第11節三角函數模型及解三角形的實際應用課標要求1.會用三角函數解決簡單的實際問題,體會利用三角函數構建刻畫事物周期變化的數學模型.2.能夠運用正弦定理、余弦定理等知識以及方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題.【知識梳理】1.仰角和俯角在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角,目標視線在水平視線上方叫仰角,目標視線在水平視線下方叫俯角(如圖1).2.方位角從正北方向起按順時針轉到目標方向線之間的水平夾角叫做方位角.如B點的方位角為α(如圖2).3.方向角正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角,如南偏東30°,北偏西45°等.4.坡度:坡面與水平面所成的二面角的正切值.[常用結論與微點提醒]1.不要搞錯各種角的含義,不要把這些角和三角形內角之間的關系弄混.2.解決與平面幾何有關的計算問題關鍵是找清各量之間的關系,從而應用正、余弦定理求解.【診斷自測】概念思考辨析+教材經典改編1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”)(1)東北方向就是北偏東45°的方向.()(2)從A處望B處的仰角為α,從B處望A處的俯角為β,則α,β的關系為α+β=180°.()(3)俯角是鉛垂線與視線所成的角,其范圍為0,π2.((4)方位角與方向角其實質是一樣的,均是用來確定觀察點與目標點之間的位置關系.()答案(1)√(2)×(3)×(4)√解析(2)α=β;(3)俯角是視線與水平線所構成的角.2.(人教A必修二P51T3改編)如圖,兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站南偏西40°方向,燈塔B在觀察站南偏東60°方向,則燈塔A在燈塔B()A.北偏東10°方向 B.北偏西10°方向C.南偏東80°方向 D.南偏西80°方向答案D解析由題可知,∠CAB=∠CBA=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此燈塔A在燈塔B南偏西80°方向.3.(人教A必修二P49例10改編)如圖所示,為測量某樹的高度,在地面上選取A,B兩點,從A,B兩點分別測得樹尖P的仰角為30°,45°,且A,B兩點之間的距離為60m,則樹的高度為()A.(303+30)m B.(153+30)mC.(303+15)m D.(153+15)m答案A解析在△ABP中,∠APB=45°-30°=15°,所以sin∠APB=sin15°=22×32-22×1由正弦定理得PB=ABsin30°sin∠=30(6+2)m,所以該樹的高度為30(6+2)sin45°=(303+30)m.4.(蘇教必修二P108T10改編)如圖,在高速公路建設中需要確定隧道的長度,工程技術人員已測得隧道兩端的兩點A,B到點C的距離AC=BC=1km,且C=120°,則A,B兩點間的距離為km.

答案3解析在△ABC中,易得A=30°,由正弦定理ABsinC=得AB=BCsinCsinA=2×1×3考點一三角函數模型例1(多選)如圖所示,一半徑為4米的水輪,水輪圓心O距離水面2米,已知水輪每60秒逆時針轉動一圈,如果當水輪上點P從水中浮現時(圖中點P0)開始計時,則()A.點P第一次到達最高點需要20秒B.當水輪轉動155秒時,點P距離水面2米C.當水輪轉動50秒時,點P在水面下方,距離水面2米D.點P距離水面的高度h(米)與t(秒)的函數解析式為h=4cosπ30答案ABC解析設點P距離水面的高度h(米)和時間t(秒)的函數解析式為h=Asin(ωt+φ)+BA>0,由題意得h解得A故h=4sinπ30t-π6+2=-4cosπ30對于A,令h=6,即h=4sinπ30t解得t=20,故A正確;對于B,令t=155,代入h=4sinπ30t解得h=2,故B正確;對于C,令t=50,代入h=4sinπ30t解得h=-2,故C正確.思維建模三角函數模型的應用體現在兩方面:一是已知函數模型求解數學問題;二是把實際問題抽象轉化成數學問題,利用三角函數的有關知識解決問題.訓練1(多選)(2024·河南名校調研)錢塘江出現過罕見潮景“魚鱗潮”.“魚鱗潮”的形成需要兩股涌潮,一股是波狀涌潮,另外一股是破碎的涌潮,兩者相遇交叉就會形成像魚鱗一樣的涌潮.若波狀涌潮的圖象近似函數f(x)=Asin(ωx+φ)A,ω∈N*,φ<π3的圖象,而破碎的涌潮的圖象近似f'(x)的圖象.已知當x=2π時,A.ω=2B.fπ3=6+C.f'x-D.f'(x)在區間-π答案BC解析因為f(x)=Asin(ωx+φ),所以f'(x)=Aωcos(ωx+φ).因為當x=2π時,兩潮有一個交叉點,所以Asin(2ωπ+φ)=Aωcos(2ωπ+φ),因為A∈N*,所以tan(2ωπ+φ)=ω,因為ω∈N*,所以tan(2ωπ+φ)=tanφ=ω,因為|φ|<π3所以-3<tanφ<3,即-3<ω<3,又ω∈N*,所以ω=1,A錯誤.因為tanφ=1,所以φ=π4因為破碎的涌潮的波谷為-4,所以Aω=4,所以A=4,所以f(x)=4sinx+π4,f'(xfπ3=4sinπ3+π4=4sinπ3cosf'x-π4=4cosx-所以f'x-π4是偶函數,當x∈-π3,0時,x+π所以f'(x)在-π3,0上不單調,考點二解三角形應用舉例角度1測量距離問題例2(2025·臨沂模擬)在同一平面上有相距14公里的A,B兩座炮臺,A在B的正東方.某次演習時,A向北偏西π2-θ方向發射炮彈,B向北偏東π2-θ的方向發射炮彈,其中θ為銳角,觀測回報兩炮彈皆命中18公里外的同一目標,接著A改向向北偏西π2-θ2方向發射炮彈,彈著點為18公里外的點M,則B炮臺與彈著點MA.7公里 B.8公里C.9公里 D.10公里答案D解析設炮彈第一次命中點為C,根據題意畫出示意圖,如圖.由題意知AC=BC=18公里,AB=14公里,AM=18公里,過點C作CD⊥AB,垂足為D.在Rt△ACD中,cos∠CAB=cosθ=718則cosθ2=1+cosθ在△ABM中,由余弦定理得BM=A=142+即B炮臺與彈著點M的距離為10公里.角度2測量高度問題例3(2025·上饒調研)矗立在上饒市市民公園(如圖1)的四門通天銅雕有著“四方迎客、通達天下”的美好寓意,也象征著上饒四省通衢,連南接北,通江達海,包容八方.如圖2,某中學研究性學習小組為測量其高度,在和它底部O位于同一水平高度的共線三點A,B,C處測得銅雕頂端P處的仰角分別為π6,π4,π3,且AB=BC=20m,則四門通天的高度為A.156m B.106m C.66m D.56m答案B解析設OP=h,則OA=3h,OB=h,OC=33h在△ABO中,由余弦定理的推論得cos∠ABO=400+h2-3在△BCO中,由余弦定理的推論得cos∠OBC=400+h2-因為∠ABO+∠OBC=π,所以400-2h240h即800-43h2=0,解得h=106所以四門通天的高度為106m.角度3測量角度問題例4已知島A南偏西38°方向,距島A3海里的B處有一艘緝私艇.島A處的一艘走私船正以10海里/時的速度向島嶼北偏西22°方向行駛,問緝私艇朝何方向以多大速度行駛,恰好用0.5小時能截住該走私船?參考數據解如圖,設緝私艇在C處截住走私船,D為島A正南方向上一點,緝私艇的速度為每小時x海里,則BC=0.5x,AC=5,依題意,AB=3,∠BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos120°,所以BC2=49,所以BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sin∠ABC=AC·sin∠BACBC=5×所以∠ABC=38°,又∠BAD=38°,所以BC∥AD,故緝私艇以每小時14海里的速度向正北方向行駛,恰好用0.5小時截住該走私船.思維建模解三角形應用問題的要點(1)從實際問題中抽象出已知的角度、距離、高度等條件,作為某個三角形的元素.(2)利用正弦定理、余弦定理解三角形,得到實際問題的解.訓練2(1)為加快推進“5G+光網”雙千兆城市建設,如圖,在某市地面有四個5G基站A,B,C,D.已知基站C,D建在某江的南岸,距離為103km;基站A,B在江的北岸,測得∠ACB=75°,∠ACD=120°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,則基站A,B的距離為()A.106km B.30(3-1)kmC.30(2-1)km D.105km答案D解析在△ACD中,∠ADC=30°,∠ACB=75°,∠ACD=120°,所以∠BCD=45°,∠CAD=30°,∠ADC=∠CAD=30°,所以AC=CD=103,在△BDC中,∠CBD=180°-(30°+45°+45°)=60°,由正弦定理得BC=103sin75°sin60°=52在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=(103)2+(52+56)2-2×103×(52+56)cos75°=500,所以AB=105,即基站A,B之間的距離為105km.(2)(2025·岳陽質檢)岳陽樓地處岳陽古城西門城墻之上,下瞰洞庭,前望君山.因范仲淹的《岳陽樓記》著稱于世,自古有“洞庭天下水,岳陽天下樓”之美譽.小明為了測量岳陽樓的高度AB,他首先在C處,測得樓頂A的仰角為60°,然后沿BC方向行走22.5米至D

處,又測得樓頂A的仰角為30°,則樓高AB為米.

答案45解析由題可得∠ACB=60°,CD=22.5,∠ADB=30°,在Rt△ABC中,AC=ABsin∠ACB=2BC=12AC=33在Rt△ABD中,BD=BC+CD=33AB+22.5所以tan∠ADB=ABBD,即33=解得AB=4534,所以樓高AB為45一、單選題1.如圖所示是某彈簧振子做簡諧運動的部分圖象,則下列判斷錯誤的是()A.該彈簧振子的振幅為2cmB.該彈簧振子的振動周期為1.6sC.該彈簧振子在0.2s和1.0s時振動速度最大D.該彈簧振子在0.6s和1.4s時的位移為零答案C解析由圖象及簡諧運動的有關知識得,該彈簧振子的振幅為2cm,振動周期為2×(1.0-0.2)=1.6s.當t=0.2s或1.0s時,振動速度為零,該彈簧振子在0.6s和1.4s時的位移為零.A,B,D正確,C錯誤.2.在相距2km的A,B兩點處測量目標點C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,則A,C兩點之間的距離為()A.6km B.2km C.3km D.2km答案A解析如圖,在△ABC中,由已知可得∠ACB=45°,∴ACsin60°=2∴AC=22×32=63.(2025·湖州、衢州、麗水模擬)某學生為測量某酒店的高度,在遠處選取了與該建筑物的底端B在同一水平面內的兩個測量基點C與D,如圖,現測得∠BCD=45°,∠BDC=105°,CD=100米,在點C處測得酒店頂端A的仰角∠ACB=28°,則酒店的高度約為(參考數據:2≈1.4,6≈2.4,tan28°≈0.53)()A.91米 B.101米C.111米 D.121米答案B解析由題知∠CBD=30°,在△BCD中,CDsin∠CBD=因為sin∠BDC=sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=6+所以BC=CDsin∠BDC=50(6+2),AB=BCtan∠ACB=50(6+2)×tan28°≈101(米).4.阻尼器是一種以提供阻力達到減震效果的專業工程裝置.我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置如圖①所示.由物理學知識可知,某阻尼器的運動過程可近似為簡諧運動,其離開平衡位置的位移y(m)和時間t(s)的函數關系為y=sin(ωt+φ)(ω>0,|φ|<π),如圖②,若該阻尼器的擺動過程中連續三次到達同一位置的時間分別為t1,t2,t3(0<t1<t2<t3),且t1+t2=2,t2+t3=5,則在一個周期內阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為()A.13s B.23C.1s D.43答案C解析因為t1+t2=2,t2+t3=5,t3-t1=T,所以T=3.又T=2πω,所以ω=2π3,則y=sin由y>0.5可得sin2π3t所以2kπ+π6<2π3t+φ<5π6+2kπ,k解得3k+14-32πφ<t<54-32πφ+3k,故3k+54所以在一個周期內阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為1s.5.(2025·南京模擬)我國油紙傘的制作工藝巧妙.如圖①,傘不管是張開還是收攏,傘柄AP始終平分同一平面內兩條傘骨所成的角,即∠BAC,且AB=AC,從而保證傘圈D能夠沿著傘柄滑動.如圖②,傘完全收攏時,傘圈D已滑動到D'的位置,且A,B,D'三點共線,AD'=40cm,B為AD'的中點,當傘從完全張開到完全收攏,傘圈D沿著傘柄向下滑動的距離為24cm,則當傘完全張開時,∠BAC的余弦值是()A.-1725 B.-4C.-35 D.-答案A解析依題意可知,當傘完全張開時,AD=40-24=16(cm),因為B為AD'的中點,所以AB=AC=BD=12AD'在△ABD中,cos∠BAD=AB2+AD所以cos∠BAC=cos2∠BAD=2cos2∠BAD-1=2×252-1=-6.(2025·江西聯考)《孔雀東南飛》中寫道“十三能織素,十四學裁衣,十五彈箜篌,十六誦詩書”.箜篌歷史悠久、源遠流長,音域寬廣、音色柔美清澈,表現力強.如圖是箜篌的一種形制,對其進行繪制,發現其近似一扇形,在圓弧的兩個端點A,B處分別作切線相交于點C,測得切線AC=99.9cm,BC=100.1cm,AB=180cm,根據測量數據可估算出該圓弧所對圓心角的余弦值為()A.0.62 B.0.56 C.-0.56 D.-0.62答案A解析如圖,由題意可知∠OAC=∠OBC=90°,所以∠AOB+∠ACB=180°.因為切線AC=99.9cm,BC=100.1cm,根據切線長定理,不妨取AC=BC=100cm,又AB=180cm,由余弦定理的推論得cos∠ACB=A=1002+1002所以cos∠AOB=cos(180°-∠ACB)=-cos∠ACB=0.62.7.某班課外學習小組利用“鏡面反射法”來測量學校內建筑物的高度.步驟如下:①將鏡子(平面鏡)置于平地上,人后退至從鏡中能看到房頂的位置,測量出人與鏡子的距離;②將鏡子后移,重復①中的操作;③求建筑物高度.如圖所示,前后兩次人與鏡子的距離分別為a1m,a2m(a2>a1),兩次觀測時鏡子間的距離為am,人的“眼高”為hm,則建筑物的高度為()A.aha2-a1C.(a2-a1)答案A解析設建筑物的高度為x,如圖所示,由△HGF∽△DEF,得HGDE=GFEF?EF=DE·GFHG由△ABC∽△DEC,得ABDE=BCEC?hx所以ah+xa1=xa2,即x(a2-a1)=ah,解得x=aha8.如圖,為了測量某濕地A,B兩點間的距離,觀察者找到在同一直線上的三點C,D,E.從D點測得∠ADC=67.5°,從C點測得∠ACD=45°,∠BCE=75°,從E點測得∠BEC=60°.若測得DC=23,CE=2(單位:百米),則A,B兩點間的距離為()A.6百米 B.22百米C.3百米 D.23百米答案C解析根據題意,在△ADC中,∠ACD=45°,∠ADC=67.5°,DC=23,則∠DAC=180°-45°-67.5°=67.5°,則AC=DC=23.在△BCE中,∠BCE=75°,∠BEC=60°,CE=2,則∠EBC=180°-75°-60°=45°.由正弦定理得CEsin∠EBC=則BC=CE·sin∠BECsin∠EBC=在△ABC中,AC=23,BC=3,∠ACB=180°-∠ACD-∠BCE=60°,則AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=9,則AB=3(百米).二、多選題9.(2025·廣州調研)水車是進行灌溉引水的工具,是人類的一項古老發明.如圖是一個半徑為R的水車,一個水斗從點A(1,-3)出發,沿圓周按逆時針方向勻速旋轉,且旋轉一周用時6秒.經過t秒后,水斗旋轉到P點,設點P的坐標為(x,y),其縱坐標滿足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)t≥0,ω>0,φA.φ=πB.當t∈[0,2]時,函數y=f(t)單調遞增C.當t∈[3,5]時,函數最小值為-2D.當t=9時,PA=4答案BD解析因為R=12+(-3)2=2得ω=π3,所以f(t)=2sinπf(0)=2sinφ=-3,sinφ=-32由于|φ|<π2所以φ=-π3,f(t)=2sinπ3t-若0≤t≤2,則-π3≤π3t-π3又y=sinx在區間-π3所以f(t)在[0,2]上單調遞增,B正確;若3≤t≤5,則2π3≤π3t-π3所以當π3t-π3=4π3時,f(t為2×-32=-3,C當t=9時,f(9)=2sin3π-π3=2sinπ3=3,22-(3)2=1,所以PA=(-1-1)2+(3+10.某貨輪在A處測得燈塔B在北偏東75°方向,距離為126nmile,測得燈塔C在北偏西30°方向,距離為83nmile.貨輪由A處向正北方向航行到D處時,測得燈塔B在南偏東60°方向,則下列說法正確的是()A.A處與D處之間的距離是24nmileB.燈塔C與D處之間的距離是16nmileC.燈塔C在D處的南偏西30°方向D.D處在燈塔B的北偏西30°方向答案AC解析如圖,由題意可知∠ADB=60°,∠BAD=75°,∠CAD=30°,AB=126nmile,AC=83nmile,所以B=180°-60°-75°=45°,在△ABD中,由正弦定理得ADsinB=所以AD=AB·sinBsin∠ADB=126×22在△ACD中,由余弦定理得CD=A=(8=83(nmile),故B錯誤;由B項解析知CD=AC,所以∠CDA=∠CAD=30°,所以燈塔C在D處的南偏西30°方向,故C正確;由∠ADB=60°,得D處在燈塔B的北偏西60°方向,故D錯誤.11.(2024·重慶模擬)解放碑是重慶的地標性建筑,眾多游客來此打卡拍照.現某中學數學興趣小組對解放碑的高度進行測量,并繪制出測量方案示意圖(如圖所示),A為解放碑的最頂端,B為基座(即B在A的正下方),在步行街上(與B在同一水平面內)選取C,D兩點,測得CD的長為100m.小組成員利用測角儀已測得∠ACB=π6,則根據下列各組中的測量數據,能計算出解放碑高度AB的是(A.∠BCD,∠BDC B.∠ACD,∠ADCC.∠BCD,∠ACD D.∠BCD,∠ADC答案ABD解析對于A,已知CD=100m,∠ACB=π6,∠BCD,∠BDC,在△BCD中,由正弦定理求得CB,從而求得AB,故A正確對于B,已知CD=100m,∠ACB=π6,∠ACD,∠ADC,在△ACD中,由正弦定理求得AC,從而求得AB,故B正確對于C,已知CD=100m,∠ACB=π6,∠BCD,∠ACD四個條件,無法通過解三角形求得AB,故C錯誤對于D,由∠ACB,∠BCD借助直角三角形和余弦定理,用AB表示出CB,BD,AC,AD,然后結合∠ADC在△ADC中利用余弦定理列方程,解方程求得AB,故D正確.三、填空題12.(2025·武漢質檢)中華人民共和國國歌有84個字,37小節,奏唱大約需要46s,某校周一舉行升旗儀式,旗桿正好處在坡度為15°的看臺的某一列的正前方,從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°,第一排和最后一排的距離為102m,如圖所示,旗桿底部與第一排在同一個水平面上,要使國歌結束時國旗剛好升到旗桿頂部,升旗手升旗的速度約為m/s.

答案5解析依題意知∠AEC=45°,∠ACE=180°-60°-15°=105°,所以∠EAC=180°-45°-105°=30°.在△AEC中,由正弦定理知CEsin∠EAC=所以AC=102sin30°×sin所以在Rt△ABC中,AB=AC·sin∠ACB=20×32=103因為國旗奏唱大約需要46s,所以升旗手升旗的速度約為10346=513.(2025·湘豫名校診斷)一場大雨過后,某市上空出現了圓弧形狀的彩虹,某研究小組欲測量人們在地面可觀察到的該彩虹(最外環)的弧長,已知彩虹所在圓面垂直于水平面,示意圖如圖所示,彩虹最高點為A,EF為彩虹所在圓面與水平面BCD的交線,點B為EF的中點,若在點C處測得點A的仰角為45°,在點D處測得點A的仰角為30°,并測得∠BCD=120°,CD=600m,EF=12003m,則彩虹()所在圓的半徑為m,彩虹()的長度為m.

答案1200800π解析由題意知AB⊥平面BCD,則點A到平面BCD的距離即為AB的長度,設BC=xm,則AB=xm,故BD=3xm.在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD,即3x2=x2+6002-2×600x×cos120°,整理得x2-300x-180000=0,解得x=-300(舍去)或x=600.BF=12EF=6003m設圓弧所在圓的半徑為Rm,如圖,圓心為O,則(R-600)2+BF2=R2,所以R=1200m,所以∠EOF=2π3故彩虹()的長度為2π3×1200=800π(m).14.如圖,某湖有一半徑為100m的半圓形岸邊,現決定在圓心O處設立一個水文監測中心(大小忽略不計),在其正東方向相距200m的點A處安裝一套監測設備.為了監測數據更加準確,在半圓弧上的點B以及湖中的點C處再分別安裝一套監測設備,且滿足AB=AC,∠BAC=90°.定義:四邊形OACB及其內部區域為“直接監測覆蓋區域”.設∠AOB=θ,則“直接監測覆蓋區域”面積的最大值為m2.

答案100005+25000解析在△OAB中,∵∠AOB=θ,OB=100,OA=200,∴AB2=OB2+