1、對坐標的曲面積分,一、對坐標的曲面積分的概念與性質,二、對坐標的曲面積分的計算方法,三、兩類曲面積分之間的聯系,一、對坐標的曲面積分的概念與性質,1. 引例 設穩定流動的不可壓縮流體的速度場為,求單位時間流過有向曲面 的流量 .,說明:,(1) 穩定流動.,(2) 不可壓縮流體.,(3) 有向曲面.,觀察以下曲面的側 (假設曲面是光滑的),曲面分上側和下側,曲面分內側和外側,曲面分左側和右側,莫比烏斯帶(單側曲面的典型),曲面法向量的指向決定曲面的側.,決定了側的曲面稱為有向曲面,其方向用法向量指向,表示 :,方向余弦, 0 為前側 0 為后側,封閉曲面, 0 為右側 0 為左側, 0 為上側

2、 0 為下側,外側 內側,側的規定,在曲面的上側cosg 0，,在曲面的下側cosg 0,g (,例如: 由方程zz(x, y)表示的曲面,分為上側與下側，, 設 為有向曲面,其面元,在 xoy 面上的投影記為,的面積為,則規定,類似可規定,解決方法: 微積分思想,大化小,常代變,近似和,取極限.,(1) 若 是面積為S 的有向平面,法向量:,流速為常向量:,則流量,(2) 若 是一般的有向曲面,法向量:,則流量,V(x, y, z),設 為光滑的有向曲面, 在 上定義了一個,意分割和在局部面元上任意取點,分,記作,P, Q, R 叫做被積函數;, 叫做積分曲面.,或第二類曲面積分.,下列極限

3、都存在,向量場,若對 的任,2. 定義.,稱為Q 在有向曲面上對 z, x 的曲面積分;,稱為R 在有向曲面上對 x, y 的曲面積分.,稱為P 在有向曲面上對 y, z 的曲面積分;,說明:,(1) 流過有向曲面 的流體的流量為,(2) 三個對坐標的曲面積分之和的簡記形式：,如果S是分片光滑的有向曲面，則規定:函數在S上對坐標的 曲面積分等于函數在各片光滑曲面上對坐標的曲面積分之和,(3) 在分片光滑的曲面上對坐標的曲面積分：,(4) 存在條件:,(2) 用 表示 的反向曲面, 則,3. 性質,(1) 若,之間無公共內點, 則,二、對坐標的曲面積分的計算方法,定理: 設光滑曲面,是 上的連續

4、函數, 則,其中如果取曲面的上側,則二重積分號前帶正號; 如果取曲面的下側,則二重積分號前帶負號,證:,說明:, 若,則有,(前正后負), 若,則有,(右正左負),順口溜: 一投二代三定向,計算曲面積分,把有向曲面,分成以下六部分：,的上側；,的下側；,的前側；,的后側；,的右側；,例34.1.,解：,的左側.,除,外，其余四片曲面,在yoz面上的投影為0，,因此：,類似地可得：,于是所求曲面積分為：,解:,例34.2,計算,其中是球面,外側,在,的部分,.,取下側;,取上側;,三、兩類曲面積分之間的聯系,(對坐標的曲面積分),(對面積的曲面積分),事實上,曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫,注

5、:,向量形式,記 有向曲面 的單位法向量為,令,位于原點電量為 q 的點電荷產生的電場為,解:,例34.3.,設,是其外法線與 z 軸正向,夾成的銳角, 計算,解:,例34.4.,計算曲面積分,其中,解: 利用兩類曲面積分的聯系, 有, 原式 =,旋轉拋物面,介于平面 z= 0,及 z = 2 之間部分的下側.,例34.5.,原式 =,設S 是球面,的外側 , 計算,解: 利用輪換對稱性, 有,例34.6.,內容小結,定義:,1. 兩類曲面積分及其聯系,性質:,聯系:,思考:,的方向有關,上述聯系公式是否矛盾 ?,兩類曲線積分的定義一個與 的方向無關, 一個與 ,2. 常用計算公式及方法,面積

6、分,第一類 (對面積),第二類 (對坐標),二重積分,(1) 統一積分變量,代入曲面方程 (方程不同時分片積分),(2) 積分元素投影,第一類： 面積投影,第二類： 有向投影,(4) 確定積分域,把曲面積分域投影到相關坐標面,注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.,轉化,當,時，,（上側取“+”, 下側取“”),類似可考慮在 yoz 面及 zox 面上的二重積分轉化公式 .,求,取外側 .,解:,注意號,其中,備用題,例34.7.,利用輪換對稱性,莫比烏斯,全名：奧古斯特費迪南德莫比烏斯 （August FerdiUs MobiUs，1790 1868年）是德國數學家、天文學家。 1790年

7、11月17日生于德國瑙姆堡附近 的舒爾普福塔。1808年入萊比錫大學 學習法律，后轉攻數學、物理和天文。 1814年獲博士學位，1816年任副教授， 1829年當選為柏林科學院通訊院士， 1844年任萊比錫大學天文與高等力學 教授。1868年9月26日卒于萊比錫。,莫比烏斯的科學貢獻涉及天文和數學兩大領域。在數學方 面,首先是他對19世紀射影幾何學的影響。莫比烏斯發展了射影 幾何學的代數方法。,他在重心計算（1827年）一書中，創立了代數射影 幾何的基本概念-齊次坐標。在同一著作中他還揭示了對 偶原理與配極之間的關系，并對交比概念給出了完善的處理。他較早對拓撲學作深入的探討并給出恰當的提法。此

8、外，莫 比烏斯對球面三角等其它數學分支也有重要貢獻。,公元1858年，莫比烏斯發現：把一個扭轉180后再兩 頭粘接起來的紙條，具有魔術般的性質。,因為，普通紙帶具有兩個面（即雙側曲面），一個正面， 一個反面，兩個面可以涂成不同的顏色；而這樣的紙帶只有一 個面（即單側曲面），一只小蟲可以爬遍整個曲面而不必跨過 它的邊緣！,我們把這種由莫比烏斯發現的神奇的單面紙帶，稱為“莫 比烏斯帶”。,“莫比烏斯帶”在生活和生產中已經有了一些用途。例如， 用皮帶傳送的動力機械的皮帶就可以做成“莫比烏斯帶”狀， 這樣皮帶就不會只磨損一面了。如果把錄音機的磁帶做成“莫 比烏斯帶”狀，就不存在正反兩面的問題了，磁帶就只有一個 面了。,莫比烏斯帶是一種拓撲圖形,什么是拓撲呢？拓撲所研究 的是幾何圖形的一些性質，它們在圖形被彎曲、拉大、縮小 或任意的變形下保持不變，只要在變形過程中不使原來不同 的點重合為同一個點，又不產生新點。換句話說，這種變換 的條件是：在原來圖形的點與變換了圖形的點之間存在著一 一對應的關系，并且鄰近的點還是鄰近的點。這樣的變換叫 做拓撲變換。拓撲