1、4.0 引言,第四章 傅里葉變換和系統的頻域分析,時域分析，以沖激函數為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列沖激函數之和；而 yf(t) = h(t)*f(t)。 本章將以正弦信號和虛指數信號ejt為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列不同頻率的正弦信號或虛指數信號之和。 用于系統分析的獨立變量是頻率， 故稱為頻域分析 。,頻域分析,從本章開始由時域轉入變換域分析，首先討論傅里葉變換。傅里葉變換是在傅里葉級數正交函數展開的基礎上發展而產生的，這方面的問題也稱為傅里葉分析（頻域分析）。將信號進行正交分解，即分解為三角函數或復指數函數的組合。 頻域分析將時間變量變換成頻率變量，揭示了信號內在的頻率

2、特性以及信號時間特性與其頻率特性之間的密切關系，從而導出了信號的頻譜、帶寬以及濾波、調制等重要概念。,發展歷史,1822年，法國數學家傅里葉(J.Fourier,1768-1830)在研究熱傳導理論時發表了“熱的分析理論”，提出并證明了將周期函數展開為正弦級數的原理，奠定了傅里葉級數的理論基礎。 泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把這一成果應用到電學中去，得到廣泛應用。 19世紀末，人們制造出用于工程實際的電容器。 進入20世紀以后，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列具體問題的解決為正弦函數與傅里葉分析的進一步應用開辟了廣闊的前景。 在通信與控制系統的理論研究和工程實際應用中，傅

3、里葉變換法具有很多的優點。 “FFT”快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力。,4.1 信號分解為正交函數,矢量正交與正交分解 信號正交與正交函數集 信號的正交分解,第四章 傅里葉變換和系統的頻域分析,一、矢量正交與正交分解,矢量正交的定義： 矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)與Vy = ( vy1, vy2, vy3)的內積為0。 即,正交矢量集：由兩兩正交的矢量組成的矢量集合,如三維空間中，以矢量 vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2) 所組成的集合就是一個正交矢量集。 矢量A =(2，5，8)表示為 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz,矢量

4、空間正交分解的概念可推廣到信號空間。,二、信號正交與正交函數集,1. 信號正交：,定義在(t1，t2)區間的 1(t)和 2(t)滿足,(兩函數的內積為0),則稱 1(t)和 2(t) 在區間(t1，t2)內正交。,2. 正交函數集：,若n個函數 1(t)， 2(t)， n(t)構成一個函數集，這些函數在區間(t1，t2)內滿足,則稱此函數集為在區間(t1，t2)的正交函數集。,3. 完備正交函數集：,如果在正交函數集1(t)， 2(t)， n(t)之外，不存在函數(t)(0）滿足,則稱此函數集為完備正交函數集。,例如： 三角函數集 1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 虛指數函數

5、集ejnt，n=0，1，2， 是兩組典型的在區間(t0，t0+T)(T=2/)上的完備正交函數集。,( i =1，2，n),三、信號的正交分解,設有n個函數 1(t)， 2(t)， n(t)在區間(t1，t2)構成一個正交函數空間。將任一函數f(t)用這n個正交函數的線性組合來近似，可表示為 f(t)C11+ C22+ Cnn,如何選擇各系數Cj使f(t)與近似函數之間誤差在區間(t1，t2)內為最小。,通常使誤差的方均值(稱為均方誤差)最小。均方誤差為,為使上式最小,展開上式中的被積函數，并求導。上式中只有兩項不為0，寫為,即,所以系數,代入，得最小均方誤差（推導過程見教材）,在用正交函數去

6、近似f(t)時，所取得項數越多，即n越大，則均方誤差越小。當n時（為完備正交函數集），均方誤差為零。此時有,上式稱為(Parseval)巴塞瓦爾公式，表明：在區間(t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完備正交函數集中分解的各正交分量能量的之和。,函數f(t)可分解為無窮多項正交函數之和,小結,函數f(t)可分解為無窮多項正交函數之和,巴塞瓦爾能量公式,4.2 傅里葉級數,傅里葉級數的三角形式 波形的對稱性與諧波特性 傅里葉級數的指數形式 周期信號的功率Parseval等式,一、傅里葉級數的三角形式,1.三角函數集,在一個周期內是一個完備的正交函數集。,由積分可知,cos(nt)，si

7、n(nt)，n=0，1,2,2級數形式,設周期信號f(t)，其周期為T，角頻率=2/T，當滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時，它可分解為如下三角級數 稱為f(t)的傅里葉級數,系數an , bn稱為傅里葉系數,可見， an 是n的偶函數， bn是n的奇函數。,其他形式,式中，A0 = a0,上式表明，周期信號可分解為直流和許多余弦分量。 A0/2為直流分量 A1cos(t+1)稱為基波或一次諧波，其角頻率與原周期信號相同 A2cos(2t+2)稱為二次諧波，其頻率是基波的2倍 一般而言，Ancos(nt+n)稱為n次諧波。,可見：An是n的偶函數， n是n的奇函數。 an = Ancos

8、n， bn = Ansin n，n=1,2,將上式同頻率項合并，可寫為,二、波形的對稱性與諧波特性,1 .f(t)為偶函數對稱縱坐標,bn =0，展開為余弦級數。,2 .f(t)為奇函數對稱于原點,an =0，展開為正弦級數。,例,3 .f(t)為奇諧函數f(t) = f(tT/2),此時 其傅里葉級數中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量即 a0=a2=b2=b4=0,4 f(t)為偶諧函數f(t) = f(tT/2),此時 其傅里葉級數中只含偶次諧波分量，而不含奇次諧波分量即 a1=a3=b1=b3=0,三、傅里葉級數的指數形式,三角形式的傅里葉級數，含義比較明確，但運算常感不便，因而經常

9、采用指數形式的傅里葉級數。,系數Fn 稱為復傅里葉系數,利用 cosx=(ejx + ejx)/2可從三角形式推出：,推導,虛指數函數集ejnt，n=0，1，2，,傅里葉系數之間關系,n的偶函數：an ， An ， |Fn | n的奇函數: bn ，n,四、周期信號的功率Parseval等式,直流和n次諧波分量在1電阻上消耗的平均功率之和。 n0時， |Fn| = An/2。,周期信號一般是功率信號，其平均功率為,這是Parseval定理在傅里葉級數情況下的具體體現。,證明,求周期鋸齒波的三角函數形式的傅里葉級數展開式。,周期鋸齒波的傅里葉級數展開式為,直流,基波,二次諧波,解：,指數形式付氏

10、級數推導,上式中第三項的n用n代換，A n=An， n= n， 則上式寫為,令A0=A0ej0ej0t ，0=0,所以,令復數,n = 0, 1, 2，,表明：任意周期信號f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數信號之和。 F0 = A0/2為直流分量。,周期信號功率式證明,對于三角函數形式的傅里葉級數,平均功率,對于指數形式的傅里葉級數,總平均功率=直流、各次諧波的平均功率之和,狄里赫利(Dirichlet)條件,條件3:在一周期內，信號絕對可積。,條件2：在一周期內，極大值和極小值的數目應是有限個。,條件1：在一周期內，如果有間斷點存在，則間斷點的數目應是有限個。,例2,例1,例3,例1,不滿

11、足條件1的例子如下圖所示，這個信號的周期為8，它是這樣組成的：后一個階梯的高度和寬度是前一個階梯的一半?？梢娫谝粋€周期內它的面積不會超過8，但不連續點的數目是無窮多個。,例2,不滿足條件2的一個函數是,對此函數，其周期為1，有,例3,周期信號 ，周期為1，不滿足此條件。,4.3 周期信號的頻譜,信號頻譜的概念 周期信號頻譜的特點 頻帶寬度,一、信號頻譜的概念,從廣義上說，信號的某種特征量隨信號頻率變化的關系，稱為信號的頻譜，所畫出的圖形稱為信號的頻譜圖。 周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關系，即 將An和n的關系分別畫在以為橫軸的平面上得到的兩個圖，分別稱為振幅頻譜圖

12、和相位頻譜圖。因為n0，所以稱這種頻譜為單邊譜。 也可畫|Fn|和n的關系，稱為雙邊譜。若Fn為實數，也可直接畫Fn 。,圖示,頻譜概念演示,頻譜概念演示,既是奇函數又是奇諧函數,例1,例2,對于雙邊頻譜，負頻率，只有數學意義，而無物理意義。為什么引入負頻率？ f(t)是實函數，分解成虛指數，必須有共軛對ejn和e-jn，才能保證f(t)的實函數的性質不變。,二、周期信號頻譜的特點,舉例：有一幅度為1，脈沖寬度為的周期矩形脈沖，其周期為T，如圖所示。求頻譜。,令Sa(x)=sin(x)/x (取樣函數）, n = 0 ,1，2，,(1)包絡線形狀：抽樣函數,(3)離散譜（諧波性）,周期信號頻譜

13、的特點,譜線的結構與波形參數的關系 T一定，變小，此時（譜線間隔）不變。兩零點之間的譜線數目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。 一定，T增大，間隔減小，頻譜變密。幅度減小。 如果周期T無限增長（這時就成為非周期信號），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號的離散頻譜就過渡到非周期信號的連續頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。,(1)周期信號的頻譜具有諧波(離散)性。譜線位置是基頻的整數倍；(2)一般具有收斂性。總趨勢減小。,三頻帶寬度,1.問題提出,第一個零點集中了信號絕大部分能量（平均功率） 由頻譜的收斂性可知，信號的功率集中在低頻段。,周期矩形脈沖信號的功率,而總功率,二者比值,2頻

14、帶寬度,在滿足一定失真條件下，信號可以用某段頻率范圍的信號來表示，此頻率范圍稱為頻帶寬度。,對于一般周期信號，將幅度下降為0.1|Fn|max 的頻率區間定義為頻帶寬度。,語音信號 頻率大約為 3003400Hz，,音樂信號 5015,000Hz，,擴音器與揚聲器 有效帶寬約為 1520,000Hz。,3系統的通頻帶信號的帶寬，才能不失真,頻譜圖示（單邊）,幅度頻譜,相位頻譜,離散譜，譜線,單邊頻譜圖例,例：周期信號 f(t) = 試求該周期信號的基波周期T，基波角頻率，畫出它的單邊頻譜圖，并求f(t) 的平均功率P。,解 首先應用三角公式改寫f(t)的表達式，即,顯然1是該信號的直流分量。,

15、的周期T1 = 8,的周期T2 = 6,所以f(t)的周期T = 24，基波角頻率=2/T = /12,是f(t)的/4/12 =3次諧波分量；,是f(t)的/3/12 =4次諧波分量；,畫出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖,例2,請畫出其幅度譜和相位譜。,解：化為余弦形式,單邊頻譜圖,三角函數形式的傅里葉級數的譜系數,雙邊頻譜圖,整理,4.4 非周期信號的頻譜,傅里葉變換 常用函數的傅里葉變換,一傅里葉變換,：周期信號,非周期信號,連續譜，幅度無限?。?離散譜,1. 引出,0,再用Fn表示頻譜就不合適了，雖然各頻譜幅度無限小，但相對大小仍有區別，引入頻譜密度函數。令,0,(單位頻率上

16、的頻譜）,稱為頻譜密度函數。,考慮到：T，無窮小，記為d； n （由離散量變為連續量），而,同時， ,于是，,傅里葉變換式“-”,傅里葉反變換式,F(j)稱為f(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數，簡稱頻譜。 f(t)稱為F(j)的傅里葉反變換或原函數。,由傅里葉級數,也可簡記為,f(t) F(j),F(j)一般是復函數，寫為 F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX(),說明 (1)前面推導并未遵循嚴格的數學步驟?？勺C明，函數f(t)傅里葉變換存在的充分條件:,(2)用下列關系還可方便計算一些積分,或F(j) = F f(t) f(t) = F 1F(j),二、常用函數的傅

17、里葉變換,1.矩形脈沖 (門函數）,記為g(t),頻譜圖,幅度頻譜,相位頻譜,頻寬：,2單邊指數函數,f(t) = et(t)， 0,頻譜圖,幅度頻譜：,相位頻譜：,3雙邊指數函數,f(t) = e|t| ， 0,4沖激函數(t)、(t),5直流信號1,有一些函數不滿足絕對可積這一充分條件，如1，(t) 等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。 可構造一函數序列fn(t)逼近f (t) ，即,而fn(t)滿足絕對可積條件，并且fn(t)的傅里葉變換所形成的序列Fn(j)是極限收斂的。則可定義f(t)的傅里葉變換F (j)為,這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換。,討論：,推導 12(

18、),構造 f(t)=e-t ， 0,所以,又,因此， 12(),求F 1另一種方法,將(t)1代入反變換定義式，有,將-t，t，有,再根據傅里葉變換定義式，得,6. 符號函數,不滿足絕對可積條件,頻譜圖,7. 階躍函數,歸納記憶：,1. F 變換對,2. 常用函數 F 變換對：,(t),(t),e -t (t),g(t),sgn (t),e |t|,1,1,2(),4.5 傅里葉變換的性質,線性 奇偶性 對稱性 尺度變換 時移特性,頻移特性 卷積定理 時域微分和積分 頻域微分和積分 相關定理,一線性性質(Linear Property),If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)

19、then,a f1(t) + b f2(t) a F1(j) + b F2(j) ,Proof: F a f1(t) + b f2(t),= a F1(j) + b F2(j) ,Example,二奇偶虛實性(Parity),If f (t) is real function, and,f (t) F(j)=|F(j)|ej() = R()+jX(),then,R()= R()， X()= X()， |F(j)|= |F(j)|， ()= ()， f (t) F(j) = F*(j) If f (t)= f (t) then X()=0， F(j) = R() If f (t)= f (t)

20、then R()=0， F(j) = jX(),Proof,三、對稱性(Symmetrical Property),If f (t) F(j) then,Proof:,（1）,in (1) t ，t then,（2）,in (2) - then, F(j t) 2f () end,F( jt ) 2f (),Example,練習,四、尺度變換性質(Scaling Transform Property),If f (t) F(j) then,where “a” is a nonzero real constant.,Proof,Also,letting a = -1,f (- t ) F( -j

21、),Example-1,意義,五、時移特性(Timeshifting Property),If f (t) F(j) then,where “t0” is real constant.,Proof: F f (t t0 ) ,Example 1,Example 2,Example 3,六、頻移性質(Frequency Shifting Property),If f (t) F(j) then,Proof:,where “0” is real constant.,F e j0t f(t),= F j(-0) end,For example 1,f(t) = ej3t F(j) = ?,Ans:

22、1 2() ej3t 1 2(-3),Example 2,七、卷積性質(Convolution Property),Convolution in time domain：,If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j) Then f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j),Convolution in frequency domain：,If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j),Then f1(t) f2(t) F1(j)*F2(j),Proof,Example,八、時域的微分和積分(Differentiation and Integration in time dom

23、ain),If f (t) F(j) then,Proof:,f(n)(t) = (n)(t)*f(t) (j )n F(j) f(-1)(t)= (t)*f(t) ,Example 1,Example 2,Example 3,九、頻域的微分和積分(Differentiation and Integration in frequency domain),If f (t) F(j) then,(jt)n f (t) F(n)(j),where,Example 1,Example 2,十、相關定理(Correlation theorem),If f1(t) F1(j) ，f2(t) F2(j) ，

24、f(t) F(j) then F R12() = F1(j) F2* (j) F R21() = F1* (j) F2 (j) F R() = |F (j)|2,Proof,尺度變換意義,(1)0a1 時域擴展，頻帶壓縮。,脈沖持續時間增加a倍，變化慢了，信號在頻域的頻帶壓縮a倍。高頻分量減少，幅度上升a倍。,(2) a1 時域壓縮，頻域擴展a倍。,(3) a=-1 時域反轉，頻域也反轉。,持續時間短，變化快。信號在頻域高頻分量增加，頻帶展寬，各分量的幅度下降a倍。,尺度變換證明,Proof:,F f (a t ) =,For a 0 ,F f (a t ) ,for a 0 ,F f (a

25、t ) ,That is ,f (a t ) ,尺度變換例1,For example 1,f(t) = F(j) = ?,Ans:,Using symmetry,so that,對稱性舉例,For example, F(j) = ?,Ans:,if =1,卷積定理舉例,For example,Ans:,Using symmetry,頻移（調制）特性例,已知矩形調幅信號,解：,因為,頻域微分積分特性例1,For example 1,Determine f (t) = t(t) F (j)=?,Ans:,Notice: t(t) =(t) * (t) ,Its wrong. Because ()(

26、) and (1/j)() is not defined.,Summary:,If f (n)(t) Fn(j)，and f(-)+ f() = 0 then f (t) F (j) = Fn(j)/ (j)n,頻域微分積分特性例2,For example 2,Determine,Ans:,Summary:,If f (n)(t) Fn(j)，and f(-)+ f() = 0 then f (t) F (j) = Fn(j)/ (j)n,奇偶虛實性證明,設f(t)是實函數（為虛函數或復函數情況相似，略）,顯然,時移尺度舉例,For example 1,Given that f (t)F( j

27、), find f (at b) ?,Ans: f (t b),e -jb F( j),f (at b) ,or,f (at) ,f (at b) =,時移特性舉例,For example F(j) = ?,Ans: f1(t) = g6(t - 5) , f2(t) = g2(t - 5),g6(t - 5) ,g2(t - 5) , F(j) =,+,時移舉例3,求圖(a)所示三脈沖信號的頻譜。,解：,因為,脈沖個數增多，頻譜 包絡不變，帶寬不變。,時域卷積定理的證明,Ff1(t)*f2(t),So that,Interchanging the order of integration,U

28、sing time shifting,f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j),時域微分積分特性例2,f(t)= 1/t2 ?,For example 1,Ans:,時域微分積分特性例3,For example 3,Determine f (t) F (j),Ans:,f ”(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2),F2(j)= F f ”(t) = e j2 2 + e j2= 2cos(2) 2,F (j) =,Notice:,d(t)/dt = (t) 1,(t) 1/(j),Summary:,If f (n)(t) Fn(j)，and f(-)+ f() = 0 then

29、 f (t) F (j) = Fn(j)/ (j)n,線性性質例,For example F(j) = ?,Ans: f (t) = f1(t) g2(t),f1(t) = 1 2(),g2(t) 2Sa(), F(j) = 2() - 2Sa(),=,-,時域微分特性例1,f(t)= 1/t2 ?,For example 1,Ans:,相關定理證明,利用相關函數與卷積積分的關系 R12() = f1()* f2(),F R12() = F f1()* f2()= F f1() F f2(),由于F f2() = F2 (j)= F2*(j) 故 F R12() = F1(j) F2*(j),

30、4.6 能量譜和功率譜,帕斯瓦爾關系Parsevals Relation 能量譜 功率譜 能量譜和功率譜分析,一帕塞瓦爾關系Parsevals Relation,Example,Proof,二能量譜密度（能量譜）,定義,能量譜指單位頻率的信號能量，記為E(),在頻帶df內信號的能量為E() df，因而信號在整個頻率范圍的總能量,由帕塞瓦爾關系可得,E()=|F(j)|2,R() E(),能量譜函數與自相關函數是一對傅里葉變換對。,三、 功率譜,是功率有限信號,定義,功率譜指單位頻率的信號功率，記為P(),在頻帶df內信號的功率為P() df，因而信號在整個頻率范圍的總功率,P()=,因此,R(

31、) P(),功率有限信號的功率譜與自相關函數是一對傅里葉變換。,維納-欣欽關系式,例1,例2,四、能量譜和功率譜分析,時域,頻域,因此,顯然,物理意義：響應的能譜等于激勵的能譜與|H(j)|2的乘積。,同樣，對功率信號有,Py()= |H(j)|2 Pf(),例,功率譜例1,求余弦信號,的自相關函數和功率譜。,解：對此功率有限信號，由自相關函數的定義，有,求功率譜,因為功率有限信號的功率譜函數與自相關函數是一對傅里葉變換,所以功率譜為:,P(),功率譜例2,白噪聲，其功率譜密度為PN()=N(常量)，-,解：利用維納-欣欽關系式，得自相關函數,由于白噪聲的功率譜密度為常數，所以白噪聲的自相關函

32、數為沖激函數，表明白噪聲在各時刻的取值雜亂無章，沒有任何相關性。,求自相關函數。,求功率譜,因為功率有限信號的功率譜函數與自相關函數是一對傅里葉變換,所以功率譜為:,P(),帕塞瓦爾能量關系例,For example,Determine the energy of,Ans:,證明方法二,由相關定理知,所以,又能量有限信號的自相關函數是,因此，得,帕塞瓦爾能量關系證明,證法一：,證法二,證明方法二,由相關定理知,所以,又能量有限信號的自相關函數是,因此，得,功率譜分析例,解：,系統函數為,輸出功率譜：,自相關函數,考慮到,由,得,平均功率,周期信號傅氏變換例2,例2：周期信號如圖，求其傅里葉變換

33、。,解：周期信號f(t)也可看作一時限非周期信號f0(t)的周期拓展。即,f(t) = T(t)* f0(t),F(j) = () F0(j),F(j),本題 f0(t) = g2(t),自相關函數,考慮到,由,得,平均功率,頻域分析例1,例：某LTI系統的H(j)和()如圖， 若f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)，求系統的響應。,解法一：用傅里葉變換,F(j) = 4() + 4(5) + (+5) + 4(10) + (+10),Y(j) = F(j)H(j) = 4() H(0) + 4(5) H(j5) + (+5) H(-j5) + 4(10) H(j10)

34、 + (+10) H(-j10) ,H(j)=H(j) ej(),= 4() + 4-j0.5(5) + j0.5(+ 5) ,y(t) = F-1Y(j) = 2 + sin(5t),自相關函數,考慮到,由,得,平均功率,無失真例,例：系統的幅頻特性|H(j)|和相頻特性如圖(a)(b)所示，則下列信號通過該系統時，不產生失真的是,(A) f(t) = cos(t) + cos(8t) (B) f(t) = sin(2t) + sin(4t) (C) f(t) = sin(2t) sin(4t) (D) f(t) = cos2(4t),頻率響應例2,例：如圖電路，R=1，C=1F，以uC(t

35、)為輸出，求其h(t)。 若uS(t)=2cos(t)，求uC(t)=？,解：畫電路頻域模型,h(t)= e-t (t),由于,解法二：用三角傅里葉級數,f(t)的基波角頻率=5rad/s,f(t)= 2 + 4cos(t) + 4cos(2t),H(0) =1， H(j) = 0.5e-j0.5， H(j2) = 0,y(t) = 2 + 40.5cos(t 0.5) = 2 + 2sin(5t),頻率響應例1,例1：某系統的微分方程為 y(t) + 2y(t) = f(t) 求f(t) = e-t(t)時的響應y(t)。,解：微分方程兩邊取傅里葉變換,jY(j) + 2Y(j) = F(j

36、),f(t) = e-t(t),Y(j) = H(j)F(j),y(t) = (e-t e-2t )(t),解法二：用三角傅里葉級數,f(t)的基波角頻率=5rad/s,f(t)= 2 + 4cos(t) + 4cos(2t),H(0) =1， H(j) = 0.5e-j0.5， H(j2) = 0,y(t) = 2 + 40.5cos(t 0.5) = 2 + 2sin(5t),4.9 取樣定理,信號的取樣 取樣定理,取樣定理論述了在一定條件下，一個連續信號完全可以用離散樣本值表示。這些樣本值包含了該連續信號的全部信息，利用這些樣本值可以恢復原信號?？梢哉f，取樣定理在連續信號與離散信號之間架

37、起了一座橋梁。為其互為轉換提供了理論依據。,一信號的取樣,所謂“取樣”就是利用取樣脈沖序列s(t)從連續信號f(t)中“抽取”一系列離散樣本值的過程。 這樣得到的離散信號稱為取樣信號fs(t) 。 它是對信號進行數字處理的第一個環節。,脈沖序列,取樣原理圖：,需要解決的問題：,Fs(j)與F(j)的關系,由fs(t)能否恢復f(t)?,1理想取樣（周期單位沖激取樣）,f(t)F(j) (m m),s(t)S(j),fs(t)Fs (j),2沖激取樣信號的頻譜,=,*,=,TS 取樣間隔 S 取樣角頻率,畫fS(t)的頻譜時， 設定S 2m ,這時其頻譜不發生混疊，因此能設法(如利用低通濾波器)

38、，從FS(j)中取出F(j)，即從fS(t)中恢復原信號f(t); 否則將發生混疊。,二、時域取樣定理,一個頻譜在區間（-m，m)以外為0的帶限信號f(t)，可唯一地由其在均勻間隔Ts Ts1/(2fm) 上的樣點值f(nTs)確定。,恢復,奈奎斯特(Nyquist) 頻率和間隔,注意：為恢復原信號，必須滿足兩個條件： （1）f(t)必須是帶限信號； （2）取樣頻率不能太低，必須fs2fm， 或者說，取樣間隔不能太大，必須Ts1/(2fm); 否則將發生混疊。,通常把最低允許的取樣頻率fs=2fm稱為奈奎斯特（Nyquist)頻率； 把最大允許的取樣間隔Ts=1/(2fm)稱為奈奎斯特間隔。,

39、頻域取樣定理,根據時域與頻域的對偶性，可推出頻域取樣定理: 一個在時域區間（-tm，tm)以外為0的時限信號f(t)的頻譜函數F(j)，可唯一地由其在均勻頻率間隔fs fs1/(2tm)上的樣值點F(jns)確定。,由取樣信號恢復原信號,理想低通濾波器,濾除高頻成分，即可恢復原信號,從時域運算解釋,時域運算,以理想抽樣為例,理想低通濾波器：,說明,連續信號f(t)可以展開成Sa函數的無窮級數，級數的系數等于取樣值f(nTs)。 也可以說在取樣信號fs(t)的每個取樣值上畫一個峰值為f(nTs) 的Sa函數波形，由此合成的信號就是fs(t) 。,4.10 序列的傅里葉分析,周期序列的離散傅里葉級

40、數(DFS) 非周期序列的離散時間傅里葉變換(DTFT) 四種傅里葉變換的特點和關系,將傅里葉級數和傅里葉變換的分析方法應用于離散時間信號稱為序列的傅里葉分析 。,一周期序列的離散傅里葉級數(DFS),周期序列記為fN(k)，N為周期，數字角頻率為,由于 也是周期為N的序列，即,由于 也是周期為N的序列，即,則fN(k)可展開為,推導,注意：ejk是周期為2的周期函數。,DFS定義,令,則,FN(n)稱為離散傅里葉系數。,稱為周期序列的離散傅里葉級數(Discrete Fourier Series, DFS) 。,令 則,離散傅里葉級數變換對,注意：fN(k)只有N個諧波分量。,例,二、非周期

41、序列的離散時間傅里葉變換(DTFT),周期序列fN(k),非周期序列f(k),連續譜；,離散譜,1. 引出,0,定義非周期序列f(k)的離散時間傅里葉變換(Discrete Time Fourier Transform, DTFT)為,逆變換的導出,fN(k) f(k),由于n的取值周期為N，2n/N的周期為2。,非周期序列的離散時間傅里葉逆變換,表示,說明： F(ej)是的連續周期函數，周期為2。 DTFT存在的充分條件是f(k)滿足絕對可和，即,例,三、四種傅里葉變換的特點和關系,，,，,一般說來，在一個域中為連續的表示，在另一個域中就是非周期性的表示；與此對比，在一個域中為離散的表示，在

42、另一個域中就是周期性的表示。,關系,fT(t)的傅里葉級數(CFS)與f(t)的傅里葉變換(CTFT)的關系,f(t)為剪裁fT(t)主周期得到的非周期信號。,fN(k)的離散傅里葉級數(DFS)與f(k)的離散時間傅里葉變換(DTFT)的關系,FN(n)= F(ej) ，F(e j) = FN(n),f(k)為剪裁fN(k)主周期得到的非周期序列。,離散傅里葉級數例,例 求圖所示周期脈沖序列的離散傅里葉級數展開式。,解 周期N =4，=2/N=/2，求和范圍取為0，3,fN(k) =2 + (1 j1)ej0.5k +( 1+ j1) ej1.5k/4 =0.51+cos(0.5k)+sin

43、(0.5k),離散傅里葉系數推導,兩端同乘e-jmk，并在一個周期求和，有,上式右端對k求和時，僅當n=m時為非零且等于N，故上式可寫為,DTFT舉例,例：求下列序列的離散時間傅里葉變換。,解 F1(ej) = DTFTf1(k) =,4.11 離散傅里葉變換及其性質,離散傅里葉變換DFT DFT與DTFT、DFS的關系 DFT的性質,離散信號分析和處理主要手段是利用計算機去實現，然而序列f(k)的離散時間傅里葉變換F(ej)是的連續函數。為便于計算機去實現，引入離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform,DFT),一離散傅里葉變換(DFT),借助周期序列DFS的概念導出有限長序列的DFT。,將有限長序列f(k)延拓成周期為N的周期序列fN(k),若將f(k)，F(n)分別理解為fN(k)，FN(n)的主值序列，那么，DFT變換對與DFS變換對的表達式完