第3節不等式及其性質課標要求1.理解用作差法比較兩個實數大小的理論依據.2.理解不等式的性質,掌握不等式性質的簡單應用.【知識梳理】1.兩個實數比較大小的方法(1)作差法a(2)作商法a2.不等式的性質(1)不等式的性質①可加性:a>b?a+c>b+c;②可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bc;③傳遞性:a>b,b>c?a>c;④對稱性:a>b?b<a.(2)不等式的推論①移項法則:a+b>c?a>cb;②同向不等式相加:a>b,c>d?a+c>b+d;③同向不等式相乘:a>b>0,c>d>0?ac>bd;④可乘方性:a>b>0?an>bn(n∈N,n>1);⑤可開方性:a>b>0?a>b.[常用結論與微點提醒]1.證明不等式的常用方法有:作差法、作商法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.2.有關分式的性質(1)若a>b>0,m>0,則ba<bba>b-ma-(2)若ab>0,則a>b?1a<1【診斷自測】概念思考辨析+教材經典改編1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”)(1)a>b?ac3>bc3.()(2)a=b?ac=bc.()(3)若ab>1,則a>b.((4)a<x<b<0?1b<1x<1a.答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)由不等式的性質,ac3>bc3?a>b;反之,c≤0時,a>b?ac3>bc3.(2)由等式的性質,a=b?ac=bc;反之,c=0時,ac=bc?a=b.(3)a=3,b=1,則ab>1,但a<b2.(人教A必修一P43T8改編)(多選)下列命題為真命題的是()A.若ac2>bc2,則a>bB.若a>b>0,則a2>b2C.若a<b<0,則a2<ab<b2D.若a<b<0,則1a>答案ABD解析C中,若a=2,b=1,則a2>ab>b2,故C錯誤.其余均為真命題.3.(蘇教必修一P53例3改編)設M=x2+y2+1,N=2(x+y1),則M與N的大小關系為.

答案M>N解析MN=x2+y2+12x2y+2=(x1)2+(y1)2+1>0.故M>N.4.(人教B必修一P81習題22BT3改編)已知a∈(1,3),b∈(2,3),則a2b的取值范圍是.

答案(5,1)解析由b∈(2,3)得6<2b<4,又1<a<3,故5<a2b<1.考點一比較數(式)的大小例1(1)若正實數a,b,c滿足c<cb<ca<1,則()A.aa<ab<baB.aaB<ba<abC.ab<aa<baD.abD<ba<aa答案C解析∵c是正實數,且c<1,∴0<c<1,由c<cb<ca<1,得0<a<b<1,∵aaab=aab>1,∴ab<∵aaba=aba,0<ab∴aba<1,即aa<b綜上可知,ab<aa<ba.(2)已知M=e2024+1e2025+1,N=e2025+1e2026答案M>N解析法一MN=e2024=(=e=e2024(e-1)∴M>N.法二令f(x)=e=1e(ex+1顯然f(x)是R上的減函數,∴f(2024)>f(2025),即M>N.思維建模比較大小的常用方法(1)作差法:①作差;②變形;③定號;④得出結論.(2)作商法:①作商;②變形;③判斷商與1的大小關系;④得出結論.(3)構造函數,利用函數的單調性比較大小.訓練1(1)若a=ln33,b=ln44,c=ln55,則A.a<b<cB.cB<b<aC.c<a<bD.bD<a<c答案B解析法一易知a,b,c都是正數,ba=3ln44ln3=log8164<1,所以a>bc=5ln44ln5=log>1,所以b>即c<b<a.法二構造函數f(x)=lnx則f'(x)=1-lnx由f'(x)>0,得0<x<e;由f'(x)<0,得x>e.∴f(x)在(0,e)上單調遞增,在(e,+∞)上單調遞減,∴f(3)>f(4)>f(5),即a>b>c.(2)(2025·上海調研)如果x<0,0<y<1,那么y2x,yx,1x答案y2x>y解析法一因為三個式子的值很明顯都是負數,且y2xyx=y∈(0,1),所以同理yx1x=y∈(0,1),所以y綜上,1x<yx<法二因為y2xyx=所以y2x>因為yx1x=y所以yx>1x,所以y2x>考點二不等式的基本性質例2(1)若實數a,b滿足a<b<0,則()A.a+b>0B.abB<0C.|a|<|b| D.1a>答案B解析由a<b<0,可得a+b<0,故A錯誤;由a<b<0,可得ab<0,故B正確;由a<b<0,可得a>b>0,所以|a|>|b|,故C錯誤;由a<b<0,可得|a|>|b|>0,所以1a<1b,故D(2)(多選)已知a,b,c為實數,則下列說法正確的是()A.若a>b,則ac2>bc2B.若a>b,則a+c>b+cC.若a>b>c>0,則ab>D.若a>b>c>0,則ba-答案BCD解析當c=0時,ac2=bc2,故A錯誤;由不等式的可加性可知,B正確;若a>b>c>0,則ab>0,b+c>0,∴aba+=c(a∴ab>a+cb+若a>b>c>0,則ab>0,ac>0,bc>0,且ac>ab,∴1a-b>又b>c>0,由可乘性知,ba-b>ca-思維建模解決此類題目常用的三種方法:(1)直接利用不等式的性質逐個驗證,要特別注意前提條件;(2)利用特殊值排除法;(3)利用函數的單調性,當直接利用不等式的性質不能比較大小時,可以利用指數、對數、冪函數等函數的單調性進行判斷.訓練2(1)設a,b,c,d為實數,且c<d,則“a<b”是“ac<bd”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案B解析由a<b不能推出ac<bd,如a=2,b=3,c=0,d=1,滿足a<b,但是ac=bd,故充分性不成立;當ac<bd時,又c<d,可得ac+c<bd+d,即a<b,故必要性成立,所以“a<b”是“ac<bd”的必要不充分條件.(2)(多選)若1a<1b<0,則下列不等式正確的是(A.1a+b<1ab B.|aC.a1a>b1bD.lnDa2>ln答案AC解析由1a<1b<0,可知b<a<A中,因為a+b<0,ab>0,所以1a+b<0,則1a+b<1ab,B中,因為b<a<0,所以b>a>0,故b>|a|,即|a|+b<0,故B錯誤;C中,因為b<a<0,又1a<1b<則1a>1b所以a1a>b1b,故CD中,因為b<a<0,根據y=x2在(∞,0)上單調遞減,可得b2>a2>0,而y=lnx在定義域(0,+∞)上單調遞增,所以lnb2>lna2,故D錯誤.考點三不等式性質的應用例3(1)(2025·西安質測)已知1<a<5,3<b<1,則以下結論錯誤的是()A.15<ab<5B.4<a+b<6C.2<ab<8D.當b≠0時,53<ab答案D解析由題知1<a<5,因為3<b<1,所以1<b<3,對于A,若-1<a<5,-3<b<0,則15<ab<3,若-1<a<5,b=0,則ab=0,綜上可得15<ab<5,故A正確;對于B,4=31<a+b<1+5=6,故B正確;對于C,2=11<ab<3+5=8,故C正確;對于D,當a=4,b=12時,ab=8,故D(2)(2025·重慶質檢)已知ab∈[5,27],a+b∈[6,30],則7a5b的取值范圍是()A.[24,192] B.[24,252]C.[36,252] D.[36,192]答案D解析設7a5b=m(ab)+n(a+b)=(m+n)a(mn)b,所以m+n所以7a5b=6(ab)+(a+b).又ab∈[5,27],a+b∈[6,30],所以7a5b=6(ab)+(a+b)∈[36,192].思維建模利用不等式性質可以求某些代數式的取值范圍,應注意兩點:一是必須嚴格運用不等式的性質;二是在多次運用不等式的性質時有可能擴大了變量的取值范圍,解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關系,最后通過“一次性”不等關系的運算求解范圍.訓練3(1)已知3<a<8,4<b<9,則ab的取值范圍是.答案1解析∵4<b<9,∴19<1b<14,又3<a∴19×3<ab<14×8,即13<(2)已知1<x<4,2<y<3,則xy的取值范圍是,3x+2y的取值范圍是.

答案(4,2)(1,18)解析因為1<x<4,2<y<3,所以3<y<2,所以4<xy<2.由3<3x<12,4<2y<6,得1<3x+2y<18.一、單選題1.已知a>0,b>0,M=a+b,N=a+b,則M與N的大小關系為(A.M>NB.M<NC.M≤ND.M,N大小關系不確定答案B解析M2N2=(a+b)(a+b+2ab)=2ab<0,∴M<N.2.已知a,b∈R,若a>b,1a<1b同時成立,則(A.ab>0B.abB<0C.a+b>0D.aD+b<0答案A解析因為1a<1所以1a1b=b-又a>b,所以ba<0,所以ab>0.3.已知ab=1,M=11+a+11+b,N=a1+a+b1+b,A.M>NB.MB<NC.M=N D.無法確定答案C解析法一∵ab=1,∴b=1a∵M=11+a+11+1a=1N=a1+a+1a1+1a=a1+a+1法二由題意知,M=11+a+11+b=abab+a+ab4.(2025·北海統考)已知a>b>0>c,則()A.ac>bcB.a(bc)<b(ac)C.1a+D.a2+b2+c2>2ab2ac+2bc答案C解析對于A,a>b,c<0,則ac<bc,故A錯誤;對于B,a>b>0>c,則c<0,ba<0,則a(bc)b(ac)=c(ba)>0,故B錯誤;對于C,a>b>0>c,則a+c2>b+c2>0,則1a+c2<1b對于D,a2+b2+c2(2ab2ac+2bc)=(a+c)2+b22b(a+c)=(a+cb)2,故存在a=2,b=1,c=1,使得a2+b2+c2(2ab2ac+2bc)=0,故D錯誤.5.已知3<a<2,3<b<4,則a2b的取值范圍為(A.(1,3) B.43C.23,3答案A解析因為3<a<2,所以4<a2<9,而3<b<4,即14<1b<故a2b的取值范圍為(1,6.已知a<b<c,a+b+c=0,則()A.ab<b2B.acB>bcC.1a<1c D.c答案C解析因為a<b<c,a+b+c=0,所以a<0<c,b的符號不能確定,當b=0時,ab=b2,故A錯誤;因為a<b,c>0,所以ac<bc,故B錯誤;因為a<0<c,所以1a<1c,故C因為a<b,所以a>b,所以ca>cb>0,所以c-ac-b>17.已知m5=4,n8=9,0.9p=0.8,則正數m,n,p的大小關系為()A.p>m>nB.mB>n>pC.m>p>nD.pD>n>m答案A解析由m5=4,得m=415=由n8=9,得n=918=因此,mn=22=2835120=256243120>1由0.9p=0.8,得p=log0.90.8>log0.90.81=2,于是得p>m>n,所以正數m,n,p的大小關系為p>m>n.8.(2025·沈陽模擬)實數x,y滿足2x+y=1.若|2y1|2|x|<3,則實數x的取值范圍是()A.(1,2) B.(1,0)C.0,14 D答案A解析根據題意可知y=12x,不等式|2y1|2|x|<3可化為|14x|2|x|<3.對絕對值里面的式子進行分類討論可得當x<0時,原不等式可化為14x2×(x)<3,即12x<3,解得1<x<0;當0≤x≤14時,原不等式可化為14x2x<3,解得0≤x≤1當x>14時,原不等式可化為4x12x<3即2x1<3,解得14<x<2綜上可知1<x<2,即實數x的取值范圍是(1,2).二、多選題9.若a>b>0,則下列不等式中正確的是()A.1a<B.a2<abC.ln|a1|>ln|b1|D.2ab>1答案ABD解析因為a>b>0,1ab>0,所以aab>即1a<1b,故A因為a>b>0,a<0,所以a2<ab,故B正確;若a=32,b=12,ln|a1|=ln|b1|=ln12,故因為ab>0,所以2ab>20=1,故D正確.10.已知實數x,y滿足3<x+2y<2,1<2xy<4,則()A.1<x<2B.B2<y<1C.3<x+y<3D.D1<xy<3答案ABD解析x=15[(x+2y)+2(2xy)]∈(1,2),故A正確y=25(x+2y)15(2xy)∈(2,1),故Bx+y=3(x+2y)+(2x-y)5∈xy=-(x+2y)+3(2x-y)5∈11.已知實數a,b,c滿足a>b>c,且abc=1,則下列說法正確的是()A.(a+c)2>1b B.1aC.a2>b2 D.(a2b1)(ab21)>0答案ABD解析對A,根據a,b,c滿足a>b>c,且abc=1可知a>0,且a,b,c均不等于0,當b<0時,不等式(a+c)2>1b顯然成立當b>0時,a,c均為正數,由均值不等式可得(a+c)2≥4ac=4abcb=4b>1b,對B,因為a>b>c,故ac>bc>0,故1a-c<1b-c對C,當a=12,b=1,c=2時,滿足a>b>c且abc=1,但a2>b2不成立,故C錯誤對D,因為abc=1,(a2b1)(ab21)=ac-1bc-1=(a-c)(b-c)c2,三、填空題12.已知M=x23x,N=3x2+x3,則M,N的大小關系是.

答案M>N解析∵MN=(x23x)(3x2+x3)=4x24x+3=(2x1)2+2>0,∴M>N.13.若1<a+b<3,2<ab<4,t=2a+b,則a的取值范圍為;t的取值范圍為.

答案12,解析a=12[(a+b)+(ab)]由1<a+b<3,2<ab<4,得