1、1,華中科技大學武昌分校數學公共課程之復變函數與積分變換,主講： 朱祥和,2,引言,高等數學主要研究對象是以實數為變量的函數。而復變函數主要是研究以復數為變量的函數。 復變函數中的許多概念、理論和方法都是實變函數在復數領域內的推廣和發展，因此我們在學習過程中要注意比較兩者的共同點和不同點。 復變函數的理論和方法在數學、自然科學和工程技術中有著廣泛的應用。,3,第一章 復數與復變函數,復數 復數表示及運算 平面點集 復變函數極限和連續性,4,復數、復數表示及運算,復數的概念,復數相等,復數,形如z=x+iy的數被稱為復數，其中x , yR。x=Rez，y=Imz分別為z的實部和虛部，i為虛數單位

2、，其意義為i2=-1,z1=z2當且僅當Rez1= Rez2且Imz1= Imz1,復數不能比較大小,5,復數的幾何表示,復數的幾何表示、復平面,由復數 的定義可知，復數是由一對有序實數 惟一確定的，于是可建立全體復數和 平面上的全部點之間的一一對應關系，即可以用橫坐標為 ，縱坐標為 的點 表示復數 ，這是一種幾何表示法，通常稱為點表示，并將點 與數 看作同義詞.,6,圖1.1,由于 軸上的點對應著實數，故 軸稱為實軸； 軸上非原點的點對應著純虛數，故 軸稱為虛軸。這樣表示復數 的平面稱為復平面或 平面。,7,復數的向量表示、模與輻角,（1）復數的向量表示,復數 還可以用起點為原點，終點為 的

3、向量 來表示， 與 分別是 在 軸與 軸上的投影.這樣，復數與平面上的向量之間也建立了一一對應關系.,（2）復數的模與輻角,復數的模. 向量 的長度稱為復數 的模，記作 或 ，即,8,模的性質：,o,x,y,圖1.3,9,復數的輻角 設復數 對應的向量為 （如圖1.1）, 以正實軸為始邊，以表示 的向量 為終邊的角 ，稱為復數 的輻角,記作 ，即 .,顯然， 有無窮多個值，其中每兩個值相差 的整數倍，但所有 中滿足條件 的只有一個，稱為復數 的輻角的主值，記作 ，則,我們規定 按逆時針方向取值為正，順時針方向取值為負.,10,復平面,復數與平面向量一一對應,模,幅角,并規定幅角按逆時針方向取值

4、為正，順時針方向取值為負.,11,當 z = 0 時, | z | = 0, 而幅角不確定. arg z可由下列關系確定:,說明：當 z 在第二象限時，,例3 求 和,解,13,復數的表示,代數表示： z=x+iy,三角表示：,指數表示：,注意,在三角表示和指數表示下，兩個復數相等當且僅當模相等且幅角相差,例4 求 的三角表示式與指數表示式.,解,因為,所以,設,則,又因為 位于第II象限,所以,于是,15,例4 將下列復數化為三角表示式與指數表示式.,解,1),z在第三象限, 因此,因此,2) 顯然, r = | z | = 1, 又,因此,16,復數的運算,設z1=x1+iy1和 z2=x

5、2+iy2是兩個復數,復數加減法滿足平行四邊形法則，或三角形法則,17,乘法運算,兩個復數相乘等于它們的模相乘，幅角相加,18,除法運算,兩個復數相除等于它們的模相除，幅角相減,19,復數四則運算規律：,（1）加法交換律,（2）乘法交換律,（3）加法結合律,（4）乘法結合律,（5）乘法對于加法的分配律,20,共軛運算,復數z=x+iy的共軛復數為,共軛復數為 是復數z關于實軸的對稱點,21,共軛復數的運算性質：,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,（7） 為實數.,22,.,例1 化簡,解,例2 設 ，求 及,解,所以,24,1. 復數的乘冪,設 為正整數， 個非零相同復數 的乘積

6、，稱為 的 次冪，記為 ，即,若 ，則有,當 時，得到著名的棣莫弗公式,例7 求,解,因為,所以,例8 已知 ， 求,解,因為,所以,27,復數的方根,稱滿足方程 的復數 為 的 次方根，記作,或記作,令,解出,由,即,可求出6個根，它們是,例 解方程,解 因為,所以,例2 計算,解 因為,所以,即,30,練習,31,平面點集,鄰域,平面上以 為心， 為半徑的圓： 內部所有點 的集合稱為點的 鄰域，記為 ，即,稱集合 為 的去心 鄰域， 記作,開集 如果點集 的每一個點都是 的內點，則稱 為開集. 閉集如果點集 的余集為開集，則稱 為閉集. 連通集 設是 開集，如果對于 內任意兩點，都可用折線

7、連接起來，且該折線上的點都屬于 ，則稱開集 是連通集.,33,區域,區域（或開區域） 連通的開集稱為區域或開區域. 閉區域 開區域 連同它的邊界一起，稱為閉區域，記為 .,34,平面圖形的復數表示,很多平面圖形能用復數形式的方程（或不等式）來表示；也可以由給定的復數形式的方程（或不等式）來確定所表示的平面圖形。,例1：,Z平面上以原點為中心、R為半徑的圓周方程為,Z平面上以 Z0為中心、R為半徑的圓周方程為,連接z1 和z2兩點的線段的參數方程為,過兩點 z1 和z2的直線L的參數方程為,35,例2：,考察下列方程（或不等式）在平面上所描繪的幾何圖形。,（1）,該方程表示到點2i和2距離相等的

8、點的軌跡，所以方程表示的曲線就是連接點2i 和2的線段的垂直平分線，它的方程為y = x。,（2）,設 z = x+ iy,36,（3）,表示實軸方向與由點i 到 z 的向量之間交角,的主值，因此滿足方程的點的全體是自 i 點出發且與實軸,正向夾角為45度的一條半射線。（不包括 i點）,（4）,37,例3： 指出不等式,中點z的軌跡所在范圍。,解：,因為,所以,于是有,38,它表示在圓,外且屬于左半平面的所有點的集合,圖 1,1. 簡單曲線、簡單閉曲線,平面曲線,若存在滿足,且,的,使,重點，無重點的連續曲線稱為簡單曲線或,則稱此曲線C有，,約當（Jordan）曲線；,除 外無,其它重點的連續

9、曲線稱為簡單閉曲線，例如,是一條簡單閉曲線（如圖1）.,在幾何直觀上，簡單曲線是平面上沒有“打結”情形的連續曲線，即簡單曲線自身是不會相交的；簡單閉曲線除了沒有“打結”情形之外，還必須是封閉的，例如，圖1.10中的 是簡單曲線， 是簡單閉區域，圖1.11中的 ， 不是簡單曲線，但 是閉曲線.,圖1.10,圖1.11,2. 光滑曲線、分段光滑曲線 設曲線 的方程為 若 ， 在 上可導且 ， 連續不全為零，則稱曲線 為光滑曲線，由若干段光滑曲線銜接而成的曲線稱為分段光滑曲線. 3. 單連通域、多連通域 設 是復平面上一區域，如果在 內任作一條簡單閉曲線 ，其內部的所有點都在 中，則稱區域 為單連通

10、區域；否則稱 為多連通區域或復連通區域.,在幾何直觀上，單連通區域是一個沒有“空洞（點洞）和縫隙”的區域，而多連通區域是有“洞或縫隙”的區域，它可以是由曲線 所圍成的區域中挖掉幾個洞，除去幾個點或一條線段而形成的區域（如圖1.12 ）.,圖1.12,43,練習,考察下列方程（或不等式）在平面上所描繪的幾何圖形，并指明它是有界還是無界，是單連通還是多連通。,44,復變函數,復變函數之定義,設G是一個復數z=x+iy的集合。如果有一個確定的法則存在，按照這一法則，對于集合G中的每一個復數z，有一個或多個復數=u+iv與之對應，那么稱復變數w是復變數z的函數，或復變函數，記為=f(z)。,說明1,如

11、果z的一個值對應著的唯一一個值，那么我們稱f(z)是單值的；如果z的一個值對應著多個的值，那么我們稱f(z)是多值函數。,45,復變函數=f(z)可以寫成=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy,46,z平面,平面,=iz=zexp(i/2),例1 將定義在全平面上的復變函數 化為一對二元實變函數.,解 設 ， ，代入 得,比較實部與虛部得，,例2 將定義在全平面除原點區域上的一對二元實變函數,化為一個復變函數.,解 設 ， ， 則,將 ， 以及 代入上式，經整理后，得,49,復變函數的極限與連續,1.函數極限的定義1.4.1:,一.函數極限:,50,幾何意義:,51,復變函數的極限四

12、則運算法則：,與實變函數的極限性質類似.,惟一性,復合運算等,52,定理1.4.1,2. 極限計算的性質,例3 試求下列函數的極限.,（1）,（2）,解,（1）法1 設 ，則 ，且,得,法2,解：,（2）,例2 證明函數 在 時極限不存在. 證 設 ， 而 考慮二元實函數 當 沿著 （ 為任意實數）趨向于 ，即,顯然，極限值隨 值的不同而不同，所以根據二元實變函數極限的定義知， 在 趨向于 時的極限不存在，即得結論.,二、函數的連續性 定義1.4.2 設 在點 的某鄰域內有定義，若 ，則稱函數 在點 處連續. 若 在區域 內每一個點都連續，則稱函數 在區域 內連續. 定理1.4.2 函數 ， 在 處連續的充要條件是 和 都在點 處連續.,連續的 三要素:,（1） f(z)在z0處有定義,（2）f(z)在z0處有極限,（3）f(z)在z0處的極限值等于函數值,57,連續函數的