期末復習專題六：立體幾何解答題常見題型梳理題型1：空間點、直線、平面之間的位置關系題型2：立體幾何中的線、面平行問題題型3：立體幾何中的線、面垂直問題題型4：空間幾何體中的表面積、體積及距離問題題型5：空間中的夾角問題題型6：立體幾何中的折疊問題題型7：立體幾何中的探索性問題題型1：空間點、直線、平面之間的位置關系(1)證明：B，D，E，G四點共面.所以B，D，E，G四點共面.（2）因此S和Q是同一個點，如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是AB和AA1的中點．求證：(1)E，C，D1，F四點共面；(2)CE，D1F，DA三線共點．【解析】（1）如圖所示，連接EF，CD1，A1B.∴EF∥A1B.又A1B∥CD1，∴EF∥CD1.∴E，C，D1，F四點共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴直線CE與直線D1F必相交，設交點為P.則由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直線DA，∴CE，D1F，DA三線共點．如圖，空間四邊形ABCD中，E，F分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求證：E，F，G，H四點共面；(2)設直線EG與直線FH交于點P.求證：P，A，C三點共線．【解析】（1）∵E，F分別為AB，AD的中點，∴EF∥BD.在△BCD中，eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝eq\f(1,2)，∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E，F，G，H四點共面．(2)∵EG∩FH＝P，∴P∈EG，∵EG?平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P為平面ABC與平面ADC的公共點，又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三點共線．【解析】（1）證明：如圖，連接，題型2：立體幾何中的線、面平行問題（3）取中點N，連接，，【解析】（1）存在，M為線段EF的中點，理由如下，因為G為線段ED中點，M為線段EF的中點，故AE與DE的夾角為，過D作DP垂直于AE交AE于P，故DP為點D到平面ABFE的距離，題型3：立體幾何中的線、面垂直問題S是Rt△ABC所在平面外一點，且SA＝SB＝SC，D為斜邊AC的中點．(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.【解析】（1）如圖所示，取AB的中點E，連接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分別為AC，AB的中點，所以DE∥BC，所以DE⊥AB，因為SA＝SB，E是AB的中點，所以SE⊥AB.又SE∩DE＝E，所以AB⊥平面SDE.又SD?平面SDE，所以AB⊥SD.在△SAC中，SA＝SC，D為AC的中點，所以SD⊥AC.又AC∩AB＝A，所以SD⊥平面ABC.(2)由于AB＝BC，D是AC的中點，則BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD?平面ABC，所以SD⊥BD，又SD∩AC＝D，SD，AC?平面SAC，所以BD⊥平面SAC.已知直三棱柱ABCA1B1C1中，側面AA1B1B為正方形，AB＝BC＝2，E，F分別為AC和CC1的中點，BF⊥A1B1.(1)求三棱錐FEBC的體積；(2)已知D為棱A1B1上的點，證明：BF⊥DE.【解析】（1）如圖，取BC的中點為M，連接EM，由已知可得EM∥AB，AB＝BC＝2，CF＝1，EM＝eq\f(1,2)AB＝1，AB∥A1B1，由BF⊥A1B1得EM⊥BF，又EM⊥CF，BF∩CF＝F，所以EM⊥平面BCF，故V三棱錐FEBC＝V三棱錐EFBC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)BC×CF×EM＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×1＝eq\f(1,3).(2)連接A1E，B1M，由(1)知EM∥A1B1，所以ED在平面EMB1A1內．在正方形CC1B1B中，由于F，M分別是CC1，BC的中點，所以由平面幾何知識可得BF⊥B1M，又BF⊥A1B1，B1M∩A1B1＝B1，所以BF⊥平面EMB1A1，又DE?平面EMB1A1，所以BF⊥DE.如圖，在四棱錐PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，E為CD的中點．(1)求證：BD⊥平面PAC；(2)若∠ABC＝60°，求證：平面PAB⊥平面PAE.【解析】（1）因為PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD.因為底面ABCD為菱形，所以BD⊥AC.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.(2)因為PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE.因為底面ABCD為菱形，∠ABC＝60°，且E為CD的中點，所以AE⊥CD.所以AB⊥AE.又AB∩PA＝A，所以AE⊥平面PAB.因為AE?平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE.在四棱錐PABCD中，△PAD是等邊三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)AD上是否存在一點M，使得平面PCM⊥平面ABCD，若存在，請證明；若不存在，請說明理由；(2)若△PCD的面積為8eq\r(7)，求四棱錐PABCD的體積．【解析】（1）當M為AD的中點時，使得平面PCM⊥平面ABCD.證明如下：如圖，連接MC，PM.由△PAD是等邊三角形，可得PM⊥AD，而平面PAD⊥平面ABCD，AD為平面PAD和平面ABCD的交線，可得PM⊥平面ABCD，又PM?平面PMC，可得平面PCM⊥平面ABCD.(2)設AB＝a，可得BC＝a，AD＝2a，由(1)可得MC＝AB＝MD＝a，則CD＝eq\r(2)a，PD＝2a，PM＝eq\r(3)a，由PM⊥MC，可得PC＝eq\r(PM2＋MC2)＝eq\r(3a2＋a2)＝2a，而△PCD的面積為eq\f(1,2)·eq\r(2)a·eq\r(4a2－\f(1,2)a2)＝eq\f(\r(7),2)a2＝8eq\r(7)，可得a＝4，四棱錐PABCD的體積V＝eq\f(1,3)S四邊形ABCD·PM＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(4＋8)×4×4eq\r(3)＝32eq\r(3).題型4：空間幾何體中的表面積、體積及距離問題（1）求該旋轉體中間一個空心球表面積的大小；（2）求圖中陰影部分繞直線BC旋轉一周所得旋轉體的體積.（2）求該幾何體內正四棱柱側面積的最大值.【解析】（1）設圓錐母線長為，高為，正四棱柱的高為【解析】（1）連接，交點O，連接，則O是的中點，設點B到平面ADC1的距離為d，題型5：空間中的夾角問題【解析】（1）