1、畢業設計畢業設計（ （論論文）文） 題 目：關于線性變換值域與核的問題研究 學生姓名：代婷 學 號： 2012010128 所在學院：金融與數學學院 專業班級：數學與應用數學 屆 別：2014 屆 指導教師：趙啟林 皖西學院本科畢業設計（論文）創作誠信承諾書皖西學院本科畢業設計（論文）創作誠信承諾書 1.本人鄭重承諾：所提交的畢業設計（論文），題目 是本人在指導教師指導下獨立完成的，沒有弄虛作假，沒有抄襲、剽 竊別人的內容； 2.畢業設計（論文）所使用的相關資料、數據、觀點等均真實可靠， 文中所有引用的他人觀點、材料、數據、圖表均已標注說明來源； 3. 畢業設計（論文）中無抄襲、剽竊或不正當引

2、用他人學術觀點、 思想和學術成果，偽造、篡改數據的情況； 4.本人已被告知并清楚：學校對畢業設計（論文）中的抄襲、剽竊、 弄虛作假等違反學術規范的行為將嚴肅處理，并可能導致畢業設計（論 文）成績不合格，無法正常畢業、取消學士學位資格或注銷并追回已發 放的畢業證書、學士學位證書等嚴重后果； 5.若在省教育廳、學校組織的畢業設計（論文）檢查、評比中，被發 現有抄襲、剽竊、弄虛作假等違反學術規范的行為，本人愿意接受學校 按有關規定給予的處理，并承擔相應責任。 學生（簽名）： 日期： 年 月 日 目 錄 前言：前言： .2 2 1 1 線性變換線性變換與其對應的矩陣與其對應的矩陣之間的關系之間的關系

3、.2 2A 2 2 維數公式維數公式.3 3 3 3成立的條件成立的條件 .3 3)0( 1 V )0( 1 VV )( 4 4 已知線性變換的核和值域，構造其線性變換已知線性變換的核和值域，構造其線性變換 .7 7 5 5 關于兩個線性變換關于兩個線性變換的值域和核相等的條件的值域和核相等的條件 .9 9, 6 6 線性變換線性變換的核與最小多項式的關系的核與最小多項式的關系 .1212 7 7 特殊線性變換的值域與核特殊線性變換的值域與核.1313 參考文獻：參考文獻： .1414 線性變換的值域與核的研究 學生：代婷（指導老師：趙啟林） （皖西學院金融與數學學院學院） 摘要： 了解線性變

4、換的一些基本概念，在此基礎上為了探討總結線性變換的值域與核的基 本性質和關系，研究了線性變換與其對應的矩陣之間的關系，維數公式以及 已知線A 性變換的核和值域，構造其線性變換，成立的條件，)0( 1 )(V )0( 1 VV )( 幾個問題根據上述的關系和結論論述在線性空間或矩陣理論方面的應用如線性變換的核 與最小多項式的關系關于兩個線性變換的值域和核相等的條件特殊線性變換的值域與, 核。 關鍵詞：線性變換；值域；核；線性空間 ；矩陣 Study of Range and Kernel of Linear Transformation Student: DaiTing(Faculty Advi

5、ser：ZhaoQiling) (College of Biological and Pharmaceutical Engineering, West Anhui University) Abstract: The understanding of some basic concepts of linear transformation, on the basis of the relationship between matrix summary, range and kernel of linear transformations and basic properties of linea

6、r transformation and the corresponding relation between A dimension formula, nuclear and range known linear transformation, construct the linear transform, )0( 1 )(V established conditions, according to the the conclusion discusses the ()0( 1 VV ) relationship and application in linear space or matr

7、ix theory aspects such as nuclear and the minimal polynomial of A to the linear transformation of two linear transformations A, range and nuclear B range and kernel equal conditions of special linear transformation, Keywords: linear transform; domain kernel;linear space ;matrix 前言： 為了后面敘述的方便，本文約定：表示

8、一個數域，表示數域上的一PVP 個維線性空間，表示上的一個線性變換，表示上的一組基，n,V n , 21 V 表示,在基下 所對應的矩陣，表示上的所有線性變換構A n , 21 VV 成的集合。由線性變換的理論知，它構成了一個線性空間；表示矩 n AAA, 21 陣的第 1 列、第 2 列，第列的列向量，表示由向量組An s L, 21 生成的子空間；表示線性變換的值域，即 s , 21 )(V() V ;表示線性變換的核，即，表| )(V)0( 1 |)0( 1 0)(Wdim 示線性空間的維數。 1 1 線性變換線性變換與其對應的矩陣與其對應的矩陣之間的關系之間的關系。A 向量組與向量組等

9、價，因而由向量根據上述的約定 n AAA, 21 n BBB, 21 則有：A nn ),(),( 2121 作映射：，即A)(A 有線性變換的理論可得：是到的一個同構映射。)(V nn P 如果：，此時可設,)0( 1 X x x x n n n , 21 2 1 21 從而可得：，即,反之也對。(0,) 21 AX n 0AX 不妨記： n PXAXXA , 0|0 1 若果，則存在使得：，)(VV)( 不妨設：;由，可得：YX nn ),(,),( 2121 )( ，即在基下的坐標（列向量）是的列向量組XAY n , 21 XA 的一個線性組合，也即是：， n AAA, 21 n AAA

10、LX, 21 反之也是對的，即若，則 n AAALX, 21 ,),( 21 X n )(V 上述結果事實上證明了： 命題 1.1.1：如果表示上的一組基，表示在基下 n , 21 VA n , 21 所對應的矩陣，則與同構，與|)0( 1 0)( 0|0 1 AXXA V 同構，且，與與有相同的線性關 n AAAL, 21 n , 21 n AAA, 21 系. 由同構的意義知，要研究和只要研究)0( 1 )(V 和即可. n PXAXXA , 0|0 1 n AAAL, 21 2 2 維數公式維數公式 命題 2.2.1 維數公式：dim 0 1 dim nV 證明：設：則，又 . rArd

11、imrnA )0( 1 dimrArAAAL n )(, 21 所以：dim )0( 1 AdimnAAAL n , 21 由上述的同構關系，故：dim)0( 1 dimnV )( 3 成立的條件)0( 1 )(V )0( 1 VV )( 命題 3.1：如果的行向量組與等價A n , 21 T n T T AAA, 21 則)0( 1 )(V )0( 1 VV )( 證明：假設：則與正交，又 n PXAXXAX , 0|0 1 T X n , 21 有條件可得與正交，即與正交，即 T X T n T T AAA, 21 X n AAA, 21 0 1 A n AAAL, 21 從而： 0 1

12、A0, 21 n AAAL 即 0 1 A n AAAL, 21 0 1 A n AAAL, 21 另一方面，有維數公式知：dim )0( 1 AdimnAAAL n , 21 故： 0 1 A n AAAL, 21 0 1 A n n PAAAL, 21 由前面所說的同構關系，從而可得：)0( 1 )(V )0( 1 VV )( 例 3.1：設，則的行向量組： 121 303 121 AA ；的列向量組,其轉置為1 , 2 , 1;3 , 0 , 3;1 , 2 , 1 321 A 321 ,AAA 1 , 3 , 1;2 , 0 , 2;1 , 3 , 1 321 TTT AAA 所以：這

13、就是說，向量 TTT AAA 223131 2 3 ; 6 1 3 2 )2 , 0 , 2( 6 1 ) 1 , 3 , 1 ( 3 2 組能被向量組線性表示，同理向量組也能被向量 321 , TTT AAA 321 , TTT AAA 321 , 組線性表示，因此向量組能被向量組等價，由命題 321 , 321 , TTT AAA 321 , 3.1 知 )0( 1 )(V )0( 1 VV )( 事實上：,而 1 0 1 | 1 0 1 0 1 LPkkA, 21321 AALAAAL 因此；而是非奇異 0 1 A 321 ,AAAL, 21 AAL 121 003 121 , 21 A

14、A 矩陣， 因此，再有同構關系可得： 0 1 A 321 ,AAAL 0 1 A 321 ,AAAL )0( 1 )(V )0( 1 VV )( 推論 1：如果是一個對稱矩陣，則A)0( 1 )(V )0( 1 VV )( 證明：由于是對稱矩陣，故的行向量組,因AA T nn TT AAA, 2211 此的行向量組與等價，所以得到證明。A n , 21 T n T T AAA, 21 推論 2：如果是反一個對稱矩陣，則A)0( 1 )(V )0( 1 VV )( 證明：由于是反對稱矩陣，故的行向量組AA ，因此的行向量組與 T nn TT AAA, 2211 A n , 21 等價，由命題 3

15、.1 知結論成立。 T n T T AAA, 21 推論 3：如果是可逆的，則A)0( 1 )(V )0( 1 VV )( 證明：因為可逆，因此的行向量組線性無關，而的列向AA n , 21 A 量組也線性無關，從而線性無關，因此的行向量組 n AAA, 21 T n T T AAA, 21 A 與等價，從而由命題 3.1 知結論成立。 n , 21 T n T T AAA, 21 事實上，此時而)0( 1 ;0VV )( 命題 3.2：如果存在正整數使得：則：2kAAk)0( 1 )(V )0( 1 VV )( 證明：根據同構和直和的有關結論，只要證明： 0 1 A 即可 0, 21 n A

16、AAL 對于任意的，可得且能夠被 n AAALAX,)0( 21 1 0AXX 線性表示，即存在使得：，因此 n AAA, 21 YXAY 根據條件和立即可得：,又，)( 211 AXAYAXAAYA kkkk AAk0AX0AY0XXAY 這就是說： 0 1 A 0, 21 n AAAL 故結論成立。 命題 3.3：成立的充要條件是在某一)0( 1 )(V )0( 1 VV )( 組基下的矩陣為其中是可逆矩陣。 B0 00 B 證明：充分性：設在在基下的矩陣為，由于可 nr , 21 B0 00 B 逆，因此由命題 3.1 推論 3 知因此的行向量組與等A n , 21 T n T T AA

17、A, 21 價，由命題 3.1 知結論成立。 必要性：在中取定一組基，將其擴充成的一組基：)0( 1 r , 21 V ，對于中的任意一個向量，若： nrr , 121 V nn xxx 1111 則 nnrrrr xxx 2211 )( 這就是說中任意一個向量都可以被線性表示，)(V nrr , 21 從而中的任意一組基可以被線性表示，)(V nr , 1 nrr , 21 所以 AAA(),( 1 rrrn nr , 1r , 2 r rn n ) 從而，故線性無關. rnr nrr ),( 21 因而也可以作為的一組基，因此， nrr , 21 )(V r , 21 可以作為的一組基，因

18、此可以被， nrr , 21 V nr , 1 r , 21 線性表示，不妨設： nrr , 21 12211 jrrjrjjj bttt njnrjrr bb 221 nrj, 1 由于；,當時0)( i ri., 2 , 1nrrj, 2, 1 njnrjrrjrj bbb 2 2 2 21 2 1 )( 這就是說：向量組可以被向量組 nrr , 21 線性表示，而線性無關，因此 nrr 2 2 2 1 2 , nrr , 21 向量組也線性無關，由于向量組 nrr 2 2 2 1 2 , 所以向量組可以被 nrr 2 2 2 1 2 , V nrr 2 2 2 1 2 , 的基向量線性表

19、示，即)(V nrr , 21 ),( 2 2 2 1 2 nrr B nrr ),( 21 根據上面的證明可得，矩陣是階可逆方陣，且，Brn r , 21 可作為的一組基，在此組基下： nrr , 21 V ， r ,( 21 ), 21nrr nrrr 2 2 2 1 2 21 , nrr 2 2 2 1 2 , 0 , 0 , 0 B nrrr 0 00 ),( 2121 故結論成立。 例 3.2 設是三維線性空間上的線性變換，在基下的矩陣為：V 321 , 100 000 010 A 應用上述命題 3.2 知不能分解成與的直和。V)0( 1 )(V 事實上：;Pkk |)0( 1 1

20、PkkkkV 212211 ,|)( VLLV 32121 1 ,)(0 例 3.3：是維線性空間上的線性變換，且，則nV 2 )0( 1 )(V )0( 1 VV )( 證明：有條件知存在一組基，在此組基下所對應的矩陣為：， r E0 00 所以命題成立。 有前面的命題 3.2，立即可得： 命題 3.3：如果線性變換在某一組基下的矩陣為，其矩陣與某一個AA 若當矩陣 s rrr JJJdiagJ, 21 同理，其中中至少有一個特征值為 0，且其階數的若爾當 s rrr JJJ, 21 2 塊，則不能分解成與的直和。V)0( 1 )(V 4 已知線性變換的核和值域，構造其對應的線性變換 命題

21、4.1 已知是線性空間的兩個子空間，且 21,W W V ，則存在線性變換，使得nWW)dim()dim( 21 ,)0( 1 1 W 2 )(WV 證明：設是其一組基，將此組基擴充成的一組 2 W r rW,)dim( 211 V 基： nr , 21 而是的一組基，對于任意的向量，若 nr , 1 V ， nn xxx 1111 作線性變換： ，)( nnrrnnrrrr xxxxxx 111111 )( 易知是線性變換，且且，從而,)0( 1 1 W 2 )(W 2 )(WV 另一方面，對于任意一個向量，必存在使得： 2 W nr xx, 1 nnrr xx 11 作向量：，則根據的定義

22、，知： nn xxx 1111 nnrrnnrrrr xxxxxx 111111 )( 因此，這就是說，從而。證完。)(V 2 )(WV 2 )(WV 命題 4.2：設為維線性空間上的線性變換，是其兩個線性子空 nV 21,V V 間，證明如果則存在線性變換和使得, ,)0( 21 1 VV 1 2 1 V)0( 1 1 2 V ,且 )0( 1 2 21 證明：設是的一組基，將此組基分別擴充成的一組 t , 21 21 VV 21,V V 基 ;,:;,: 21 12121211rtrt VV 由線性空間理論知的一組基為：再將此 21 VV ;, 21 1121rrt 擴充成的一組基：；其中

23、V 321 , 11121rrrt nrrrt 321 對于任意的都有：V 332211 1111112211rrrrrrtt wwzzyyxxx 由于是的一組基，因此對于任意的都有： t , 21 21 VV V 1 )(y 1 )( 1r y 1 )( 2 z r 2 )( 1r z)( 2 r 3 r w)( 3 r 根據上述的定義線性變換和 1 2 1 )( 1 z 2 )( 1r z)( 2 r 21 )(y 1 )( 1r y)( 2 r 1 w 3 )( 1r w)( 3 r 根據和的定義，顯然對于任意的都有： 1 2 V ，故)()( 1 )( 2 1 2 又若則此時根據線性變

24、換 1 V 11 112211rrtt yyxxx 的定義，則，即 1 1 )( 1 z 2 )( 1r z0)( 2 r 1 V)0( 1 1 若，則此時根據線性變換 2 V 22 112211rrtt zzxxx 的定義，可得； 2 21 )(y 1 )( 1r y)( 2 r 1 w 3 )( 1r w0)( 3 r 即：，故命題成立。 2 V)0( 1 2 5 5 兩個線性變換兩個線性變換的值域和核相等的條件的值域和核相等的條件, 命題 5.1 設是上的兩個線性變換，如果，且, V )()(VV ，分別是在基下的矩陣，則存在可逆矩 00 11 BA, nr , 21 陣，使得： 21,

25、T T 2 2 1 1 0 0 , 0 0 T C AB T C BA 且的階數等于的維數， 1 T)(V 1 21 TT 證明：設是的一組基，將此擴充成的一組基 r , 21 0 1 V ，則，由條件知也是 nr , 21 )(,),(),()( 21n LV r , 21 的一組基，且 0 1 )(,),(),()( 21n LV 又，因此存在使得：)()(VV 1 T 12121 )(,),(),()(,),(),(T nrrnrr )(,),(, 0 , 0 , 0, 1121nrnrr 1 1 1 1 1 1 0 0 , 0 0 )(,),(, 0 , 0 , 0 T C T C n

26、rrnr 1 1 1 0 0 , T C B nrr 另一方面：A nrnr ),(),( 2121 故：同理可得，下面再證, 0 0 1 1 T C BA 2 2 0 0 T C AB 1 21 TT 由上面可得：0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 2 1 1 2 2 T C T C EA T C T C AA 由等式可知對可作分 )(,),(, 0 , 0 , 0, 1121nrnrr A 塊： 其中是矩陣，且，從而可得： 1 ,0AA rn 1 A)(rnnrnAr)( 1 0)(0 0 0 , 0 121 12 12 1 TTEA TTE CCE A rn rn r 故結論

27、成立。 1 21 TT 命題 5.2：設是上的兩個線性變換，在某一組基下的矩陣分別為，, V BA, 如果存在矩陣使得且則；倒推也成立。 21,P P 1 BPA 2 APB )()(VV 證明：設由條件知： nn BBBBAAAA,;, 2121 組以及向量組生成的子空間相等，即 n AAA, 21 n BBB, 21 再有命題 1.1 知 nn BBBLAAAL, 2121 )()(VV 反過來：若，則由命題 1.1 知)()(VV 從而向量組與向量組等 nn BBBLAAAL, 2121 n AAA, 21 n BBB, 21 價，因而存在矩陣使得且. 21,P P 1 BPA 2 AP

28、B 命題 5.3： 設是上的兩個線性變換，在某一組基下的矩陣分別為,V ，如果存在矩陣使得且則；反過來也對.BA, 21,P PBQA 1 AQB 2 00 11 證明：由條件知若，則，因BQA 1 0|)0( 1 BYYBY0 1 BYQAY 此，這就是說,同理由條件知，)0( 1 AY)0()0( 11 ABAQB 2 )0()0( 11 BA 從而再有命題 1.1 知.)0()0( 11 AB 00 11 反過來，由條件和命題 1.1 知，即方程組與)0()0( 11 AB0AX 同解，而是同階矩陣，由線性方程組的理論知解方程組，即0BXBA,0AX 是對矩陣作初等行變換，由于方程組與同

29、解，即是對作一系A0AX0BXA 列初等行變換一定能夠變為，由初等行變換與矩陣的乘積的關系知存在可逆B 矩陣使得,同理可證. 2 QBAQ 2 BQA 1 例 5.1 設是上的線性變換，是的一組基，在此組, 3 PV 321 ,V, 基下的矩陣分別是;容易計算 000 5167 394 , 000 152 121 BA BAAB 000 023 012 , 000 023 012 此時 03)0( 1 121 1 L 假定另有一個線性變換使得，在基 03)0( 1 121 1 L 下所對應的矩陣為由命題 1.1 知與同構，因而 321 ,D)0( 1 )0( 1 D ，從而，這就是說方程組與方

30、程組同解，)0( 1 1 3 1 D0 1 1 3 D, 0AX0DX 根據方程組的理論以及矩陣的初等行變換與矩陣乘積的關系知，存在初等矩陣 使得： t PPP, 21 令則得：，同理可得DAPPP tt 11111 PPPQ tt AQD 1 DQA 2 6 6 線性變換線性變換的核與最小多項式的的核與最小多項式的聯系聯系 命題 6.1 假設是線性變換的最小多項式，且有分解)( n d 其中為不可約多項式，而當時)()()( 1 sn ppd)( j pji 則：是的不變子空間，且1)(),( ji pp( ii pW )0() 1 0dim i W （1）有直和分解：V s WWWV 21

31、 證明：令，則有條件知道互質，從而 ij ji pf)()()(,),(),( 21 s fff 存在多項式使得： s uuu, 21 1)()()( 2211 ssf ufufu 因此：( 1 u() 1 f)( 2 u() 2 f)( s u() s f) 因此對于任意的均有：V ( 1 u() 1 f)( 2 u() 2 f)( s u() s f)()( 即( 1 f() 1 u)( 2 f() 2 u)( s f() s u)( )( 令,則( i f() i u i )( ( i p() i f() i u)( n d)() i u0)( 從而，即( i p0)( i ( i f(

32、) i u i )( ii pW )0() 1 這就是說可表示成的和，再證明此和是直和；V s WWW, 21 假設，由于互質，因此存在多項式)(jiWW ji )(, ji pp 使得 ji hh, 1)()( jjii phph 從而：( i h() i p)( j h() j p) 故：，注意到( i h() i p )( j h() j p ) 因此可得這就是說)(jiWW ji 0)(0jiWW ji 因此這就證明了（2）WWWWWWV s 2121 下面證明（1）任取，根據的意義知A ii W i ( i p0)( i 因此，這就是說，因此( i p)( i ( i p)(0)(

33、i ii W 是的不變子空間，至于，那是顯然的。證完。( ii pW )0() 1 0dim i W 7 7 探討特殊線性變換的值域與核探討特殊線性變換的值域與核的問題的問題 命題 7.1：設為維線性空間上的兩個線性變換，且； , nV 22 , ，證明： (1)的充要條件是)()(VV (2) 的充要條件是 )0( 1 )0( 1 , 證明：首先根據前面的命題 3.2 知：)0( 1 V )0( 1 VV 且)0( 1 )(V )0( 1 VV )( 其次當時，則，這是假設，由于，)(V)()()(V 從而存在向量使得,因此下V)()( )( 2 面來證明（1） （1）必要性：由于)0( 1 V )0( 1 VV 因此對于中的任意向量有前面的結論可得：，其中VV 21 ，根據條件可得：，從而 1 V 2 )0( 1 )(