊是嚴格正實的，從而決定另一部分自適應規律。,(4)將等價系統返回至原始系統，從而完成整個自適應系統的工作原理圖。,用系統狀態變量構成自適應規律,設參考模型的狀態方程：,被控對象的狀態方程,帶入上式：,一般自適應控制采用前饋加反饋的形式，即：,帶入上式：,設：,則可調系統：,則可調系統：,因此，自適應規律將通過調節 ，來調整：,

46、(1)將模型參考自適應系統等價為非線性時變反饋系統的標準誤差模型的形式，即由一線性的前向方塊和一個非線性的反饋方塊組成。,步驟一,由系統廣義誤差方程,得狀態誤差方程：,步驟一,步驟一,步驟一,如果 滿足下列條件：,1） 都具有實系數。 2） 都是胡爾維茨多項式。 3） 階數之差不超過 . 4） 仍為正實函數。,則 仍為正實函數。,引理,步驟一,步驟一,步驟一,為了能使調節的作用在廣義誤差向量逐漸趨向零時仍能維持，自適應規律一般常選為具有比例加積分的作用。,上式帶入：,步驟一,獲得模型參考自適應系統的等價形式,步驟二,使得等價反饋方塊滿足波波夫積分不等式,步驟二,使得等價反饋方塊滿足波波夫積分不

47、等式,步驟二,上式分為兩個部分：,設：,步驟二,上式分為兩個部分：,設：,在形式上完全相同，因此只需分析一個不等式的解即可類推。,步驟二,分析：,求解自適應規律：,再分解為兩個不等式：,（1）,（2）,步驟二,不經證明的一個結論， 只要選取如下的函數，即不等式（1）成立。,（1）,（2）,步驟二,類似的，確定 為：,步驟二,也就是說自適應規律取如下形式，可使等價的非線性方塊滿足波波夫積分不等式。,根據等價前向方塊正實性要求，確定線性補償器D,步驟三,步驟三,根據等價前向方塊正實性要求，確定線性補償器D,步驟三,式中D可以根據定理2，通過求解,式中D可以根據定理2，通過求解,步驟三,若 是嚴格正

48、實，其充分必要條件是：,存在著兩個正定對稱陣 ，以及陣 ，對應于如前描述系統滿足下列關系：,式中D可以根據定理2，通過求解,步驟三,若 是嚴格正實，其充分必要條件是：,存在著兩個正定對稱陣 ，以及陣 ，對應于如前描述系統滿足下列關系：,步驟三,P,Q保證恒為正定陣，從而確定D 陣使得G(s)為嚴格正實函數，此時，系統為全局漸近穩定，其狀態誤差為,若 是嚴格正實，其充分必要條件是：,存在著兩個正定對稱陣 ，以及陣 ，對應于如前描述系統滿足下列關系：,步驟三,P,Q保證恒為正定陣，從而確定D 陣使得G(s)為嚴格正實函數，此時，系統為全局漸近穩定，其狀態誤差為,步驟三,P,Q保證恒為正定陣，從而確

49、定D 陣使得G(s)為嚴格正實函數，此時，系統為全局漸近穩定，其狀態誤差為,步驟四,(4)將等價系統返回至原始系統，從而完成整個自適應系統的工作原理圖。,在確定了 后， 完成整個自適應系統的工作原理圖。,步驟四,有多種選取方法，選取方法不同， 所得到的自適應規律的類型就不同。 一般來說， 選取 為常數，獲得比例積分型自適應規律。,5-1 自校正控制技術,5-2 自校正調節器設計,5-3 自校正控制器設計,第五章 自校正控制技術及自校正調節器設計,常規的PID(比例-積分-微分)調節器的研究，不論在理論方面還是實踐方面都做了大量工作。它被廣泛地應用于各種確定性的控制系統，并且收到了良好的效果，,

50、5-1 自校正控制技術,第五章 自校正控制技術及自校正調節器設計,5-1 自校正控制技術,如果采用自校正技術，就能自動整定調節器或控制器的參數，使系統在較好的性能下運行。,第五章 自校正控制技術及自校正調節器設計,5-1 自校正控制技術,因此，提出采用自適應技術來代替常規的PID調節器。,自適應控制適用于結構已知，參數未知但恒定的系統。,也適用于結構已知，參數緩慢變化的系統。,第五章 自校正控制技術及自校正調節器設計,5-1 自校正控制技術,它既能完成調節器的任務，又能承擔伺服跟蹤完成控制器的任務。,第五章 自校正控制技術及自校正調節器設計,5-1 自校正控制技術,第五章 自校正控制技術及自校

51、正調節器設計,5-1 自校正控制技術,第五章 自校正控制技術及自校正調節器設計,5-1 自校正控制技術,第五章 自校正控制技術及自校正調節器設計,5-1 自校正控制技術,第五章 自校正控制技術及自校正調節器設計,5-1 自校正控制技術,第五章 自校正控制技術及自校正調節器設計,5-1 自校正控制技術,性能指標選取是自校正控制技術中一個重要的內容，它決定自校正控制的方法。,根據性能指標的不同，自校正控制技術又分為：,最小方差自校正控制技術,極點配置自校正控制技術,第五章 自校正控制技術及自校正調節器設計,5-1 自校正控制技術,其性能指標是二次型目標函數的形式（輸入/出量的方差），控制策略是保證

52、這個二次型目標函數達到極小的數值。,目前最常用的二次型目標函數有下列四種形式,最小方差自校正控制技術,第五章 自校正控制技術及自校正調節器設計,5-1 自校正控制技術,最小方差自校正控制技術,自校正控制技術的性能指標的另一種設計方案是在二十世紀70年代中后期由Edmunds(1976),Wellstead(1979) 和 Astrom(1980)等人相繼提出的，這種方法不采用目標函數的形式，而是把預期的閉環系統的行為用一組期望傳遞函數的零極點的位置加以規定。自校正控制策略就是保證實際的閉環系統零極點收斂于這一組期望的零極點。也稱極點配置自校正控制。,第五章 自校正控制技術及自校正調節器設計,5

53、-1 自校正控制技術,極點配置自校正控制技術,極點配置自校正調節器,極點配置自校正控制器,零極點影響系統的動穩態性能,第五章 自校正控制技術及自校正調節器設計,5-1 自校正控制技術,自校正控制系統的數學描述,自校正調節器,自校正控制器,極點配置自校正調節器,極點配置自校正控制器,參數遞推估計器計算方法,參數控制器計算方法,第五章 自校正控制技術及自校正調節器設計,5-1 自校正控制技術,自校正控制技術小型計算機或微處理機來實現，因此受控系統的數學模型都用離散形式。,對于單輸入單輸出受控系統，其離散模型可以表示為：,其中為 受控系統的輸出， 為受控系統的輸出， 為白色序列，即 均相互獨立。,自

54、校正控制系統的數學描述,第五章 自校正控制技術及自校正調節器設計,5-1 自校正控制技術,受控自回歸滑動平均模型,該式指的是：當前t時刻的輸出y(t)，與前na個時刻的輸出 有關，與前nb個時刻的輸入 有關，也與前nc個時刻的噪聲 有關。這是離散系統的一般模型。,其中為 受控系統的輸出， 為受控系統的輸出， 為白色序列，即 均相互獨立。,第五章 自校正控制技術及自校正調節器設計,5-1 自校正控制技術,受控自回歸滑動平均模型,例如：,其中為 受控系統的輸出， 為受控系統的輸出， 為白色序列，即 均相互獨立。,第五章 自校正控制技術及自校正調節器設計,5-1 自校正控制技術,當引入單位時滯算子

55、時，則離散模型可寫成,其中為 受控系統的輸出， 為受控系統的輸出， 為白色序列，即 均相互獨立。,當引入單位時滯算子 時，則離散模型可寫成,其中為 受控系統的輸出， 為受控系統的輸出， 為白色序列，即 均相互獨立。,其中：,式中 為系數未知或系數時變的時滯算子多項式，式中d為系統的時滯時間。,當引入單位時滯算子 時，則離散模型可寫成：,當多項式A的零點位于 平面單位圓上或單位圓內時，A為不穩定多項式，受控系統為開環不穩定系統。,對于：,當多項式B的零點位于 平面單位圓上或單位圓內時，B為不穩定多項式，受控系統為非逆穩定系統。,零點,開環穩定系統,開環穩定多項式,零點,逆穩定系統,穩定多項式,零

56、點,開環穩定系統,開環穩定多項式,在一般情況下，系統的隨機干擾為平穩的，因此除特殊說明外，我們都假定多項式C是穩定多項式。,零點,穩定多項式,要使最小方差自校正調節器的解存在，對A，B，C式有如下要求：,1）受控系統的時延d及多項式A、B、C的階次和系數已知。,2）多項式 所有零點位于 復平面單位圓外， 即系統為逆穩定系統。,4） 為白噪聲序列，,3）多項式 所有零點位于 復平面單位圓外。,第五章 自校正控制技術及自校正調節器設計,5-1 自校正控制技術,自校正控制系統的數學描述,參數遞推估計器計算方法,參數控制器計算方法,5-1 自校正控制技術,5-2 自校正調節器設計,5-3 自校正控制器

57、設計,第五講 自校正控制技術及自校正調節器設計,5-2 自校正調節器設計,第五講 自校正控制技術及自校正調節器設計,5-2 自校正調節器設計,5-2 自校正調節器設計,最小方差自校正調節器,5-2 自校正調節器設計,最小方差自校正調節器,其中：,數學描述,5-2 自校正調節器設計,最小方差自校正調節器,一個控制系統的差分方程可用如下式來表示：,5-2 自校正調節器設計,由于系統中信號的傳遞存在著d 步的時滯，這就使得t時刻的輸入量u(t)要延時到t+d 時刻才能對系統產生作用。因此，要想得到t時刻系統的最優輸出量u(t)，就必須對t+d時刻的輸出y( t+d)進行預測（預測它與u(t)的關系）。 并且，在此基礎上，通過”輸出方差最小”這個性能指標的約束，求得u(t)的表達是即為最優輸出。,最小方差自校正調節器,分析：,5-2 自校正調節器設計,即：就要預測t+d時刻系統的輸出量的表達式y(t+d)，稱為預測模型。并且以此式來構成最小方差自校正調節器的二次型指標函數。,最小方差自校正調節器,5-