《常微分方程》教學大綱一、

計劃學時：72課時二、

適用專業：數學與應用數學（師范類）（本、專科）、信息與計算科學（本）三、

課程性質與任務：常微分方程是高等師范院校數學與應用數學專業及信息與計算專業的基礎課之一。本課程主要學習各種基本類型的常微分方程解的性質、方程的解法及其某些應用。通過該課程的學習，使學生正確理解常微分方程的基本概念，深入掌握基本理論和主要方法，具有一定的分析問題和解決問題的能力，為學習本課程的近代內容與后繼課程打下基礎。在本課程的學習中，通過對數學分析、高等代數、解析幾何和簡單的力學、電學等知識的應用，使學生對已學過的知識得到鞏固與深化；通過該課程的學習，使學生了解常微分方程可應用于工程技術，現代科學與中學數學的某些問題，從而有助于樹立學生的數學來源于實踐又服務于實踐的辯證唯物主義觀點。四、目的要求：通過對該課程的教學，使學生掌握某些特殊類型微分方程(組)的初等解法和一般線性微分方程(組)的求解方法及其相關理論，為對非線性微分方程的求解打下一定的基礎。同時，使學生能夠應用數學手段去研究和解決自然現象與經濟建設中的一些具體問題。五、課時安排：總課時：72課時第一章初等積分法18課時第二章基本定理14課時第三章一階線性微分方程組12課時第四章階線性微分方程18課時第五章定性和穩定性理論簡介10課時六、課程教學重點與難點：重點：基本概念與基本技能的掌握。難點：計算技巧的掌握、證明題。七、課程教學方法與要求

本課程以課堂講授為主，答疑為輔，學生必須完成一定的作業量。八、課程考核方法與要求

本課程考核以筆試為主，主要考核學生對基礎理論，基本概念的掌握程度，以及學生邏輯推理能力和計算能力。平時成績占20%，期末成績占80%。九、教學內容綱要第一章初等積分法一、教學目的：了解微分方程的產生背景，學習常微分方程課程的意義，知道一階微分方程的初等解法的含義；清楚變量可分離方程、可化為變量分離方程、一階線性方程、恰當方程與一階隱式方程的基本形式和可用降階法求解的高階微分方程的類型；掌握可用初等解法求解的方程的基本類型及其相應的求解方法二、主要內容第一節微分方程和解4課時1、微分方程2、通解與特解3、初值問題4、積分曲線5、初等積分法第二節變量可分離方程2課時1、顯式變量可分離方程的解法2、微分形式變量可分離方程的解法第三節齊次方程2課時1、齊次方程的解法2、第二類可化為變量可分離的方程第四節一階線性微分方程2課時1、一階線性非齊次方程的通解2、伯努利（Bernoulli）方程第五節全微分方程及積分因子2課時1、全微分方程2、積分因子第六節一階隱式微分方程2課時第七節幾種可降階的高階方程1課時1、第一種可降階的高階方程2、第二種可降階的高階方程3、恰當導數方程第八節一階微分方程應用舉例3課時1、等角軌線2、動力學問題3、電學問題4、光學問題5、流體混合問題三、基本要求1．理解線性方程與非線性方程，階，解(通解，特解，隱式解)，初值條件，初值問題等概念。2．熟練掌握可分離變量的方程，齊次方程，一階線性方程；伯努力方程，全微分方程的求解方法。3．掌握常數變易法，記住一階線性方程的通解表達式。4．了解變量變換和積分因子在求解微分方程中的作用，會作簡單的變量變換和會用簡單的積分因子解微分方程。5．理解方向場和積分曲線的關系。6．掌握克萊洛方程的解法，了解奇解的意義。7．熟練掌握d２y／dx２=f(x，dy／dx)，d２y／dx２=f(y，dy／dx)的降階法。8．會用已有知識建立常微分方程及其相應的條件解決簡單的幾何、物理問題。1、線性微分方程的一般概念2、階線性齊次微分方程的一般理論3、階線性非齊次微分方程的一般理論第二節階常系數線性齊次方程的解法4課時1、特征根都是單根2、特征根有重根第三節階常系數線性非齊次方程的解法4課時1、第一類型非齊次方程特解的待定系數解法2、第二類型非齊次方程特解的待定系數解法第四節二階常系數線性方程與振動現象2課時1、間諧振動——無阻尼自由振動2、阻尼自由振動3、阻尼強迫振動第五節拉普拉斯變換2課時1、拉普拉斯變換的定義與性質2、用拉普拉斯變換求解初值問題第六節冪級數解法大意2課時三、基本要求：1．熟練掌握高階線性微分方程初值問題解的存在唯一性定理，要注意解的存在區間。2．熟練掌握線性齊次方程解的疊加性質，理解線性相關、線性無關、朗期基行列式的概念并掌握它們之間的關系，熟練掌握線性齊次方程通解定理。3．理解線性非齊次方程不同非齊次項所對應的解的疊加原理，熟練掌握線性非齊次方程的通解結構定理，掌握二階線性非齊次方程的常數變易法。4．會解高階常系數線性齊次方程，熟練掌握二階常系數線性齊次方程的解法。5．掌握非齊次項為：f(x)=Pm(x)eax，f(x)=eaxAsinβx，f(x)=eax｛Asinβx｝Bcosβxf(x)=Pm(x)｛AsinβxBcosβx｝的線性齊次方程的解法。6．了解劉維爾公式，對于二階線性齊次方程，知道一個非零解會利用劉維爾公式求方程的通解。第五章定性和穩定性理論簡介一、教學目的：二、主要內容：第一節穩定性概念2課時第二節李雅普諾夫第二方法2課時第三節平面自治系統的基本概念2課時1、相平面、相軌線與相圖2、平面自治系統的三個基本性質3、常點、奇點與閉軌第四節平面定性理論簡介4課時1、線性系統初等奇點附近的軌線分布2、平面非線性自治系統初等奇點附近的軌線分布3、極限環的概念4、極限環的存在性與不存在性三、基本要求：1．理解相平面、奇點、軌線等概念，理解軌線的性質。2．能熟練地用方程的系數確定二維自治線性系統的初等奇點的類型和穩定性，了解它們的相圖。3．對裴戎(perron)定理只要求了解它的條件和結論，會用裴戎定理判別奇點的類型和穩定性。4．對于極限環只要求通過例子了解它的概念。5．理解李雅普諾夫關于解的穩定、漸近穩定、不穩定的概念6．掌握自治系統關于零解穩定性的一次近似定理。7．理解自治系統的李雅普諾夫函數的概念，理解自治系統的李雅普諾夫第二方法關于零解穩定，漸近穩定的定理。8．會構造簡單的李雅普諾夫函數判斷自治系統零解的穩定和漸近穩定。十、教材與參考書：教材：《常微分方程》（第二版），東北師范大學微分方程組教研室編，高等教育出版社，2005.參考資料：