1、陜西省咸陽市2020屆高三數學模擬檢測試題（二）文（含解析）一、選擇題:本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數（為虛數單位）在復平面上對應的點的坐標是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先化簡，即可得出答案.【詳解】因為，所以復數在復平面上對應的點的坐標為，故選B.【點睛】該題考查的是有關復數在復平面內對應的點的坐標的問題，涉及到的知識點有復數的除法運算，復數在復平面內對應的點的坐標，屬于簡單題目.2.集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據題中所給的集合，以及交集中元素的特征，從而求得結果.【詳解】因為，

2、所以，故選C.【點睛】該題考查的是有關集合的運算，屬于簡單題目.3.已知，則=（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先利用誘導公式對式子進行化簡，求得結果.【詳解】因為，故選B.【點睛】該題考查的是有關三角函數化簡求值問題，涉及到的知識點有誘導公式，屬于簡單題目.4.是衡量空氣質量的重要指標，我國采用世衛組織的最寬值限定值，即日均值在以下空氣質量為一級，在空氣量為二級，超過為超標如圖是某地12月1日至10日的（單位：)的日均值，則下列說法不正確的是（ ）A. 這天中有天空氣質量為一級B. 從日到日日均值逐漸降低C. 這天中日均值的中位數是D. 這天中日均值最高的是月日【答案

3、】C【解析】【分析】認真觀察題中所給的折線圖，對照選項逐一分析，求得結果.【詳解】這10天中第一天，第三天和第四天共3天空氣質量為一級，所以A正確；從圖可知從日到日日均值逐漸降低，所以B正確；從圖可知，這天中日均值最高的是月日，所以D正確；由圖可知，這天中日均值的中位數是，所以C不正確；故選C.【點睛】該題考查的是有關利用題中所給的折線圖，描述對應變量所滿足的特征，在解題的過程中，需要逐一對選項進行分析，正確理解題意是解題的關鍵.5.周髀算經中一個問題：從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣的日影子長依次成等差數列，若冬至、立春、春分的日影子

4、長的和是尺，芒種的日影子長為尺，則冬至的日影子長為：（ ）A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺【答案】A【解析】【分析】利用等差數列通項公式和前項和公式列方程組，求出首項和公差，由此能求出結果.【詳解】從冬至起，日影長依次記為，根據題意，有，根據等差數列的性質，有，而，設其公差為，則有，解得，所以冬至的日影子長為尺，故選A.【點睛】該題考查的是有關應用等差數列解決實際生活中的問題，涉及到的知識點有等差數列的通項公式以及前項和的有關量的計算，屬于簡單題目.6.設，為兩條不同直線，為兩個不同平面，則下列命題正確的是（ ）A. 若，則B. 若，則C. 若，則D. 若，則【答案】D【解析】【分析】對四個選

5、項分別進行判斷，即可得出結論.【詳解】對于A項，平行于同一平面的兩條直線的位置關系可以是平行、相交、異面的，所以不正確；對于B項，分別位于兩個互相平行的平面內的兩條直線可以是平行、相交、異面的，所以不正確；對于C項，平行于同一條直線的兩個平面可以是相交的，可以是平行的，所以不正確；對于D項，根據兩個平面的法向量垂直時，兩個平面是垂直的，可以得出若，則，所以是正確的；故選D.【點睛】該題考查的是有關空間關系的命題的正確性的判斷問題，涉及到的知識點有線面平行、面面平行以及垂直的判定和性質定理，依次分析選項，可得答案.7.中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸的雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則雙曲線的離心率為

6、（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】雙曲線兩條漸近線互相垂直,可得，解得，即為等軸雙曲線，進而得到離心率.【詳解】因為雙曲線兩條漸近線互相垂直，所以，解得，即為等軸雙曲線，所以，故選D.【點睛】該題考查的是有關雙曲線的離心率的問題，涉及到的知識點有雙曲線的漸近線垂直的等價結果，屬于簡單題目.8.已知是的重心，若， ，則（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】由三角形的重心分中線為得的值.【詳解】因為點是的重心，所以點分中線為，所以，因為，所以，故選A.【點睛】該題考查的是有關向量的分解問題，涉及到的知識點有三角形重心的性質，平面向量基本定理，屬于簡單

7、題目.9.函數的大致圖像是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先根據函數是奇函數，圖象關于原點對稱，從而排除B,C兩項，再結合相應區間上的函數值的符號，排除A項，從而得到正確的結果.【詳解】根據，可知其為奇函數，所以圖象關于原點對稱，所以排除B,C兩項，當時，鑒于正弦函數的有界性，可知函數值趨向于正無窮，所以圖象應落在軸的上方，所以排除A，故選D.【點睛】該題考查的是有關函數圖象的選擇問題，在解題的過程中，注意從定義域，單調性，圖象的對稱性，特殊點以及函數值的符號等方面入手，就可以正確選擇函數的圖象，屬于簡單題目.10.已知甲，乙，丙三人去參加某公司面試，他們被該公司錄取

8、的概率分別是，且三人錄取結果相互之間沒有影響，則他們三人中至少有一人被錄取的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由題意，可先求得三個人都沒有被錄取的概率，接下來求至少有一人被錄取的概率，利用對立事件的概率公式，求得結果.【詳解】甲、乙、丙三人都沒有被錄取的概率為，所以三人中至少有一人被錄取的概率為，故選B.【點睛】該題考查的是有關概率的求解問題，關鍵是掌握對立事件的概率加法公式，求得結果.11.所有棱長均為 的正四棱錐外接球表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】正四棱錐外接球的球心在它的底面的中心，然后根據勾股定理解出球的半徑，最后根據球的表

9、面積公式求解即可.【詳解】如圖，設正四棱錐的底面中心為O，則在中，所以，在中，所以正四棱錐的各個頂點到它的底面中心的距離都為，所以正四棱錐外接球的球心在它的底面的中心，且球半徑為，所以球的表面積，故選C.【點睛】該題考查的是有關幾何體的外接球的有關問題，涉及到的知識點有正四棱錐的外接球，球的表面積公式，在解題的過程中，正確找出球心的位置是解題的關鍵.12.已知定義在上的函數，對任意，有，且，時，有，設，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據題意，可以判斷出函數在區間上是增函數，從而得到，且根據條件得出，進而得到答案.【詳解】因為對任意，所以，因為，時，有，所以函數在區間

10、上是增函數，因為，所以，即，所以，故選A.【點睛】該題考查的是有關比較函數值的大小的問題，涉及到的知識點有根據題意判斷函數的單調性，函數單調性的應用，奇偶性的應用，屬于簡單題目.二、填空題：本題共4小題.把答案填在答題卡中的橫線上13.橢圓的焦距為_.【答案】【解析】【分析】直接利用橢圓的方程求出，然后求出，即可得結果.【詳解】因為橢圓：，所以，所以，所以，所以橢圓的焦距為2，故答案為：2.【點睛】該題考查的是有關橢圓的焦距的求解問題，涉及到的知識點有已知橢圓的方程求，橢圓中三者之間的關系，屬于簡單題目.14.曲線在點處的切線斜率為_.【答案】【解析】【分析】求出原函數的導函數，得到函數在該點

11、處的導數值，即為曲線在點處的切線的斜率.【詳解】因為，所以，則，所以曲線在點處的切線的斜率0.【點睛】該題考查的是有關曲線在某點處的切線的斜率的問題，涉及到的知識點有導數的幾何意義，求導公式，屬于簡單題目.15.已知點是直線上的動點，過引圓的切線，則切線長的最小值為_.【答案】【解析】【分析】利用切線和點到圓心的距離關系即可得到結果.【詳解】圓的圓心為，半徑為1，要使切線長最小，則只需要點P到圓心的距離最小。此時最小值為圓心到直線的距離，此時切線長的最小值為，故答案是：1.【點睛】該題考查的是有關圓的切線長的最小值問題，涉及到的知識點有點到直線的距離公式，切線長，圓的半徑以及點到圓心的距離對應

12、的直角三角形，在解題的過程中，注意分析得出什么時候使得切線長最短值解題的關鍵.16.數列滿足 ，則=_.【答案】【解析】【分析】在滿足的關系式中，設，則左式即為的前項和，由此可以利用數列的項與和的關系，求得，進一步求得，得到結果.【詳解】令，因為 ，所以有，兩式相減得，所以，故答案是：64.【點睛】該題考查的是有關數列的問題，涉及到的知識點有數列的和與項的關系，整體思維的運用，屬于簡單題目.三、解答題解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.在中，角，所對的邊分別為，已知.（1）求的大小.（2）若，求的面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦函數的和角公式可求得，結合三

13、角形內角的取值范圍，可得，從而求得；（2）利用三角形的面積公式以及（1）的結論，可得，利用基本不等式以及題中的條件，求得當且僅當時取等號，即面積的最大值為，得到結果.【詳解】（I）由得，可得， 所以.（II），當且僅當時取等號，即面積的最大值為.【點睛】該題考查的是有關解三角形的問題，涉及到的知識點有余弦和角公式，已知三角函數值求角，三角形的面積公式，基本不等式，屬于簡單題目.18.交強險是車主須為機動車購買的險種若普通座以下私家車投保交強險第一年的費用（基本保費）是元，在下一年續保時，實行費率浮動制，其保費與上一年度車輛發生道路交通事故情況相聯系，具體浮動情況如下表：類型浮動因素浮動比率上一

14、年度未發生有責任的道路交通事故下浮上兩年度未發生有責任的道路交通事故下浮上三年度未發生有責任的道路交通事故下浮上一年度發生一次有責任不涉及死亡的道路交通事故上一年度發生兩次及以上有責任不涉及死亡的道路交通事故上浮上三年度發生有責任涉及死亡的道路交通事故上浮據統計，某地使用某一品牌座以下的車大約有輛，隨機抽取了輛車齡滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續保情況，統計得到如下表格：類型數量 以這輛該品牌汽車的投保類型的頻率視為概率，按照我國機動車交通事故責任保險條例汽車交強險價格為元.（1）求得知，并估計該地本年度使用這一品牌座以下汽車交強險費大于元的輛數；（2）試估計該地使用該品牌汽車的一續保人本

15、年度的保費不超過元的概率【答案】（1）250（2）0.95【解析】【分析】（1）根據樣本容量可求得為，并且能夠得出保費需要上浮的事故車輛為5輛，樣本容量為100，根據相關公式可求得該地本年度這一品牌座以下事故車輛數為輛，得到結果；（2）從表中可以得出該地使用該品牌汽車的一續保人本年度的保費不超過元對應的事件為，利用公式求得結果，也可以用間接法求解.【詳解】（1）易得，估計該地本年度這一品牌座以下事故車輛數為.(2)法1：保費不超過元的車型為，所求概率為.法2：保費超過元的車型為，概率為，因此保費不超過元的車概率為.【點睛】該題考查的是有關概率統計的問題，涉及到的知識點有利用樣本估計總體，應用頻

16、率近似估計概率，求某一時間發生的概率時可以用直接法，也可以用間接法，屬于簡單題目.19.如圖，在直三棱柱中，是的中點（1）求證：平面平面；（2）若異面直線與所成角為，求直三棱柱的體積.【答案】（1）見證明；（2）【解析】【分析】（1）由已知中的幾何體為直三棱柱，是的中點，結合直三棱柱的幾何特征以及等腰三角形三線合一的性質，易得平面，（2）根據異面直線所成角的定義，以及角的大小，求得，利用柱體的體積公式求得結果.【詳解】（1）證明：由，得，而平面平面，平面平面，平面.又平面，平面平面.（2）解：連接，由知是異面直線與所成角,，易知是正三角形，依題意得，三棱柱的體積為.【點睛】該題考查的是有關立體

17、幾何的問題，涉及到的知識點有面面垂直的判定，異面直線所成的角，柱體的體積公式，屬于簡單題目.20.設定點，動圓過點且與直線相切.（1）求動圓圓心的軌跡的方程；（2）設為直線上任意一點，過點作軌跡的兩條切線和，證明：【答案】（1）（2）見證明【解析】【分析】（1）根據拋物線的定義和題設中的條件可知的軌跡是以為焦點，以直線為準線的拋物線，焦點到準線的距離，進而求得拋物線的方程；（2）首先判斷過點過與曲線相切的直線斜率存在，設切線方程為，與拋物線的方程聯立，整理得出判別式等于0，從而求得，利用韋達定理得出，從而得到.【詳解】（1）依題意知，點的軌跡是以為焦點，以直線為準線的拋物線，方程為 (2) 設

18、，顯然過與曲線相切的直線斜率存在，設切線方程為，與曲線聯立得，即，依題意，即， ，分別是直線和的斜率，.【點睛】該題考查的是有關圓錐曲線的問題，涉及到的知識點有利用定義求曲線方程，直線與拋物線的位置關系，相切對應的條件，兩直線垂直的條件，屬于簡單題目.21.已知函數.（1）當，求證；（2）若函數有兩個零點，求實數的取值范圍.【答案】(1)見證明；(2) 【解析】【分析】（1）將代入函數解析式，之后對函數求導，得到其單調性，從而求得其最小值為，從而證得結果.（2）通過時，時，利用函數的單調性結合函數的零點，列出不等式即可求解的取值范圍，也可以構造新函數，結合函數圖象的走向得到結果.【詳解】（1）證明：當時，得，知在遞減，在遞增，綜上知，當時，.（2）法1：，即，令，則，知在遞增，在遞減，注意到，當時，；當時，且，由函數有個零點，即直線與函數圖像有兩個交點，得. 法2：由得，當時，知在上遞減，不滿足題意；當時，知在遞減，在遞增. ，的零點個數為，即，綜上，若函數有兩個零點，則.【點睛】該題考查的是有關導數的應用問題，涉及到的知識點有應用導數研究函數的單調性，應用導數研究函數的最值，以及研究其零點個數的問題，屬于中檔題目.22.選修4-4：坐標系與參數方程以坐標原點為極點，軸正半軸