課標要求1.了解集合的含義,理解元素與集合的關(guān)系.2.理解集合間包含與相等的含義,能識別給定集合的子集.3.理解兩個集合的并集、交集與補集的含義,會求兩個簡單集合的并集、交集與補集.4.能使用Venn圖表達集合間的基本關(guān)系與基本運算.【知識梳理】1.元素與集合(1)集合中元素的三個特性:確定性、互異性、無序性.(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于,表示符號分別為∈和?.(3)集合的三種表示方法:列舉法、描述法、圖示法.(4)常用數(shù)集及記法名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集記法NN*或N+ZQR2.集合間的基本關(guān)系(1)子集:一般地,對于兩個集合A,B,如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素,就稱集合A為集合B的子集.記作A?B(或B?A).(2)真子集:如果集合A?B,但存在元素x∈B,且x?A,就稱集合A是集合B的真子集,記作A?B(或B?A).(3)相等:若A?B,且B?A,則A=B.(4)空集的性質(zhì):?是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.3.集合的基本運算集合的并集集合的交集集合的補集符號表示A∪BA∩B若全集為U,則集合A的補集為?UA圖形表示集合表示{x|x∈A,或x∈B}{x|x∈A,且x∈B}{x|x∈U,且x?A}4.集合的運算性質(zhì)(1)A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A.(2)A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A.(3)A∩(?UA)=?,A∪(?UA)=U,?U(?UA)=A.[常用結(jié)論與微點提醒]1.若有限集A中有n個元素,則A的子集有2n個,真子集有2n-1個,非空子集有2n-1個,非空真子集有2n-2個.2.A?B?A∩B=A?A∪B=B??UA??UB.3.U(A∩B)=(?UA)∪(?UB),?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).【診斷自測】概念思考辨析+教材經(jīng)典改編1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)任何一個集合都至少有兩個子集.()(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.()(3)若1∈{x2,x},則x=-1或1.()(4)對于任意兩個集合A,B,(A∩B)?(A∪B)恒成立.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)錯誤.空集只有一個子集.(2)錯誤.{x|y=x2+1}=R,{y|y=x2+1}=[1,+∞),{(x,y)|y=x2+1}是拋物線y=x2+1上的點集.(3)錯誤.當x=1時,不滿足集合中元素的互異性.2.(人教B必修一P9練習BT4改編)已知集合A={x-2,x+5,12},且-3∈A,則x=.

答案-1或-8解析若x-2=-3,得x=-1,符合題意,若x+5=-3,得x=-8,符合題意,故x=-1或-8.3.(人教A必修一P13T1改編)已知U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},則A∩(?UB)=.

答案{2,4}解析易知?UB={2,4,6},故A∩(?UB)={2,4}.4.(蘇教必修一P23T14改編)已知集合A={x|0<x<a},B={x|1<x<2},若B?A,則實數(shù)a的取值范圍是.

答案[2,+∞)解析由圖可知a≥2.考點一集合的基本概念例1(1)(2024·南京二模)已知集合A={1,2,4},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},則集合B的元素個數(shù)為.

答案2解析當x=1時,y=1,2,4,x-y=0,-1,-3,不符合(x-y)∈A,舍去;當x=2時,y=1,2,4,x-y=1,0,-2,則x=2,y=1;當x=4時,y=1,2,4,x-y=3,2,0,則x=4,y=2.故B={(x,y)|(2,1),(4,2)},共2個元素.(2)若含有3個實數(shù)的集合既可表示成a,ba,1,又可表示成{a2,a+b,0},則a2026+b2026答案1解析因為a,ba,1={a2,a+顯然a≠0,所以ba=0,即b=此時兩集合分別是{a,1,0},{a,a2,0},則a2=1,解得a=1或a=-1.當a=1時,不滿足互異性,故舍去;當a=-1時,滿足題意.所以a2026+b2026=(-1)2026+02026=1.思維建模1.研究集合問題時,首先要明確構(gòu)成集合的元素是數(shù)集、點集,還是其他集合;然后再看集合的構(gòu)成元素滿足的限制條件,從而準確把握集合的含義.2.利用集合元素的限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)時,要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性.訓練1(1)(2025·銀川、昆明聯(lián)考)已知集合A={-1,0,1},B={x|x=mn,m∈A,n∈A},則集合B的真子集個數(shù)是()A.4 B.7 C.8 D.15答案B解析由題意得B={x|x=mn,m∈A,n∈A}={-1,0,1},故集合B的真子集個數(shù)為23-1=7.(2)(2025·北京西城區(qū)調(diào)研)已知集合A={x||x-1|<3},B={x|x2-3x-10<0},若a?A,且a∈B,則a的取值范圍是()A.(-2,4) B.(4,5)C.[4,5] D.[4,5)答案D解析由|x-1|<3,可得-2<x<4,所以A={x|-2<x<4}.由x2-3x-10<0,可得-2<x<5,所以B={x|-2<x<5}.若a?A,且a∈B,則有a∈?BA=[4,5).考點二集合間的基本關(guān)系例2(1)(2024·江門聯(lián)考)設(shè)M={x|x=4k-3,k∈Z},N={x|x=2k-1,k∈Z},則()A.M?N B.N?MC.M=N D.M∩N=?答案A解析因為M={x|x=4k-3,k∈Z}={x|x=2(2k-1)-1,k∈Z},N={x|x=2k-1,k∈Z},所以M?N.故選A.(2)(2025·大連模擬)設(shè)集合A={x|x-5=0},B={x|ax-1=0},若A∩B=B,則實數(shù)a的值為.

答案0或1解析因為A={x|x-5=0}={5},又A∩B=B,所以B?A.當B=?時,a=0,符合題意;當B={5}時,5a-1=0,解得a=15綜上可得,a=0或a=15思維建模1.若B?A,應(yīng)分B=?和B≠?兩種情況討論.2.已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時,關(guān)鍵是將兩個集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系,進而求得參數(shù)范圍.注意合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析及對參數(shù)進行討論.求得參數(shù)后,一定要把端點值代入進行驗證,否則易增解或漏解.訓練2(1)(2025·北京人大附中檢測)已知集合U={-1,0,1,2},A={-1,0,1},B={0,1,2},則{-1}?()A.?UA B.?UBC.(?UA)∩B D.?U(A∪B)答案B解析對于A,?UA={2},故A錯誤;對于B,?UB={-1},所以{-1}??UB,故B正確;對于C,(?UA)∩B={2},故C錯誤;對于D,?U(A∪B)=?,故D錯誤.(2)設(shè)集合A={x|-1≤x+1≤6},B={x|m-1<x<2m+1},當x∈Z時,集合A的非空真子集的個數(shù)為;當B?A時,實數(shù)m的取值范圍是.

答案254{m|m≤-2或-1≤m≤2}解析易得A={x|-2≤x≤5}.若x∈Z,則A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},即A中含有8個元素,所以A的非空真子集的個數(shù)為28-2=254.①當m-1≥2m+1,即m≤-2時,B=?,滿足B?A;②當m-1<2m+1,即m>-2時,要使B?A,則需m解得-1≤m≤2.綜上所述,m的取值范圍是{m|m≤-2或-1≤m≤2}.考點三集合的運算例3(1)(2024·北京卷)已知集合M={x|-3<x<1},N={x|-1≤x<4},則M∪N=()A.{x|-1≤x<1} B.{x|x>-3}C.{x|-3<x<4} D.{x|x<4}答案C解析由集合的并運算,得M∪N={x|-3<x<4}.(2)(2024·全國甲卷)已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|x∈A},則?A(A∩B)=()A.{1,4,9} B.{3,4,9} C.{1,2,3} D.{2,3,5}答案D解析B={1,4,9,16,25,81},A∩B={1,4,9},則?A(A∩B)={2,3,5}.故選D.(3)已知集合A={x|y=ln(1-x2)},B={x|x≤a},且(?RA)∪B=R,則實數(shù)a的取值范圍為()A.(1,+∞) B.[1,+∞)C.(-∞,1) D.(-∞,1]答案B解析由題可知A={x|y=ln(1-x2)}={x|-1<x<1},?RA={x|x≤-1或x≥1},所以由(?RA)∪B=R,得a≥1.思維建模1.進行集合運算時,首先看集合能否化簡,能化簡的先化簡,再研究其關(guān)系并進行運算.2.對于集合的交、并、補運算,如果集合中的元素是離散的,可用Venn圖表示;如果集合中的元素是連續(xù)的,可用數(shù)軸表示,此時要注意端點的情況.訓練3(1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},則A∩B=()A.{-1,0} B.{2,3}C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2}答案A解析因為A={x|-5<x3<5}={x|-35<x<35B={-3,-1,0,2,3},所以A∩B={-1,0},故選A.(2)(2025·聊城質(zhì)檢)已知全集U=R,集合A={x|x(x-3)>0},B={x|log2(x-1)<2},則圖中陰影部分所表示的集合為()A.{x|3≤x<5} B.{x|0≤x≤3}C.{x|1<x<3} D.{x|1<x≤3}答案D解析由Venn圖可知陰影部分對應(yīng)的集合為B∩(?UA).由x(x-3)>0,解得x<0或x>3,所以A={x|x<0或x>3},?UA={x|0≤x≤3}.由log2(x-1)<2=log24,得0<x-1<4,解得1<x<5,所以B={x|1<x<5},所以B∩(?UA)={x|1<x≤3}.(3)已知集合A,B滿足A={x|x>1},B={x|x<a-1},若A∩B=?,則實數(shù)a的取值范圍為()A.(-∞,1] B.(-∞,2]C.[1,+∞) D.[2,+∞)答案B解析因為集合A,B滿足A={x|x>1},B={x|x<a-1},且A∩B=?,則a-1≤1,解得a≤2.考點四集合的新定義問題例4(多選)(2025·開封聯(lián)考)當兩個集合中一個集合為另一個集合的子集時,稱這兩個集合構(gòu)成“全食”;當兩個集合有公共元素,但互不為對方子集時,稱這兩個集合構(gòu)成“偏食”.對于集合A=?2,0,12,1,B={x|(ax-1)·(x+a)=0},若A與B構(gòu)成“全食”或“偏食”,A.-2 B.-12C.0 D.1答案BCD解析若A與B構(gòu)成“全食”或“偏食”,則A∩B≠?.當a=0時,B={0},當a≠0時,B=?a對于A,若a=-2,則B=2,?1此時A∩B=?,不滿足題意;對于B,若a=-12,則B=1此時B?A,滿足題意;對于C,若a=0,則B={0},此時B?A,滿足題意;對于D,若a=1,則B={-1,1},此時A∩B={1}≠?,滿足題意.故選BCD.思維建模解決集合新定義問題的關(guān)鍵解決新定義問題時,一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義,緊扣題目所給定義,結(jié)合題目所給定義和要求進行恰當轉(zhuǎn)化,切忌同已有概念或定義相混淆.訓練4(2025·廣州調(diào)研)若集合A={x|3x2-8x-3≤0},B={x|x>1},定義集合A-B={x|x∈A且x?B},則A-B=.

答案x解析由3x2-8x-3≤0得-13≤x≤3則A=x?又A-B={x|x∈A且x?B},則A-B=x?1.教材母題(人教A必修一P35T11)學校舉辦運動會時,高一(1)班共有28名同學參加比賽,有15人參加游泳比賽,有8人參加田徑比賽,有14人參加球類比賽,同時參加游泳比賽和田徑比賽的有3人,同時參加游泳比賽和球類比賽的有3人,沒有人同時參加三項比賽,同時參加田徑和球類比賽的有多少人?只參加游泳一項比賽的有多少人?2.上述問題的解決方法被稱為容斥原理,在人教A必修一P15《閱讀與思考》中有詳細闡釋,總結(jié)如下:(1)二元容斥原理:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B);(2)三元容斥原理:card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(C∩A)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).典例(2024·吉林四校聯(lián)考)某學校教師中,會打乒乓球的教師人數(shù)為30,會打羽毛球的教師人數(shù)為60,會打籃球的教師人數(shù)為20,若至少會其中一個體育項目的教師人數(shù)為80,且三個體育項目都會的教師人數(shù)為5,則會且僅會其中兩個體育項目的教師人數(shù)為.

答案20解析設(shè)A={x|x是會打乒乓球的教師人數(shù)},B={x|x是會打羽毛球的教師人數(shù)},C={x|x是會打籃球的教師人數(shù)}.根據(jù)題意得card(A)=30,card(B)=60,card(C)=20,card(A∪B∪C)=80,card(A∩B∩C)=5,根據(jù)三元容斥原理得card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C),有card(A∩B)+card(B∩C)+card(C∩A)=35,而card(A∩B)+card(B∩C)+card(C∩A)中把A∩B∩C的區(qū)域計算了3次,故要減掉這3次,才能得到會且僅會其中兩個體育項目的教師人數(shù).因此會且僅會其中兩個體育項目的教師人數(shù)為35-3×5=20.一、單選題1.(2025·1月八省聯(lián)考)已知集合A={-1,0,1},B={0,1,4},則A∩B=()A.{0} B.{1}C.{0,1} D.{-1,0,1,4}答案C解析由A={-1,0,1},B={0,1,4},易得A∩B={0,1}.2.(2024·鄭州二模)已知全集U={x|-1<x<5},集合A滿足?UA={x|0≤x<3},則()A.0∈A B.1?AC.2∈A D.3?A答案B解析由題意知A={x|-1<x<0或3≤x<5},所以0,1,2?A,3∈A,故選B.3.(2025·湖北十一校聯(lián)考)已知集合M={x|x2+3x-10<0},N={y|y=x?1},則M∩N=A.[0,2) B.[1,2) C.[-5,2) D.(-5,2)答案A解析由x2+3x-10=(x+5)(x-2)<0得-5<x<2,則M={x|-5<x<2},易知N={y|y≥0},則M∩N=[0,2).故選A.4.(2025·江蘇八市模擬)已知集合M={x|x=k+12,k∈Z},N=xxA.M?N B.N?MC.M=N D.M∩N=?答案A解析易知M=…,12,32,52,…,N=5.(2024·福州模擬)設(shè)集合A={1,3,a2},B={1,a+2},若B?A,則a=()A.2 B.1 C.-2 D.-1答案A解析因為B?A,所以a+2=3或a2=a+2,解得a=1或a=2或a=-1.當a=1時,A={1,3,1},與集合中元素的互異性矛盾,舍去;當a=2時,A={1,3,4},B={1,4},B?A,符合題意;當a=-1時,A={1,3,1},與集合中元素的互異性矛盾,舍去.綜上,a=2.6.(2025·德州、煙臺模擬)已知集合U=R,集合A={x|x2+2x-3<0},B={x|0≤x≤2},則圖中陰影部分表示的集合為()A.{x|-3<x<0} B.{x|-1<x<0}C.{x|0<x<1} D.{x|2<x<3}答案A解析由題圖可知陰影部分表示的集合為A∩?UB.A={x|x2+2x-3<0}={x|-3<x<1}.因為集合U=R,B={x|0≤x≤2},得?UB={x|x<0或x>2},所以A∩?UB={x|-3<x<0}.故選A.7.設(shè)集合A={x|x<a2},B={x|x>a},若A∩(?RB)=A,則實數(shù)a的取值范圍為()A.[0,1] B.[0,1)C.(0,1) D.(-∞,0]∪[1,+∞)答案A解析由A∩(?RB)=A,得A?(?RB),所以a2≤a,得0≤a≤1,故選A.8.(2025·西安質(zhì)檢)某校高一年級有1200人,現(xiàn)有兩種課外實踐活動供學生選擇,要求每個同學至少選擇一種參加.統(tǒng)計調(diào)查得知,選擇其中一項活動的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的60%至65%,選擇另一項活動的人數(shù)占50%至55%,則下列說法正確的是()A.同時選擇兩項參加的學生可能有100人B.同時選擇兩項參加的學生可能有180人C.同時選擇兩項參加的學生可能有260人D.同時選擇兩項參加的學生可能有320人答案B解析法一設(shè)選擇其中一項活動的人數(shù)為card(A),選擇另一項活動的人數(shù)為card(B),則同時選擇兩項活動的人數(shù)為card(A∩B).根據(jù)題意,1200×60%則1320≤card(A)+card(B)≤1440,又card(A)+card(B)-card(A∩B)=1200,所以120≤card(A∩B)≤240.故選B.法二選擇其中一項活動的人數(shù)占總數(shù)的60%到65%,即720人至780人.選擇另一項活動的人數(shù)占50%至55%,即600人至660人.當一項活動有720人選擇,另一項活動有600人選擇時,這兩項活動共有1320人選擇,此時同時選擇兩項活動參加的人數(shù)是120.當一項活動有780人選擇,另一項活動有660人選擇時,這兩項活動共有1440人選擇,此時同時選擇兩項活動參加的人數(shù)是240.故同時參加兩項活動的人數(shù)在120至240之間.故選B.二、多選題9.已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|1<x<3},則()A.(?RA)∪B={x|0≤x<3}B.(?RA)∩B={x|1<x<2}C.A∩B={x|2<x<3}D.A∩B是{x|2<x<5}的真子集答案ACD解析由x2-2x>0,得x<0或x>2,所以A={x|x<0或x>2},所以?RA={x|0≤x≤2},對于A,因為B={x|1<x<3},所以(?RA)∪B={x|0≤x<3},所以A正確;對于B,因為B={x|1<x<3},所以(?RA)∩B={x|1<x≤2},所以B錯誤;對于C,因為A={x|x<0或x>2},B={x|1<x<3},所以A∩B={x|2<x<3},所以C正確;對于D,因為A∩B={x|2<x<3},所以A∩B是{x|2<x<5}的真子集,所以D正確.10.(2025·江西部分高中大聯(lián)考)已知全集U=R,集合A={x|x2-3x-4>0},B={x|1<2x<4},則()A.A∪B=R B.A∩B=?C.?UA?B D.B??UA答案