1、高三數學函數的奇偶性、單調性、周期性人教版（理）【本講教育信息】一. 教學內容：函數的奇偶性、單調性、周期性二. 教學重、難點：了解函數奇偶性、單調性、周期性的概念，了解周期函數最小正周期的意義，掌握判斷一些簡單函數的奇偶性的方法，能利用函數的單調性解決函數的有關問題。【典型例題】例1 定義在R上的函數滿足對任意恒有，且不恒為0。（1）求和的值；（2）試判斷的奇偶性，并加以證明；（3）若時為增函數，求滿足不等式的的取值集合。解析：（1）令，得 令，得 （2）令，由，得又 又 不恒為0 為偶函數（3）由知 又由（2）知 又 在上為增函數 故的取值集合為例2 設函數在上滿足，且在閉區間0，7上，只

2、有。（1）試判斷函數的奇偶性；（2）試求方程在閉區間上的根的個數，并證明你的結論。解析：（1）由，得函數的對稱軸為 而，即不是偶函數又 在0，7上只有 從而知函數不是奇函數故函數是非奇非偶函數（2）從而知函數的周期為T=10又 故在0，10和上均有2個根，從而可知函數在0，2000上有400個根，在2000，2020上有2個根，在上有400個根，在上沒有根。 函數在上有802個根。例3 函數是以4為周期的周期函數，且當時，則當時，試求的解析式。解析：因為是以4為周期的函數，所以，（1）當為奇數時，為4的倍數。當時，所以，于是有。（2）當為偶數時，可以知道為4的倍數，當時，有，于是從而有當時，有

3、于是有，所以綜合（1）（2）可以得到：當為奇數時，當為偶數時，例4 定義在R上的函數，當時，且對任意的，有。（1）證明；（2）證明對任意的，恒有；（3）證明是R上的增函數；（4）若，求的取值范圍。解析：（1）證明：令，則又 （2）證明：當時， 又時 時恒有（3）證明：設，則 又 是R上的增函數（4）由，得又是R上的增函數 例5 已知函數，其中，為自然對數的底數。（1）討論函數的單調性；（2）求函數在區間0，1上的最大值。解析：（1） 當時，令，得若，則，從而在（0，+）上單調遞增若，則，從而在（）上單調遞減 當時，令，得，故或若，則，從而在（）上單調遞減若，則，從而在（0，）上單調遞增若，則，

4、從而在（）上單調遞減（2） 當時，在區間上的最大值是1 當時，在區間0，1上的最大值是 當時，在區間0，1上的最大值是例6 是否存在常數，使函數在上是減函數且在上是增函數？解：方法一：設，則原函數轉化為那么問題就等價于是否存在常數，使函數在上是減函數且在上是增函數，根據二次函數的性質，知只需，即。方法二：由題意知為函數的一個極值點 由，得，此時，故當時，為減函數；當時，為增函數 適合題意方法三：任取，則由在上是減函數可知，對任意的，恒成立 有恒成立，即恒成立 因此，當時，恒成立，即當時，函數在上是減函數仿上可得當時，函數在上是增函數故存在常數，使函數在上是減函數，且在上是增函數例7 設函數的圖

5、象上一點P（）處切線的斜率為。（1）若方程有兩個實根分別為，且，求證：（2）若在區間上是單調遞減函數，求的最小值。分析：根據導數的幾何意義知（1）證明：由已知得是方程的兩個實根根據韋達定理得又 （2）解：在區間上是單調遞減函數 在上恒有，即恒成立從而當時，的最小值為13【模擬試題】（答題時間：50分鐘）一. 選擇題：1. 已知函數是一個以4為最小正周期的奇函數，則等于（ ） A. 0 B. C. 4 D. 不能確定2. 設函數是定義在R上，周期為3的奇函數，若，則（ ）A. 且B. C. 或D. 3. 設分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當時，且，則不等式的解集是（ ） A. B. C. D.

6、 4. 設是定義在R上以6為周期的函數，在（0，3）內單調遞減，且的圖象關于直線對稱，則下面正確的結論是（ ）A. B. C. D. 5. 對任意實數，定義為不大于的最大整數（例如等），設函數，給出下列四個結論： ； ； 是周期函數； 是偶函數，其中正確結論的個數是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 46. 若，定義：，例如。則函數的奇偶性是（ ） A. 是偶函數不是奇函數B. 是奇函數不是偶函數C. 既是奇函數又是偶函數D. 既不是奇函數又不是偶函數7. 函數（ ）A. 在上遞增，在上遞減B. 在上遞增，在上遞減C. 在，上遞增，在上遞減D. 在上遞增，在上遞減8. 若函數在區間內恒

7、有，則的單調遞增區間為（ ）A. B. C. D. 二. 解答題：1. 函數對任意的，都有，并且當時，。（1）求證：是R上的增函數；（2）若，解不等式2. 設函數是定義在R上的偶函數，并在區間上單調遞增，當取何值時，函數是單調遞減函數？3. 設函數是奇函數，（，都是整數），且，在上單調遞增。（1）求的值；（2）當時，的單調性如何？證明你的結論。試題答案一.1. A 解析：由題意知，又周期為4，因此，綜上，可知2. C 解析：由題意分析知，又函數的周期為3，所以，則由，求得或。故選C。3. D解析：令 分別是奇函數、偶函數 為奇函數又，即在上為增函數又 又在上也是增函數故的解集為4. B解析：在R上以6為周期，對稱軸為，且在（0，3）內單調遞減， 即5. C解析：由題意有 ，且 正確 為周期函數 不是偶函數，故選C。6. A解析： ，即為偶函數7. A解析：是分段函數在一、二象限，單調遞增；在三、四象限，遞減 8. D 解析：設，當時，而此時恒成立 ，則減區間為而必然有，即或 的單調增區間為二.1. 解析：（1）設，且，則 ，即是R上的增函數（2） 不等式即為 是增函數于是有，解之，得2. 解析： 是偶函數且在上單調遞增 在上單調遞減又 即若使是單調遞減函數，據復合函數的單調性知需求的單調區間，而當時，單調遞增 3. 解析：（1